Методы численного интегрирования. Формулы численного интегрирования

Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подинтегральной функции f(x), для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитике, некоторой аппроксимирующей функцией φ(x) . Такой функцией обычно является полином (кусочный полином) . То есть:
,
где – априорная погрешность метода на интервале интегрирования,
а r(x) – априорная погрешность метода на отдельном шаге интегрирования.

Обзор методов интегрирования.

Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными (для кратных интегралов – кубатурными ).

Метод прямоугольников.

Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс.

Выведем формулу метода прямоугольников из анализа разложения функции f(x) в ряд Тейлора вблизи некоторой точки x = x i .

Рассмотрим диапазон интегрирования от x i до x i +h , где h – шаг интегрирования.

Вычислим …=

= = . Получили формулу правых (или левых) прямоугольников и априорную оценку погрешности r на отдельном шаге интегрирования. Основной критерий, по которому судят о точности алгоритма – степень при величине шага в формуле априорной оценки погрешности.

В случае равного шага h на всем диапазоне интегрирования общая формула имеет вид

.

Здесь n – число разбиений интервала интегрирования, . Для справедливости существования этой оценки необходимо существование непрерывной f"(x).

Метод средних прямоугольников . Здесь на каждом интервале значение функции считается в точке , то есть . Разложение функции в ряд Тейлора показывает, что в случае средних прямоугольников точность метода существенно выше:

.

Метод трапеций.

Аппроксимация в этом методе осуществляется полиномом первой степени. Суть метода ясна из рисунка.

На единичном интервале
.
В случае равномерной сетки (h = const)
При этом , а . Погрешность метода трапеций в два раза выше, чем у метода средних прямоугольников! Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда. В силу разных знаков погрешности в формулах трапеций и средних прямоугольников истинное значение интеграла обычно лежит между двумя этими оценками.

Особенности поведения погрешности.

Казалось бы, зачем анализировать разные методы интегрирования, если мы можем достичь высокой точности, просто уменьшая величину шага интегрирования. Однако рассмотрим график поведения апостериорной погрешности R результатов численного расчета в зависимости от числа n разбиений интервала (то есть при шаг . На участке (1) погрешность уменьшается в связи с уменьшением шага h. Но на участке (2) начинает доминировать вычислительная погрешность, накапливающаяся в результате многочисленных арифметических действий. Таким образом, для каждого метода существует своя R min , которая зависит от многих факторов, но прежде всего от априорного значения погрешности метода R .

Уточняющая формула Ромберга.

Метод Ромберга заключается в последовательном уточнении значения интеграла при кратном увеличении числа разбиений. В качестве базовой может быть взята формула трапеций с равномерным шагом h .
Обозначим интеграл с числом разбиений n = 1 как .
Уменьшив шаг в два раза, получим .
Если последовательно уменьшать шаг в 2 n раз, получим рекуррентное соотношение для расчета .

Пусть мы вычислили четыре раза интеграл с n от 1 до 4. Представим следующий треугольник:
R(1;1)
R(2;1) R(2;2)
R(3;1) R(3;2) R(3;3)
R(4;1) R(4;2) R(4;3) R(4;4)

В первом столбце стоят значения интеграла, полученные при последовательном удвоении числа интервалов. Следующие столбцы – результаты уточнения значения интеграла по следующей рекуррентной формуле:

Правое нижнее значение в треугольнике – искомое уточненное значение интеграла.

Метод Симпсона.

Подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом второй степени P(x) – параболой, проходящей через три узла, например, как показано на рисунке ((1) – функция, (2) ­– полином).

Рассмотрим два шага интегрирования (h = const = x i+1 – x i ), то есть три узла x 0 , x 1 , x 2 , через которые проведем параболу, воспользовавшись уравнением Ньютона:
.
Пусть z = x - x 0 ,
тогда

Теперь, воспользовавшись полученным соотношением, сосчитаем интеграл по данному интервалу:
.

1. Постановка задачи.

В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определенного интеграла

Этот интеграл может выражать площадь, объем, работу переменной силы и

Если функция непрерывна на отрезке и ее первообразную удается выразить через известные функции, то для вычисления интеграла (13.1) можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

К сожалению, в подавляющем большинстве случаев получить значение определенного интеграла с помощью формулы (13.2) или других аналитических методов не удается.

Пример 13.1. Интеграл широко используется при исследовании процессов теплообмена и диффузии, в статистической физике и теории вероятностей. Однако его значение может быть выражено в виде конечной комбинации элементарных функций.

Заметим, что даже в тех случаях, когда удается получить первообразную функцию в аналитической форме, значительные усилия, затраченные на это, часто оказываются чрезмерно высокой платой за окончательный результат. Добавим еще, что вычисления интеграла в этих случаях по формуле (13.2), как правило, приводят к громоздким (а часто - и приближенным) вычислениям. Следует отметить также, что зачастую найти точное значение интеграла (13.1) просто невозможно. Например, это имеет место, когда функция задается таблицей своих значений.

Обычно для вычисления значения определенного интеграла применяют специальные численные методы. Наиболее широко используют на практике квадратурные формулы - приближенные равенства вида

Здесь некоторые точки из отрезка узлы квадратурной формулы; числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы; целое число. Сумма которая принимается за приближенное значение интеграла, называется квадратурной суммой Величина называется погрешностью (или остаточным членом) квадратурной формулы.

Будем говорить, что квадратурная формула (13.3) точна для многочленов степени если для любого многочлена степени не выше эта формула дает точное значение интеграла, т.е.

При оценке эффективности квадратурных формул часто исходят из того, что наиболее трудоемкой операцией при вычислении по формуле (13.3) является нахождение значения функции Поэтому среди двух формул, позволяющих вычислить интеграл с заданной точностью более эффективной считается та, в которой используется меньшее число узлов.

Выведем простейшие квадратурные формулы, исходя из наглядных геометрических соображений. Будем интерпретировать интеграл (13.1) как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции осью абсцисс и прямыми (рис. 13.1, а).

Разобьем отрезок на элементарные отрезки точками Интеграл I разобьется при этом на сумму элементарных интегралов:

где что соответствует разбиению площади исходной криволинейной трапеции на сумму площадей элементарных криволинейных трапеций (рис. 13.1, б).

Введем обозначения: где середина элементарного отрезка. Для простоты шаг будем считать постоянным.

2. Формула прямоугольников.

Заменим приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основанием которого является отрезок а высота равна значению (на рис. 13.2, а через обозначена точка с координатами Так мы приходим к элементарной квадратурной формуле прямоугольников:

Производя такую замену для всех элементарных криволинейных трапеций, получаем составную квадратурную формулу прямоугольников?

Эта формула соответствует приближенной замене площади исходной криволинейной трапеции площадью ступенчатой фшуры, изображенной на рис. 13 2. б.

Замечание. Иногда используют формулы

называемые соответственно составными квадратурными формулами левых и правых прямоугольников. Геометрические иллюстрации приведены на рис. 13.3, а и б. В соответствии с этим формулу (13.6) иногда называют составной квадратурной формулой центральных прямоугольников.

3. Формула трапеций.

Соединив отрезком точки на графике функции получим трапецию (рис 13.4, а). Заменим теперь приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью построенной фигуры. Тогда получим элементарную квадратурную формулу трапеций:

Пользуясь этой формулой при выводим составную квадратурную формулу трапеций:

Эта формула соответствует приближенной замене площади исходной

(кликните для просмотра скана)

криволинейной трапеции площадью фигуры, ограниченной ломаной линией, проходящей через точки (рис. 13.4, 6).

4. Формула Симпсона.

Если площадь элементарной криволинейной трапеции заменить площадью фигуры, расположенной под параболой, проходящей через точки (рис. 13.5, а), то получим приближенное равенство Здесь интерполяционный многочлен второй степени с узлами Как нетрудно убедиться, верна формула

Ее интегрирование приводит к равенству

Таким образом, выведена элементарная квадратурная формула Симпсона:

Применяя эту формулу на каждом элементарном отрезке, выводим составную квадратурную формулу Симпсона:

Замечание 1. Учитывая геометрическую интерпретацию формулы Симпсона, ее иногда называют формулой парабол. Замечание 2. В случае, когда число элементарных отрезков разбиения четно в формуле Симпсона можно использовать лишь узлы с целыми индексами:

При выводе этой формулы роль элементарного отрезка играет отрезок длины

5. Оценка погрешности.

Оценим погрешность выведенных квадратурных формул в предложении, что подынтегральная функция достаточно гладкая. Как и в предыдущих главах, будем использовать обозначение

Теорема 13.1. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке Тогда для составных квадратурных формул прямоугольников и трапеций справедливы следующие оценки погрешности:

Выведем сначала оценку (13.13). Представим погрешность формулы прямоугольников в виде

Используя формулу Тейлора

где имеем

Так как то Замечая, что , приходим к оценке (13.13).

Для вывода оценки (13.14) воспользуемся тем, что отрезок, соединяющий точки представляет собой график интерполяционного многочлена первой степени Поэтому для элементарной формулы трапеций верно равенство

Используя оценку (11.28) погрешности линейной интерполяции, имеем

Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из геометрического смысла определенного интеграла – значение определенного интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x) , осью абсцисс и прямыми х=а, х=b . Находя приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем подинтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией, по определенной зависимости интерполирующей значения подинтегральной функции в точках разбиения. Рассмотрим теперь простейшие из численных методов интегрирования.

Итак, функция у=f(x) интегрируема на сегменте и требуется вычислить ее интеграл . Составим интегральную сумму для f(x) на сегменте . Для этого разобьем сегмент на n равных между собой частей с помощью точек: x 1 , x 2 , … , x k , … , x n-1 .

Если длину каждой части мы обозначим через х , так что , то для каждой точки x k будем иметь: (k=0, 1, 2, …, n).

Обозначим теперь через y k значение подынтегральной функции f(x) при то есть положим (k=0, 1, …, n).

Тогда суммы будут интегральными для функции f(x) на отрезке . (При составлении первой суммы мы рассматриваем значения функции y=f(x) в точках, являющихся левыми концами частичных сегментов, а при составлении второй суммы – в точках, являющихся правыми концами этих сегментов.)

По определению интеграла имеем:

и

Поэтому в качестве приближенного значения естественно взять интегральную сумму ,т.е. положить:

т.е (1)

и (1")

Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.

В том случае, когда f(x) 0 , формулы (1) и (1’) с геометрической точки зрения означают, что площадь криволинейной трапеции aABb , ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b , принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями и высотами: y 0 , y 1 , y 2 , …, y n-1 – в случае формулы (1) (рис.8) и y 1 , y 2 , y 3 , …, y n – в случае формулы (1") (рис.9).

Исходя из приведенного выше геометрического смысла формул (1) и (1") способ приближенного вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть методом прямоугольников .

Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается оценкой допущенной при этом погрешности. Поэтому формулы прямоугольников будут практически пригодны для приближенного вычисления интегралов лишь в том случае, если будет существовать удобный способ оценки получающейся при этом погрешности (при заданном n), позволяющий к тому же находить и число частей n разбиения сегмента, гарантирующее требуемую степень точности приближенного вычисления.

Будем предполагать, что функция f(x) имеет ограниченную производную на сегменте , так что существует такое число М>0 , что для всех значений х из выполняется неравенство |f"(x)|M . Качественный смысл этого неравенства заключается в том, что скорость изменения значения функции ограничена. В реальных природных системах это требование практически всегда выполнено. В этих условиях абсолютная величина погрешности R n , которую мы допускаем, вычисляя интеграл по формуле прямоугольников может быть оценена по формуле :

|R n | M(b-a) 2 /2n (2)

При неограниченном возрастании n выражение M(b-a) 2 /2n , а следовательно, и абсолютная величина погрешности R n будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем больше, чем на большее число равных частей будет разделен сегмент . Абсолютная погрешность результата будет заведомо меньше заданного числа >0 , если взять

n > M(b-a) 2 /2 .

Следовательно, для вычисления интеграла с указанной степенью точности достаточно сегмент разбить на число частей, большее числа M(b-a) 2 /2 . .

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (3а) и (3б). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения.

Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое правых частей формул (1) и (1"):

(4)

Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подинтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой равна и следовательно, формула (4) представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рис.10) . Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.

Приведя в формуле (4) подобные члены, окончательно получим

Формулу (5) называют формулой трапеций .

Формулой трапеций часто пользуются для практических вычислений. Что касается оценки погрешности R n , возникающей при замене левой части (5) правой, то доказывается, что абсолютная величина ее удовлетворяет неравенству:

(6)

где М 2 – максимум модуля второй производной подинтегральной функции на отрезке , т.е.

.

Следовательно, R n убывает при по крайней мере так же быстро, как .

Абсолютная погрешность R n будет меньше наперед заданного числа > 0 , если взять .

Значительное повышение точности приближенных формул может быть достигнуто за счет повышения порядка интерполяции. Одним из таких методов приближенного интегрирования является метод парабол. Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает к кривой y=f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой, и поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных “сверху” дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y=f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций. Сущность метода заключается в следующем. Отрезок делится на 2n равных частей. Пусть точки деления будут

х 0 =а, x 1 , x 2 , …x 2n-2 , x 2n-1 , x 2n =b, а для формулы парабол – пропорционально величине , т.е. метод парабол сходится значительно быстрее метода трапеций, тогда как с точки зрения техники вычислений оба метода одинаковы.

Методы численного интегрирования

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Лекция-5

Замечание.

Операторы

use linear_operators

означают подключение библиотек стандартных подпрограмм dfimsl и
linear_operators, соответственно.

В библиотеке linear_operators возможно использовать стандартную подпрограмму определения собственных чисел и векторов eig в виде:

lambda=eig(a,v=y),

a – исходная матрица (двумерный массив nxn ),

lambda – вектор собственных чисел (одномерный массив длиной n ),

y – матрица собственных векторов, расположенных по столбцам (двумерный массив nxn ).

Перечисленные массивы должны быть объявлены в программе.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл вида

Для многих функций первообразные представляют собой достаточно сложные комбинации элементарных функций, либо вовсе не выражаются через них. В таких случаях использование формулы Ньютона-Лейбница на практике не представляется возможным. Во многих практических случаях достаточно получить значение интеграла с заданной точностью . Для вычисления приближенного значения интеграла существуют формулы численного интегрирования. Суть построения формул численного интегрирования состоит в следующем.

Разобьем отрезок на частей. Для простоты изложения положим эти части одинаковой длины :

Пронумеруем точки разбиения так, как показано на рис. 2.5.1. Имеем:

Рис. 2.5.1. К вопросу о численном интегрировании.

Исходный интеграл (2.5.1) может быть представлен в виде суммы интегралов по полученным в результате разбиения «малым» отрезкам:

. (2.5.2)

Интегралы

вычисляются по приближенным формулам.

Простейшие формулы для приближенного вычисления интегралов по отрезку называются квадратурными формулами . Рассмотрим некоторые из них ниже, а также изучим вопросы их точности. Порядок точности квадратурной формулы определяется степенью полинома (многочлена), для которой эта квадратурная формула точна.

2.5.2. Формула прямоугольников (формула «средних»).

Заменим на i -ом участке интегрируемую функцию постоянной величиной, например, равной ее значению в средней точке (рис. 2.5.2):

Рис. 2.5.2. К интегрированию по формуле прямоугольников.

, где . (2.5.4)

Тогда интеграл на отрезке заменяется площадью прямоугольника, т.е.

, (2.5.5)

и вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы

. (2.5.6)

Кроме того, часто из практических соображений в качестве в формуле (2.5.6) берется , либо . В результате получаем:

(2.5.7)


– квадратурная формула «левых» прямоугольников;

(2.5.8)

– квадратурная формула «правых» прямоугольников.

Формулы (2.5.7) и (2.5.8) менее точные, чем (2.5.6), но иногда более удобные, например, при численном решении дифференциальных уравнений.

Точность вычисления . Как следует из построения квадратурные формулы прямоугольников дают точный результат интегрирования для функций, постоянных на i -ом участке (). Квадратурная формула «средних» прямоугольников дает точный результат также и для линейных на i -ом отрезке функций. Это утверждение достаточно проверить для простейшей линейной функции .

При точном интегрировании получаем:

,

а при интегрировании по формуле «средних» прямоугольников

Как видно, результаты точного и численного интегрирования совпадают.

Страница 1

Кафедра «Высшей математики»
Реферат:

Выполнил: Матвеев Ф.И.
Проверила: Бурлова Л.В.

Улан-Удэ.2002

1.Численные методы интегрирования

2.Вывод формулы Симпсона

3.Геометрическая иллюстрация

4.Выбор шага интегрирования

5.Примеры

1. Численные методы интегрирования
Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла

посредством ряда значений подынтегральной функции
.

Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной.

Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.

Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции
полиномом степени . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие.

Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции
сплайном-кусочным полиномом.

В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.



суммарная погрешность

погрешность усечения

погрешность округления

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества

разбиений отрезка
. Однако при этом возрастает погрешность округления

за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины частичного отрезка.
2. Вывод формулы Симпсона
Если для каждой пары отрезков
построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию
на отрезке
. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с
в точках :

Проинтегрируем
:

Формула:


и называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла
значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми
,
и параболой, проходящей через точки

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у на отрезке
существуют непрерывные производные
. Составим разность

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку
непрерывна на
и функция неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором (то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:

(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку
- непрерывная функция;
).

Дифференцируя
дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для
другое выражение:

, где

Из обеих оценок для
следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде:

,
.

Если отрезок
интегрирования слишком велик, то его разбивают на
равных частей (полагая
), после чего к каждой паре соседних отрезков
,
,...,
применяют формулу Симпсона, именно:

Запишем формулу Симпсона в общем виде:

(1)

(2)

Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:

,
(3)

Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если
не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность.

Например, для функции форма трапеции при
для
дает точный результат
, тогда как по формуле Симпсона получаем

3. Геометрическая иллюстрация


На отрезке
длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки
,
. Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямыми
, принимают равной интегралу
.

Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное.

Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции.

(4)

Это формула Симпсона «трех восьмых».

Для произвольного отрезка интегрирования
формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем (
точек).

, m=2,3,... (5)

- целая часть

Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков:

(6)

- количество отрезков разбиения;

- степень используемого полинома;

- производная -го порядка в точке
;

- шаг разбиения.

В таблице 1 выписаны коэффициенты
. Каждая строка соответствует одному набору промежутков
узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их.


Таблица 1:

k

C0

A0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

2



1

4

1

1

4

1

1

4

1

1

4

2

2

4

1


Алгоритм оценки погрешности формул трапеции и Симпсона можно записать в виде:
(7),

где - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств подынтегральной функции;

h - шаг интегрирования;

p - порядок метода.

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.

(8)

(8) - апостериорная оценка. Тогда Iуточн.= +Ro (9),
уточненное значение интеграла
.

Если порядок метода неизвестен, необходимо вычислить I в третий раз с шагом
, то есть:

из системы трех уравнений:

с неизвестными I,А и p получаем:

(10)

Из (10) следует
(11)

Таким образом, метод двойного просчета, использованный необходимое число раз, позволяет вычислить интеграл с заданной степенью точности. Выбор необходимого числа разбиений осуществляется автоматически. Можно при этом использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов этих методов. Однако для методов, использующих равноотносящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования. Два приближенных значения интеграла
и
, вычисляемые по методу трапеции с шагами и
, связаны соотношением:

Аналогично, для интегралов, вычисленных по формуле с шагами и
, справедливы соотношения:

,

(13)

4. Выбор шага интегрирования
Для выбора шага интегрирования можно воспользоваться выражением остаточного члена. Возьмем, например, остаточный член формулы Симпсона:

Если 

, то 

.

По заданной точности  метода интегрирования из последнего неравенства определяем подходящий шаг.

,
.

Однако такой способ требует оценки
(что на практике не всегда возможно). Поэтому пользуются другими приемами определения оценки точности, которые по ходу вычислений позволяют выбрать нужный шаг h.

Разберем один из таких приемов. Пусть

,

где - приближенное значение интеграла с шагом . Уменьшим шаг в два раза, разбив отрезок
на две равные части
и
(
).

Предположим теперь, что
меняется не слишком быстро, так что
почти постоянна: . Тогда
и
, откуда
, то есть
.

Отсюда можно сделать такой вывод: если
, то есть если
,
, а - требуемая точность, то шаг подходит для вычисления интеграла с достаточной точностью. Если же
, то расчет повторяют с шагом и затем сравнивают
и
и т.д. Это правило называется правилом Рунге.

Однако при применении правила Рунге необходимо учитывать величину погрешности вычислений: с уменьшением абсолютная погрешность вычислений интеграла увеличивается (зависимость
от обратно пропорциональная) и при достаточно малых может оказаться больше погрешности метода. Если превышает
, то для данного шага применять правило Рунге нельзя и желаемая точность не может быть достигнута. В таких случаях необходимо увеличивать значение .

При выводе правила Рунге вы существенно пользовались предположением, что
. Если имеется только таблица значений , то проверку
«на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств
уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.

Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами
, причем
. Вычисление значений . Тогда
(14).

За меру точности метода Симпсона принимают величину:

5. Примеры
Пример 1. Вычислить интеграл
по формуле Симпсона, если
задана таблицей. Оценить погрешность.

Таблица 3.




0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8




1

0.995

0.98

0.955

0.921

0.878

0.825

0.765

0.697

Решение: Вычислим по формуле (1) при
и
интеграл .

По правилу Рунге получаем
Принимаем .


Пример 2. Вычислить интеграл
.

Решение: Имеем
. Отсюда h=
=0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 4.


Таблица 4.

Вычисление интеграла по формуле Симпсона


i









0

0

y0=1,00000

1

0.1

0,90909

2

0.2

0,83333

3

0.3

0,76923

4

0.4

0,71429

5

0.5

0,66667

6

0.6

0,62500

7

0.7

0,58824

8

0.8

0,55556

9

0,9

0,52632

10

1,0

0,50000=yn



3,45955(1)

2,72818(2)

По формуле Симпсона получим:

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена . Очевидно:-0,289687


4

2,35

-0,70271

-0,299026

2,4

-0,73739

-0,307246

2

2,45

-0,77023

-0,314380

2,5

-0,80114

-0,320465

4

2,55

-0,83005

-0,325510

2,6

-0,85689

-0,329573

2

2,65

-0,88158

-0,332672

2,7

-0,90407

-0,334841

4

2,75

-0,92430

-0,336109

 3.