Решение матриц – понятие обобщающее операции над матрицами. Под математической матрицей понимается таблица элементов. О подобной таблице, в которой m строк и n столбцов, говорят что это матрица размером m на n.
Общий вид матрицы

Основные элементы матрицы:
Главная диагональ . Её составляют элементы а 11 ,а 22 …..а mn
Побочная диагональ. Её слагают элементы а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .
Перед тем как перейти к решению матриц рассмотрим основные виды матриц:
Квадратная – в которой число строк равно числу столбцов (m=n)
Нулевая – все элементы этой матрицы равны 0.
Транспонированная матрица - матрица В, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Единичная – все элементы главной диагонали равны 1, все остальные 0.
Обратная матрица - матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. То есть, если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 . то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными бывают только квадратные матрицы.
Теперь перейдем непосредственно к вопросу, как решать матрицы.

Сложение матриц.

Матрицы можно алгебраически складывать, если они обладают одинаковой размерностью. Чтобы сложить матрицу А с матрицей В, необходимо элемент первой строки первого столбца матрицы А сложить с первым элементом первой строки матрицы В, элемент второго столбца первой строки матрицы А сложить с элементом элемент второго столбца первой строки матрицы В и т.д.
Свойства сложения
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)

Умножение матриц .

Матрицы можно перемножать, если они согласованы. Матрицы А и В считаются согласованными, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
Если А размерностью m на n, B размерностью n на к, то матрица С=А*В будет размерностью m на к и будет составлена из элементов

Где С 11 – сумма папарных произведений элементов строки матрицы А и столбца матрицы В, то есть элемента сумма произведения элемента первого столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца первой строки матрицы В, элемента второго столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца второй строки матрицы В и т.д.
При перемножении важен порядок перемножения. А*В не равно В*А.

Нахождение определителя.

Любая квадратная матрица может породить определитель или детерминант. Записывает det. Или | элементы матрицы |
Для матриц размерностью 2 на 2. Определить есть разница между произведением элементов главной и элементами побочной диагонали.

Для матриц размерностью 3 на 3 и более. Операция нахождения определителя сложнее.
Введем понятия:
Минор элемента – есть определитель матрицы, полученной из исходной матрицы, путем вычеркивания строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение минора этого элемента на -1 в степени суммы строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Определитель любой квадратной матрицы равен сумме произведения элементов любого ряда матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

Обращение матрицы

Обращение матрицы - это процесс нахождения обратной матрицы, определение которой мы дали в начале. Обозначается обратная матрица также как исходная с припиской степени -1.
Находиться обратная матрица по формуле.
А -1 = A * T x (1/|A|)
Где A * T - Транспонированная матрица Алгебраических дополнений.

Примеры решения матриц мы сделали в виде видеоурока

:

Если хотите разобраться, смотрите обязательно.

Это основные операции по решению матриц. Если появится дополнительные вопросы о том, как решить матрицы , пишите смело в комментариях.

Если все же вы не смогли разобраться, попробуйте обратиться к специалисту.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .

В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .

Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij) размера m ×n на матрицу B = (b ij) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например , если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Ответ на этот вопрос компания «Тойота», мировой лидер не только в автомобилестроении, но и в создании эффективных бизнес-систем, нашла для себя в инструменте Хосин Канри еще в 1950-1960-х годах. Это словосочетание можно перевести с японского языка как компас, а в более широком смысле — управление политикой. Практически все крупные мировые компании уже давно переняли этот инструмент и успешно его используют, в том числе в компании «Альстом». В качестве примера можно привести ОАО «РЖД», которое еще в прошлом году применило методику Хосин Канри на Октябрьской железной дороге.

Хосин Канри — это структурированный, регулярно повторяющийся процесс, результатом которого является документ, называемый Х-матрица, формулирующий основные направления развития компании. Развертывание стратегии происходит через встроенные друг в друга планы мероприятий (PDCA).

Схематически процесс Хосин Канри применительно для отдельного завода ТМХ может быть представлен на рис. 1.

Х-матрица каждого уровня состоит из четырех основных блоков: глобальные цели, стратегия, тактики и количественные цели. При этом стратегии и глобальные цели нижестоящих уровней неразрывно связаны с тактиками и количественными целями вышестоящих уровней.

Поэтому изменение, произведенное на одном из уровней, быстро транслируется и вызывает перемены на всех остальных. Принцип заполнения Х-матрицы схематически представлен на рис. 3 .

Внедрение Х-матриц на заводах холдинга

В настоящее время в холдинге происходит формирование технической стратегии развития предприятий. В эту работу также вовлечено и высшее руководство «Альстом Транспорт». Для всех заводов актуальными являются следующие стратегии: осуществление прорыва в области качества выпускаемой продукции, развитие персонала, внедрение проектного менеджмента и управление затратами, завершение реструктуризации предприятий.

Для обеспечения эффективного внедрения стратегии развития холдинга на предприятиях в феврале — апреле 2014 года группой по производственной системе были проведены двухдневные семинары по практическому обучению руководства заводов методологии работы с Х-матрицами. К сегодняшнему моменту обучен высший менеджмент семи предприятий: БМЗ, НЭВЗ, ТВЗ, КЗ, ЦСМ, ДМЗ, МВМ.

В рамках подготовки к семинару с каждым генеральным директором прорабатывалась Х-матрица уровня завода (уровень L1), которая основывалась в свою очередь на входящих данных из матрицы уровня холдинга. Обозначенные выше стратегии были дополнены тактическими инициативами завода. Так, для ЗАО «УК «БМЗ» были определены 19 тактик уровня завода, среди которых создание двух эталонных линий сборки основных продуктов, создание новой платформы (ТЭМ23), совершенствование системы производственного планирования, пересмотр системы мотивации персонала. Сам проект трансформации завода, реализация которого была начата ранее, получил громкий лозунг «БМЗ — первый в любом составе!».

В ходе семинара были построены Х-матрицы основных дирекций предприятия: дирекции по производству, технические дирекции и дирекции по материально-техническому обеспечению и логистике (уровень L2). Затем руководители представили стратегии развития их подразделений начальникам отделов (цехов), которые в свою очередь составили Х-матрицы уровня L3 с тактическими задачами отделов. Далее начальники отделов (цехов) «каскадировали» задачи начальникам бюро, которые составили очень конкретные планы мероприятий для достижения общей стратегии дирекции. Если в Х-матрицах дирекций и отделов горизонт планирования равен одному году, то в случае плана мероприятий для руководителей бюро — три месяца. Завершающим этапом семинара стало формирование стендов с индикаторами для управления деятельностью подразделения на каждом уровне.

Таким образом, была выстроена система управления трансформацией завода, включающая взаимосвязанные планы тактических и операционных задач, а также индикаторов, позволяющих оценить как процессы, так и степень реализации задач.

В настоящий момент заводы дорабатывают Х-матрицы, добиваясь полной взаимосвязанности между матрицами разных уровней. Особое внимание уделено работе с индикаторами процессов, большинство из которых можно найти в будущей единой панели индикаторов завода.

Связь Х-матриц и панели индикаторов

Для принятия обоснованных решений руководителям различных уровней необходимо полагаться на достоверную и своевременную бизнес-информацию. Панели индикаторов хранят данные о результативности и эффективности протекающих в организации бизнес-процессов. Эти данные используются для мониторинга, анализа, управления.

В 2013 году на НЭВЗ была проведена работа по внедрению ключевых показателей эффективности, и в качестве пилотного участка был выбран цех, где происходит сборка электропоездов ЭП20 «Олимп». Опыт оказался успешным, и руководство завода получило перекрестную систему КПЭ, благодаря которой можно быстро и эффективно проанализировать данные.

С начала 2014 года в холдинге ведется активная работа по формированию стандартной панели индикаторов для заводов, которая включит в себя все наиболее важные КПЭ предприятия и будет ежемесячно обновляться. Планируется официально включить в бизнес-план 2015 года помимо показателей результативности еще и показатели эффективности деятельности заводов.

Среди наиболее важных КПЭ , которые будут включены в панель, можно выделить следующие: эффективность производственных рабочих, отношение РСС и вспомогательных рабочих к основным рабочим, оборачиваемость сырья и материалов, оборачиваемость незавершенного производства, выработка нормо-часов в год с 1 м2 производственных площадей .

В 2014 году работа по построению Х-матриц была проведена под руководством группы по производственной системе, в следующем году такая работа должна стать обычной задачей по планированию деятельности предприятия на год.

Следующие шаги по развертыванию стратегии на заводах

Большинство российских предприятий, и заводы Трансмашхолдинга не исключение, имеют очень сложную иерархическую структуру с множеством уровней. Это значит, что каскадирование задач — долгий процесс, при котором важно обеспечить полную открытость и прозрачность направлений развития компании. Поэтому ключевым этапом в развертывании стратегии становится информирование всех сотрудников о предстоящих переменах. Информированность, понимание и вовлеченность — вот цепочка действий коллектива каждого предприятия. И здесь немаловажно участие корпоративных газет, которые должны регулярно транслировать ключевые решения руководства, работы по Х-матрицам, рассказывать о преобразованиях, происходящих на заводах.

Для успешной реализации стратегии нужна полная поддержка всех уровней, поэтому сейчас заводы работают над поиском запоминающегося названия проекта и его лозунга. Через заводские газеты, в ходе коллективных собраний, а главное — от непосредственных руководителей работники заводов должны не только узнать о планах предприятия, но и понять свою роль в этом процессе.

Александр Альбертович Василенко, генеральный директор ЗАО «УК «БМЗ»:

Для достижения указанных целей руководством предприятия определены тактические задачи, которые необходимо решить в 2014 году. Далее директора по направлениям на основании матрицы стратегии развития завода разработали матрицы по каждой службе и так до уровня отделов. Это позволило довести глобальные цели и тактические задачи ТМХ, определенные руководством, до конкретных исполнителей. Таким образом, все сотрудники стали понимать свою личную роль и вклад в стратегическое развитие предприятия. В настоящее время перед руководителями завода всех уровней стоит задача по ежемесячному анализу исполнения тактических задач и планов мероприятий для оперативного реагирования на возможные отклонения. Такой подход позволил систематизировать деятельность различных подразделений в рамках целей завода, установил целевые состояния процессов.

Дмитрий ДЬЯКОВ, заместитель начальника отдела производства ЗАО «УК «БМЗ»:

Можно предположить, что несколько веков назад Суворов уже занимался выстраиванием производственной системы… в армии. Ведь ему приписывают слова «Каждый солдат должен понимать свой маневр». Это как раз и есть принцип каскадирования. Когда командующий ставит цели, каждый солдат должен не только знать, но и понимать свой маневр. Применительно к нашему производству: оператор не просто пришел и сделал деталь, но и знает, почему сегодня такой уровень заказов, почему требуется оптимизация площадей, рационализация техпроцессов, внедрение системы 5С на рабочих местах и т. д. Это один из методов производственной системы, который позволяет создать команду, способную улавливать и видеть изменения обстановки, уметь их анализировать, вырабатывать на эти изменения комплекс действий и претворять их в жизнь.

Марк-Антуан Жювин, финансовый контролер Трансмашхолдинга, уже имевший опыт работы с данным инструментом, отмечает:

Использование в ТМХ Х-матриц именно сегодня отвечает на вызовы современной экономической среды, которая отличается высокой изменчивостью и непредсказуемостью. Вследствие этого нужно действовать коллективно, не нарушая равновесия всей системы.

Занятие № 1. Матрицы. Операции над матрицами.

1. Что называется матрицей.

2. Какие две матрицы называются равными.

3. Какая матрица называется квадратной, диагональной, единичной.

4. Как выполнить операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

5. Для каких матриц вводится операция умножения и правило ее выполнения.

6. Какие преобразования над матрицами являются элементарными.

7. Какую матрицу называют канонической.

Типовые примеры Действия над матрицами

Задача № 1. Даны матрицы

Найти матрицу D=
(1)

Решение. По определению произведения матрица на число получаем:

D=

Задача № 2 . Найти произведение АВ двух квадратных матриц:

Решение. Обе матрицы являются квадратными матрицами 2-го порядка. Такие матрицы можно умножить, используя формулу

Формула (2) имеет следующий смысл: чтобы получить элемент матрицы С = АВ, стоящий на пересечении строки истолбца нужно взять сумму произведений элементов-ой строки матрицы А на соответствующие элементы-го столбца матрицы В.

В соответствии с формулой (2) найдем:

Следовательно, произведение С = АВ будет иметь вид:

Задача № 3. Найти произведение АВ и ВА матриц:

Решение. Согласно формуле (2),элементы матриц АВ и ВА будут иметь вид:

Вывод: Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, делаем вывод, что АВВА, т. е. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Задача № 4 (устно). Даны матрицы
Существуют ли произведения (в скобках даны правильные ответы): АВ (да), ВА (нет), АС (да), СА (нет), АВС (нет), АСВ (да), СВА (нет).

Задача № 5. Найти произведение АВ и ВА двух матриц вида:

Решение. Приведенные матрицы вида
следовательно, существуют произведения АВ и ВА данных матриц, которые будут иметь вид:

Задача № 6 . Найти произведение АВ матриц:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

Даны матрицы

Найти матрицу D=2А-4В+3С.

2. Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц:

Найти произведение матриц:

Найти произведение матриц:

7. Найти произведение матриц:

8.Найти матрицу: В=6А 2 +8А, если
.

9. Дана матрица
.Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.

10. Доказать, что если А - диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональная.

Занятие 2. Определители квадратных матриц и их вычисление. Обратная матрица.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

Что называется определителем n-го порядка? Правила вычисления приn=1,2,3.

Свойства определителей.

Какая матрица называется невырожденной?

Какая матрица называется единичной?

Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

Что является необходимым и достаточным условием для существования обратной матрицы?

Сформулировать правило нахождения обратной матрицы.

Ранг матрицы. Правила нахождения.

Типовые примеры Вычисление определителей

Задача № 1. Вычислить определитель
:

а) по правилу треугольника;

б) с помощью разложения по первой строке;

в) преобразованием, используя свойства определителей.

в)

Задача № 2 . Найти минор и алгебраическое дополнение элементаa 23 определителя
и вычислить его разложением по элементам строки или столбца.

Решение.

М 23
; А 23

Задача № 3. Вычислить определитель с помощью разложения по 2 строке:

Ответ:

Задача № 4. Решить уравнение

Задача № 5. Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:

Определители матриц часто используются в вычислениях, в линейной алгебре и аналитической геометрии. Вне академического мира определители матриц постоянно требуются инженерам и программистам, в особенности тем, кто работает с компьютерной графикой. Если вы уже знаете, как найти определитель матрицы размерностью 2x2, то из инструментов для нахождения определителя матрицы 3x3 вам будут необходимы только сложение, вычитание и умножение.

Шаги

Поиск определителя

Запишите матрицу размерностью 3 x 3. Запишем матрицу размерностью 3 x 3, которую обозначим M, и найдем ее определитель |M|. Далее приводится общая форма записи матрицы, которую мы будем использовать, и матрица для нашего примера:

• M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}}

1. Выберите строку или столбец матрицы. Эта строка (или столбец) будет опорной. Результат будет одинаков, независимо от того, какую строку или какой столбец вы выберете. В данном примере давайте возьмем первую строку. Чуть позже вы найдете несколько советов касательно того, как выбирать строку или столбец, чтобы упростить вычисления.

   • Давайте выберем первую строку матрицы M в нашем примере. Обведите числа 1 5 3. В общей форме обведите a 11 a 12 a 13 .

2. Зачеркните строку или столбец с первым элементом. Обратитесь к опорной строке (или к опорному столбцу) и выберите первый элемент. Проведите горизонтальную и вертикальную черту через этот элемент, вычеркнув таким образом столбец и строку с этим элементом. Должно остаться четыре числа. Будем считать эти элементы новой матрицей размерностью 2 x 2.

   • В нашем примере, опорной строкой будет 1 5 3. Первый элемент находится на пересечении первого столбца и первой строки. Вычеркните строку и столбец с этим элементом, то есть первую сроку и первый столбец. Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2 x 2 :
   • 1 5 3
   • 2 4 7
   • 4 6 2

3. Найдите определитель матрицы 2 x 2. Запомните, что определитель матрицы (a b c d) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} вычисляется как ad - bc . Опираясь на это, вы можете вычислить определитель полученной матрицы 2 x 2, которую, если хотите, можете обозначить как X. Умножьте два числа матрицы X, соединенных по диагонали слева направо (то есть так: \). Затем вычтите результат умножения двух других чисел по диагонали справа налево (то есть так: /). Используйте эту формулу, чтобы вычислить определитель матрицы, которую вы только что получили.

   Умножьте полученный ответ на выбранный элемент матрицы M. Вспомните, какой элемент из опорной строки (или столбца) мы использовали, когда вычеркивали другие элементы строки и столбца, чтобы получить новую матрицу. Умножьте этот элемент на полученный минор (определитель матрицы 2x2, которую мы обозначили X).

   • В нашем примере мы выбирали элемент a 11 , который равнялся 1. Умножим его на -34 (определитель матрицы 2x2), и у нас получится 1*-34 = -34 .

4. Определите знак полученного результата. Далее вам понадобится умножить полученный результат на 1, либо на -1, чтобы получить алгебраическое дополнение (кофактор) выбранного элемента. Знак кофактора будет зависеть от того, в каком месте матрицы 3x3 стоит элемент. Запомните эту простую схему знаков, чтобы знать знак кофактора:

5. Повторите все вышеописанные действия со вторым элементом опорной строки (или столбца). Вернитесь к исходной матрице размерностью 3x3 и строке, которую мы обвели в самом начале вычислений. Повторите все действия с этим элементом:

   • Вычеркните строку и столбец с этим элементом. В нашем примере мы должны выбрать элемент a 12 (равный 5). Вычеркнем первую строку (1 5 3) и второй столбец (5 4 6) {\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}} матрицы.
   • Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2x2. В нашем примере матрица будет иметь вид (2 7 4 2) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}
   • Найдите определитель этой новой матрицы 2x2. Воспользуйтесь вышеприведенной формулой ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
   • Умножьте полученный определитель на выбранный элемент матрицы 3x3. -24 * 5 = -120
   • Проверьте, нужно ли умножить результат на -1. Воспользуемся формулой (-1) ij , чтобы определить знак алгебраического дополнения. Для выбранного нами элемента a 12 в таблице указан знак «-», аналогичный результат дает и формула. То есть мы должны изменить знак: (-1)*(-120) = 120 .

6. Повторите с третьим элементом. Далее вам понадобится найти еще одно алгебраическое дополнение. Вычислите его для последнего элемента опорной строки или опорного столбца. Далее приводится краткое описание того, как вычисляется алгебраическое дополнение для a 13 в нашем примере:

   • Зачеркните первую строку и третий столбец, чтобы получить матрицу (2 4 4 6) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}
   • Ее определитель равен 2*6 - 4*4 = -4.
   • Умножьте результат на элемент a 13: -4 * 3 = -12.
   • Элемент a 13 имеет знак + в приведенной выше таблице, поэтому ответ будет -12 .

7. Сложите полученные результаты. Это последний шаг. Вам необходимо сложить полученные алгебраические дополнения элементов опорной строки (или опорного столбца). Сложите их вместе, и вы получите значение определителя матрицы 3x3.

   • В нашем примере определитель равен -34 + 120 + -12 = 74 .

   Как упростить задачу

   1. Выбирайте в качестве опорной строки (или столбца) ту, что имеет больше нулей. Помните, что в качестве опорной вы можете выбрать любую строку или столбец. Выбор опорной строки или столбца не влияет на результат. Если вы выберете строку с наибольшим количеством нулей, вам придется выполнять меньше вычислений, поскольку вам будет необходимо вычислить алгебраические дополнения только для ненулевых элементов. Вот почему:

      • Допустим, вы выбрали 2 строку с элементами a 21 , a 22 , and a 23 . Чтобы найти определитель, вам будет необходимо найти определители трех различных матриц размерностью 2x2. Давайте назовем их A 21 , A 22 , and A 23 .
      • То есть определитель матрицы 3x3 равен a 21 |A 21 | - a 22 |A 22 | + a 23 |A 23 |.
      • Если оба элемента a 22 и a 23 равны 0, то наша формула становится намного короче a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 |A 21 | - 0 + 0 = a 21 |A 21 |. То есть необходимо вычислить только алгебраическое дополнение одного элемента.

   2. Используйте сложение строк, чтобы упростить матрицу. Если вы возьмете одну строку и прибавите к ней другую, то определитель матрицы не изменится. То же самое верно и для столбцов. Подобные действия можно выполнять несколько раз, кроме того, вы можете умножать значения строки на постоянную (перед сложением) для того, чтобы получить как можно больше нулей. Подобные действия могут сэкономить массу времени.

      • Например, у нас есть матрица из трех строк: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) {\displaystyle {\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}
      • Чтобы избавиться от 9 на месте элемента a 11 , мы можем умножить вторую строку на -3 и прибавить результат к первой. Новая первая строка будет + [-9 -3 0] = .
      • То есть мы получаем новую матрицу (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}} Попробуйте проделать то же самое со столбцами, чтобы получить на месте элемента a 12 нуль.

   3. Помните, что вычислять определитель треугольных матриц намного проще. Определитель треугольных матриц вычисляется как произведение элементов на главной диагонали, от a 11 в верхнем левом углу до a 33 в нижнем правом углу. Речь в данном случае идет о треугольных матрицах размерностью 3x3. Треугольные матрицы могут быть следующих видов, в зависимости от расположения ненулевых значений:

      • Верхняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали и выше нее. Все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
      • Нижняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся ниже главной диагонали и на ней.
      • Диагональная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Является частным случаем вышеописанных матриц.
      • Описанный метод распространяется на квадратные матрицы любого ранга. Например, если вы используете его для матрицы 4x4, то после «вычеркивания» будут оставаться матрицы 3x3, для которых определитель будет вычисляться вышеупомянутым способом. Будьте готовы к тому, что вычислять определитель для матриц таких размерностей вручную - очень трудоемкая задача!
      • Если все элементы строки или столбца равны 0, то определитель матрицы тоже равен 0.