1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости.

2. Инварианты уравнений линий второго порядка.

3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.

4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.

5. Центры линий второго порядка.

6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.

7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.

8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.

Определение:

Евклидова плоскость – это пространство размерности 2,

(двумерное вещественное пространство).

Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести проис­ходит по одной из этих линий.

Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится ли­ния, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении по­лучится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих ко­нуса (на 1.1, в - это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.

Рисунок 1.1

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

(1)

(1*)

Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фо­кусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Оче­видно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на­чало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F 1 и F 2 совпадают, то О совпадает с F 1 и F 2 , а за ось Ох можно взять лю­бую ось, проходящую через О).

Пусть длина отрезка F 1 F 2 F 1 и F 2 соответствен­но имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоян­ную, о которой говорится в опреде­лении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с ( Если М - точка эллипса (см. рис. 1.2), то | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , а так как сумма двух сторон MF 1 и MF 2 треугольника MF 1 F 2 больше третьей стороны F 1 F 2 = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F 1 F 2 и эллипс вырождается в отрезок.).

Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1.2). Обозначим через r 1 и r 2 расстояния от точки М до точек F 1 и F 2 соответственно. Со­гласно определению эллипса равенство

r 1 + r 2 = 2а (1.1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

(1.2)

Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие распо­ложения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. По­этому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4) (1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). По­скольку при алгебраических преобразованиях, связанных с изба­влением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы дол­жны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величи­ны r 1 и r 2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравне­нию (1.4). Подставляя значение у 2 из (1.4) в правую часть вы­ражения (1.2) для г 1 после несложных преобразований найдем, что

, тогда .

Совершенно аналогично найдем, что

. Таким обра­зом, для рассматриваемой точки М , (1.6)

т. е.r 1 + r 2 = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объяс­няется тем, что а>Ь).

Замечание . Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b , а центр совпадает с началом координат.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина раз­ности расстояний до двух фиксированных точек, F 1 и F 2 этой пло­скости, называемых фокусами, есть величина постоянная ( Фокусы F 1 и F 2 гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF 1 и F 2 , которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F 1 совпадает с F 2 , то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу на­правим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F 1 F 2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 и F 2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гипер­болы. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a < с. Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), получен­ное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r 1 и r 2 следующие выражения:

(1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем

, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением ги­перболы. Величины а и b называются соответственно действи­тельной и мнимой полуосями гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до не­которой фиксированной прямой, также расположенной в рас­сматриваемой плоскости.

Малый дискриминант 5 (§ 66) для эллипса положителен (см. пример 1 § 66), для гиперболы отрицателен, для параболы равен нулю.

Доказательство. Эллипс представляется уравнением . У этого уравнения малый дискриминант При преобразовании координат сохраняет свою величину, а при умножении обеих частей уравнения на какое-либо число дискриминант умножается на (§ 66, замечание). Следовательно, дискриминант эллипса положителен в любой системе координат. В случае гиперболы и в случае параболы доказательство аналогично.

Согласно с этим различают три типа линий второго порядка (и уравнений второй степени):

1. Эллиптический тип, характеризующийся условием

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс (§ 58, пример 5) и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке (§ 58, пример 4).

2. Гиперболический тип, характеризующийся условием

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых (§ 58, пример 1).

3. Параболический тип, характеризующийся условием

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

Пример 1. Уравнение

принадлежит к параболическому типу, так как

Поскольку большой дискриминант

не равен нулю, то уравнение (1) представляет нераспадающуюся линию, т. е. параболу (ср. §§ 61-62, пример 2).

Пример 2. Уравнение

принадлежит к гиперболическому типу, так как

поскольку

то уравнение (2) представляет пару пересекающихся прямых. Их уравнения можно найти по способу § 65.

Пример 3. Уравнение

принадлежит к эллиптическому типу, так как

Поскольку

то линия не распадается и, значит, является эллипсом.

Замечание. Однотипные линии геометрически связаны так: пара пересекающихся мнимых прямых (т. е. одна действительная точка) есть предельный случай эллипса, «стягивающегося в точку» (рис. 88); пара пересекающихся действительных прямых - предельный случай гиперболы, приближающейся к своим асимптотам (рис. 89); пара параллельных прямых - предельный случай параболы, у которой ось и одна пара точек симметричных относительно оси (рис. 90), неподвижны, а вершина удаляется в бесконечность.

1. Окружность. 2Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки, называемой центром окружности. Расстояние от произвольной точки окружности до его центра называется радиусом окружности .

g Если центр окружности находится в точке , а радиус равен R , то уравнение окружности имеет вид:

4Обозначим через (рис. 3.5) произвольную точку окружности. Используя формулу расстояния между двумя токами (3.1) и определение окружности, получим: . Возводя полученное равенство в квадрат, мы получим формулу (3.13).3

2. Эллипс. 2 Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Для того, чтобы вывести каноническое (простейшее) уравнение эллипса, примем за ось Ox прямую, соединяющую фокусы F 1 и F 2 . Пусть при этом фокусы будут симметричны относительно начала координат, т.е. будут иметь координаты: и . Здесь через 2с обозначено расстояние между фокусами. Обозначим через x и y координаты произвольной точки М эллипса (рис 3.6). Тогда по определению эллипса, сумма расстояний от точки М до точек F 1 и F а ).

Уравнение (3.14) является уравнением эллипса. Упростим данное уравнение, избавившись от квадратных корней. Для этого перенесем один из радикалов в правую часть равенства (3.14) и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Возводя последнее равенство в квадрат, получим

Разделим обе части на :

.

Так как сумма расстояний от произвольной точки эллипса до его фокусов больше расстояния между фокусами, т.е. 2а > 2c , то .

Обозначим через b 2 . Тогда простейшее (каноническое) уравнение эллипса будет иметь вид:

где положено

Оси координат являются осями симметрии эллипса, заданного уравнением (3.15). Действительно, если точка с текущими координатами (x ; y ) принадлежит эллипсу, то и точки при любом сочетании знаков принадлежат эллипсу.

2Ось симметрии эллипса, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса. Подставляя x = 0 или y = 0 в уравнение эллипса найдем координаты вершин:

А 1 (a ; 0), А 2 (– a ; 0), B 1 (0; b ), B 2 (0; – b ).

2Отрезки А 1 А 2 и B 1 B 2 , соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины 2a и 2b , называют соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b , называют соответственно большой и малой полуосями эллипса.

2Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами (2с ) к большой оси (2a ), т.е.

Так как а и с положительны, причем c < a , то эксцентриситет эллипса больше нуля, но меньше единицы ().

Если фокусы эллипса расположены на оси Oy (рис.3.7), то уравнение эллипса останется таким же, как и в предыдущем случае:

Однако в этом случае полуось b будет больше, чем a (эллипс вытянут вдоль оси Oy ). Формулы (3.16) и (3.17) претерпят следующие изменения соответственно:

3. Гипербола. 2Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выводится каноническое уравнение гиперболы аналогично тому как это делалось в случае эллипса. За ось Ox принимаем прямую, соединяющую фокусы F 1 и F 2 (рис.3.8). Пусть при этом фокусы будут симметричны относительно начала координат, т.е. будут иметь координаты: и . Через 2с , как и прежде, обозначено расстояние между фокусами.

Обозначим через (x ; y М гиперболы. Тогда по определению гиперболы, разность расстояний от точки М до точек F 1 и F 2 равно константе (обозначим эту константу через 2а ).

Производя преобразования аналогичные тем, которые применялись при упрощении уравнения эллипса, мы придем к каноническому уравнению гиперболы:

, (3.21)
где положено

Оси координат являются осями симметрии гиперболы.

2Ось симметрии гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения гиперболы с ее осями симметрии называются вершинами гиперболы. С осью Oy гипербола не пересекается, т.к. уравнение не имеет решения. Подставляя y = 0 в уравнение (3.21) найдем координаты вершин гиперболы: А 1 (a ; 0), А 2 (– a ; 0).

2Отрезок 2a , длина которого равна расстоянию между вершинами гиперболы, называют действительной осью гиперболы. Отрезок 2b называют мнимой осью гиперболы. Числа a и b , называют соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Можно доказать, что прямые линии

являются асимптотами гиперболы, т.е. такими прямыми, к которым неограниченно приближаются точки гиперболы при их неограниченном удалении от начала координат ().

2Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами (2с ) к действительной оси (2a ), т.е., как и в случае эллипса

Однако в отличии от эллипса эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Если фокусы гиперболы расположены на оси Oy , то в левой части уравнения гиперболы изменятся знаки на противоположные:

. (3.25)

В этом случае полуось b будет действительной, а полуось a – мнимой. Ветви гиперболы будут симметричны относительно оси Oy (рис 3.9). Формулы (3.22) и (3.23) не изменятся, формула (3.24) будет выглядеть следующим образом:

4. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что фокус не лежит на директрисе).

Для того, чтобы составить простейшее уравнение параболы примем за ось Ox прямую, проходящую через ее фокус перпендикулярно директрисе, и направленную от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину отрезка O от фокуса F до точки А пересечения оси Ox с директрисой. Длина отрезка AF обозначается через p и называется параметром параболы.

В данной системе координат координаты точек А и F будут, соответственно, , . Уравнение директрисы параболы будет . Обозначим через (x ; y ) координаты произвольной точки М параболы (рис. 3.10). Тогда по определению параболы:

. (3.27)

Возведем обе части равенства (3.27) в квадрат:

, или

, откуда

Рассмотрим задачу приведения уравнения линии второго порядка к наиболее простому (каноническому) виду.

Напомним, что алгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат Ox_1x_2 может быть задано уравнением вида p(x_1,x_2)=0, где p(x_1,x_2) - многочлен второй степени двух переменных Ox_1x_2 . Требуется найти прямоугольную систему координат, в которой уравнение линии приняло бы наиболее простой вид.

Результатом решения поставленной задачи является следующая основная теорема (3.3)

Классификация алгебраических линий второго порядка (теорема 3.3)

Для любой алгебраической линии второго порядка существует прямоугольная система координат Oxy , в которой уравнение этой линии принимает один из следующих девяти канонических видов:

Теорема 3.3 дает аналитические определения линий второго порядка. Согласно пункту 2 замечаний 3.1, линии (1), (4), (5), (6), (7), (9) называются вещественными (действительными), а линии (2), (3), (8) - мнимыми.

Приведем доказательство теоремы, поскольку оно фактически содержит алгоритм решения поставленной задачи.

Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение линии второго порядка задано в прямоугольной системе координат Oxy . В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат Ox_1x_2 к прямоугольной Oxy , при этом уравнение линии будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 3.1 об инвариантности порядка алгебраической линии.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy алгебраическая линия второго порядка задана уравнением

A_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,

в котором хотя бы один из старших коэффициентов a_{11},a_{12},a_{22} отличен от нуля, т.е. левая часть (3.34) - многочлен двух переменных x,y второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных x и y , а также при их произведении x\cdot y взяты удвоенными просто для удобства дальнейших преобразований.

Для приведения уравнения (3.34) к каноническому виду используются следующие преобразования прямоугольных координат:

– поворот на угол \varphi

\begin{cases}x=x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\y=x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi;\end{cases}

– параллельный перенос

\begin{cases}x=x_0+x",\\y=y_0+y";\end{cases}

– изменение направлений координатных осей (отражения в координатных осях):

оси ординат \begin{cases}x=x",\\y=-y",\end{cases} оси абсцисс \begin{cases}x=-x",\\y=y",\end{cases} обеих осей \begin{cases}x=-x",\\y=-y";\end{cases}

– переименование координатных осей (отражение в прямой y=x )

\begin{cases}x=y",\\y=x",\end{cases}

где x,y и x",y" - координаты произвольной точки в старой (Oxy) и новой O"x"y" системах координат соответственно.

Кроме преобразования координат обе части уравнения можно умножать на отличное от нуля число.

Рассмотрим сначала частные случаи, когда уравнение (3.34) имеет вид:

\begin{aligned} &\mathsf{(I)\colon}~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\ &\mathsf{(II)\colon}~ \lambda_2\cdot y^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\ &\mathsf{(III)\colon}~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \end{aligned}

Эти уравнения (также многочлены в левых частях) называются приведенными. Покажем, что приведенные уравнения (I), (II), (III) сводятся к каноническим (1)–(9).

Уравнение (I). Если в уравнении (I) свободный член равен нулю (a_0=0) , то, разделив обе части уравнения \lambda_2y^2=0 на старший коэффициент (\lambda_0\ne0) , получим y^2=0 - уравнение двух совпадающих прямых (9), содержащих ось абсцисс y=0 . Если же свободный член отличен от нуля a_0\ne0 , то разделим обе части уравнения (I) на старший коэффициент (\lambda_2\ne0): y^2+\frac{a_0}{\lambda_2}=0 . Если величина отрицательная, то, обозначив ее через -b^2 , где b=\sqrt{-\frac{a_0}{\lambda_2}} , получаем y^2-b^2=0 - уравнение пары параллельных прямых (7): y=b или y=-b . Если же величина \frac{a_0}{\lambda_2} положительная, то, обозначив ее через b^2 , где b=\sqrt{\frac{a_0}{\lambda_2}} , получаем y^2+b^2=0 - уравнение пары мнимых параллельных прямых (8). Это уравнение не имеет действительных решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, отвечающих этому уравнению. Однако в области комплексных чисел уравнение y^2+b^2=0 имеет два сопряженных решения y=\pm ib , которые иллюстрируются штриховыми линиями (см. пункт 8 теоремы 3.3).

Уравнение (II). Разделим уравнение на старший коэффициент (\lambda_2\ne0) и перенесем линейный член в правую часть: y^2=-\frac{2a_1}{\lambda_2}\,x . Если величина отрицательная, то, обозначая p=-\frac{a_1}{\lambda_2}>0 , получаем y^2=2px - уравнение параболы (6). Если величина \frac{a_1}{\lambda_2} положительная, то, изменяя направление оси абсцисс, т.е. выполняя второе преобразование в (3.37), получаем уравнение (y")^2=\frac{2a_1}{\lambda_2}\,x" или (y")^2=2px" , где p=\frac{a_1}{\lambda_2}>0 . Это уравнение параболы в новой системе координат Ox"y" .

Уравнение (III). Возможны два случая: либо старшие коэффициенты одного знака (эллиптический случай), либо противоположных знаков (гиперболический случай).

В эллиптическом случае (\lambda_1\lambda_2>0)

\mathsf{(III)}\quad\Leftrightarrow\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \Leftrightarrow \quad \frac{\lambda_1}{-a_0}\cdot x^2+\frac{\lambda_2}{-a_0}\cdot y^2=1

Противоположен знаку a_0 , то, обозначая положительные величины и \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 - уравнение эллипса (1).

Если знак старших коэффициентов \lambda_1,\lambda_2 совпадает со знаком a_0 , то, обозначая положительные величины \frac{a_0}{\lambda_1} и \frac{a_0}{\lambda_2} через a^2 и b^2 , получаем -\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1~\Leftrightarrow~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1 - уравнение мнимого эллипса (2). Это уравнение не имеет действительных решений. Однако оно имеет решения в области комплексных чисел, которые иллюстрируются штриховой линией (см. пункт 2 теоремы 3.3).

Можно считать, что в уравнениях эллипса (действительного или мнимого) коэффициенты удовлетворяют неравенству a\geqslant b , в противном случае этого можно добиться, переименовывая координатные оси, т.е. делая преобразование (3.38) системы координат.

Если свободный член уравнения (III) равен нулю (a_0=0) , то, обозначая положительные величины \frac{1}{|\lambda_1|} и \frac{1}{|\lambda_2|} через a^2 и b^2 , получаем \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0 - уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (3). Этому уравнению удовлетворяет только точка с координатами x=0 и y=0 , т.е. точка O - начало координат. Однако в области комплексных чисел левую часть уравнения можно разложить на множители \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac{y}{b}+i\,\frac{x}{a}\right)\!\!\left(\frac{y}{b}-i\,\frac{x}{a}\right) , поэтому уравнение имеет сопряженные решения y=\pm i\,\frac{b}{a}\,x , которые иллюстрируются штриховыми линиями, пересекающимися в начале координат (см. пункт 3 теоремы 3.3).

В гиперболическом случае (\lambda_1,\lambda_2<0) при a_0\ne0 переносим свободный член в правую часть и делим обе части на -a_0\ne0 :

\mathsf{(III)}\quad \Leftrightarrow \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\lambda_1}{-a_0}\cdot x^2+\frac{\lambda_2}{-a_0}\cdot y^2=1.

Величины \frac{-a_0}{\lambda_1} и \frac{-a_0}{\lambda_2} имеют противоположные знаки. Без ограничения общности считаем, что знак \lambda_2 совпадает со знаком свободного члена a_0 , т.е. \frac{a_0}{\lambda_2}>0 . В противном случае нужно переименовать координатные оси, т.е. сделать преобразование (3.38) системы координат. Обозначая положительные величины \frac{-a_0}{\lambda_1} и \frac{a_0}{\lambda_2} через a^2 и b^2 , получаем \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 - уравнение гиперболы (4).

Пусть в уравнении (III) свободный член равен нулю (a_0=0) . Тогда можно считать, что \lambda_1>0 , а \lambda_2<0 (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины \frac{1}{\lambda_1} и -\frac{1}{\lambda_2} через a^2 и b^2 , получаем \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 - уравнение пары пересекающихся прямых (5). Уравнения прямых находятся в результате разложения на множители левой части уравнения

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\!\!\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0 , то есть y=\pm\frac{b}{a}\cdot x

Таким образом, приведенные уравнения (I),(II),(III) алгебраической линии второго порядка сводятся к одному из канонических видов (1)–(9), перечисленных в теореме 3.3.

Осталось показать, что общее уравнение (3.34) можно свести к приведенным при помощи преобразований прямоугольной системы координат.

Упрощение общего уравнения (3.34) производится в два этапа. На первом этапе при помощи поворота системы координат "уничтожается" член с произведением неизвестных. Если произведения неизвестных нет (a_{12}=0) , то поворот делать не надо (в этом случае переходим сразу ко второму этапу). На втором этапе при помощи параллельного переноса "уничтожаются" один или оба члена первой степени. В результате получаются приведенные уравнения (I),(II),(III).

Первый этап: преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат.

Если коэффициент a_{12}\ne0 , выполним поворот системы координат на угол \varphi . Подставляя выражения (3.35) в уравнение (3.34), получаем:

\begin{gathered} a_{11}(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)^2+2a_{12}(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)(x"\sin\varphi+y"\cos\varphi)+a_{22}(x"\sin\varphi+y"\cos\varphi)^2+\\ +2a_1(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)+2a_2(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)+a_0=0. \end{gathered}

Приводя подобные члены, приходим к уравнению вида (3.34):

A"_{11}(x")^2+2a"_{12}x"y"+a"_{22}(y")^2+2a"_1x"+2a"_2y"+a"_0=0,

\begin{aligned}a"_{11}&=a_{11}\cos^2\varphi+2a_{12}\cos\varphi\sin\varphi+a_{22}\sin^2\varphi;\\ a"_{12}&=-a_{11}\cos\varphi\sin\varphi+a_{12}(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_{22}\cos\varphi\sin\varphi;\\ a"_{22}&=a_{11}\sin^2\varphi-2a_{12}\cos\varphi\sin\varphi+a_{22}\cos^2\varphi;\\ a"_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a"_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi; \quad a"_0=a_0. \end{aligned}

Определим угол \varphi так, чтобы a"_{12}=0 . Преобразуем выражение для a"_{12} , переходя к двойному углу:

A"_{12}= -\frac{1}{2}\,a_{11}\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi+\frac{1}{2}\,a_{22}\sin2\varphi= \frac{a_{22}-a_{11}}{2}\,\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi.

Угол \varphi должен удовлетворять однородному тригонометрическому уравнению \frac{a_{22}-a_{11}}{2}\,\sin2\varphi+a_{12}\cos2\varphi=0 , которое равносильно уравнению

\operatorname{ctg}2\varphi=\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}},

поскольку a_{12}\ne 0 . Это уравнение имеет бесконечное количество корней

\varphi=\frac{1}{2}\operatorname{arcctg}\frac{a_{11}-a_{22}}{2a_{12}}+\frac{\pi}{2}\,n, \quad n\in\mathbb{Z}.

Выберем любой из них, например, угол \varphi из интервала 0<\varphi<\frac{\pi}{2} . Тогда в уравнении (3.39) исчезнет член 2a"_{12}x"y" , поскольку a"_{12}=0 .

Обозначив оставшиеся старшие коэффициенты через \lambda_1= a" и \lambda_2=a"_{22} , получим уравнение

\lambda_1\cdot(x")^2+\lambda_2\cdot(y")^2+2\cdot a"_1\cdot x"+2\cdot a"_2\cdot y"+a"_0=0.

Согласно теореме 3.1, уравнение (3.41) является уравнением второй степени (при преобразовании (3.35) порядок линии сохраняется), т.е. хотя бы один из старших коэффициентов \lambda_1 или \lambda_2 отличен от нуля. Далее будем считать, что именно коэффициент при (y")^2 не равен нулю (\lambda_2\ne0) . В противном случае (при \lambda_2=0 и \lambda_1\ne0 ) следует сделать поворот системы координат на угол \varphi+\frac{\pi}{2} , который также удовлетворяет условию (3.40). Тогда вместо координат x",y" в (3.41) получим y",-x" соответственно, т.е. отличный от нуля коэффициент \lambda_1 будет при (y")^2 .

Второй этап: преобразование уравнения линии второго порядка при параллельном переносе прямоугольной системы координат.

Уравнение (3.41) можно упростить, выделяя полные квадраты. Нужно рассмотреть два случая: \lambda_1\ne0 или \lambda_1=0 (согласно предположению \lambda_2\ne0 ), которые называются центральный (включающий эллиптический и гиперболический случаи) или параболический соответственно. Геометрический смысл этих названий раскрывается в дальнейшем.

Центральный случай: \lambda_1\ne0 и \lambda_2\ne0 . Выделяя полные квадраты по переменным x",y" , получаем

\begin{gathered}\lambda_1\left[(x")^2+2\,\frac{a"_1}{\lambda_1}\,x"+{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2\right]+ \lambda_2\left[(y")^2+2\,\frac{a"_2}{\lambda_2}\,y"+{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0~\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x"+\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0. \end{gathered}

После замены переменных

\left\{\begin{aligned} x""&=x"+\frac{a"_1}{\lambda_1},\\ y""&=y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right.

получаем уравнение

\lambda_1\,(x"")^2+\lambda_2\,(y"")^2+a""_0=0,

где a""_0=-\lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0 .

Параболический случай: \lambda_1=0 и \lambda_2\ne0 . Выделяя полный квадрат по переменной y" , получаем

\begin{gathered} \lambda_2\left[(y")^2+2\cdot\frac{a"_2}{\lambda_2}\cdot y"+{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0 \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0.\end{gathered}

Если a"_1\ne0 , то последнее уравнение приводится к виду

\lambda_2{\left(y"+ \frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+ 2\cdot a"_1\left=0.

Сделав замену переменных

\left\{\begin{aligned} x""&=x"+\frac{a"_0}{2a"_1}- \frac{\lambda_2}{2a"_1}{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2,\\ y""&=y"+ \frac{a"_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right.

получим, где a""_1=a"_1

\lambda_2\cdot(y"")^2+2\cdot a""_1\cdot x""=0,

Если a"_1=0 , то уравнение (3.44) приводится к виду, где a""_0=-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2} \right)\!}^2+a"_0 ,

\lambda_2\cdot(y"")^2+a""_0,

\left\{\begin{aligned}x""&=x",\\y""&=y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}.\end{aligned}\right.

Замены переменных (3.42), (3.45), (3.48) соответствуют параллельному переносу системы координат Ox"y" (см. пункт 1"a" замечаний 2.3).

Таким образом, при помощи параллельного переноса системы координат Ox"y" получаем новую систему координат O""x""y"" , в которой уравнение линии второго порядка принимает вид (3.43), или (3.46), или (3.47). Эти уравнения являются приведенными (вида (III),(II) или (I) соответственно).

Основная теорема 3.3 о приведении уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду доказана.

Замечания 3.8

1. Система координат, в которой уравнение алгебраической линии второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, изменяя направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной y на (-y) не изменяет уравнений (1)–(9). Поэтому ориентация канонической системы координат не имеет принципиального значения, ее всегда можно сделать правой, изменив при необходимости направление оси ординат.

2. Ранее показано, что преобразования прямоугольных систем координат на плоскости сводятся к одному из преобразований (2.9) или (2.10):

\begin{cases} x=x_0+x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi, \end{cases}\quad \begin{cases} x=x_0+x"\cdot\cos\varphi+y"\cdot\sin\varphi,\\ y=y_0+x"\cdot\sin\varphi-y"\cdot\cos\varphi.\end{cases}

Поэтому задача приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду сводится к нахождению начала O"(x_0,y_0) канонической системы координат O"x"y" и угла \varphi наклона ее оси абсцисс O"x" к оси абсцисс Ox исходной системы координат Oxy .

3. В случаях (3),(5),(7),(8),(9) линии называются распадающимися, поскольку соответствующие им многочлены второй степени разлагаются в произведение многочленов первой степени.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!