2 я космическая скорость. IV

30.09.2019

Первая космическая скорость - это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Рассмотрим движение тела в неинерциальной системе отсчета - относительно Земли.

В этом случае объект на орбите будет находиться в состоянии покоя, так как на него будут действовать уже две силы: центробежная сила и сила тяготения.

где m - масса объекта, M - масса планеты, G - гравитационная постоянная (6,67259·10 −11 м?·кг −1 ·с −2),

Первая космическая скорость, R - радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли 7,9 км/с

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения - так как g = GM/R?, то

Втора?я косми?ческая ско?рость - наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту, масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела, для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания круговой орбиты вокруг него.

Запишем закон сохранения энергии

где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты. Здесь m - масса пробного тела, M - масса планеты, R - радиус планеты, G -гравитационная постоянная, v 2 - вторая космическая скорость.

Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:

Квадрат скорости убегания равен удвоенному ньютоновскому потенциалу в данной точке:

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 15. Вывод формул для 1-й и 2-й космических скоростей.:

Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы.
14. Вывод третьего закона Кеплера для кругового движения
1. Скорость элиминации. Константа скорости элиминации. Время полуэлиминации
7.7. Формула Релея-Джинса. Гипотеза Планка. Формула Планка
13. Космическая и авиационная геодезия. Особенности зондирования в водной среде. Системы машинного зрения ближнего радиуса действия.
18. Этический аспект культуры речи. Речевой этикет и культура общения. Формулы речевого этикета. Этикетные формулы знакомства, представления, приветствия и прощания. «Ты» и «Вы» как формы обращения в русском речевом этикете. Национальные особенности речевого этикета.

Любой предмет, будучи подброшенным вверх, рано или поздно оказывается на земной поверхности, будь то камень, лист бумаги или простое перышко. В то же время, спутник, запущенный в космос полвека назад, космическая станция или Луна продолжают вращаться по своим орбитам, словно на них вовсе не действует нашей планеты. Почему так происходит? Почему Луне не грозит упасть на Землю, а Земля не движется навстречу к Солнцу? Неужели на них не действует всемирное тяготение?

Из школьного курса физики мы знает, что всемирное тяготение воздействует на любое материальное тело. Тогда логично будет предположить, что есть некая сила, нейтрализующая действие гравитации. Эту силу принято называть центробежной. Ее действие легко ощутить привязав на один конец нитки небольшой груз и раскрутив его по окружности. При этом чем больше скорость вращения тем сильнее натяжение нити, а чем медленнее вращаем мы груз тем больше вероятность, что он упадет вниз.

Таким образом мы вплотную приблизились к понятию «космическая скорость». В двух словах ее можно описать как скорость, позволяющую любому объекту преодолеть тяготение небесного тела. В качестве может выступать планета, ее или другая система. Космическая скорость есть у каждого объекта, который движется по орбите. К слову сказать, размер и форма орбиты зависят от величины и направления скорости, которую данный объект получил на момент выключения двигателей, и высоты, на которой произошло данное событие.

Космическая скорость бывает четырех видов. Самая меньшая из них - это первая. Это наименьшая скорость, которая должна быть у чтобы он вышел на круговую орбиту. Ее значение можно определить по такой формуле:

V1=√µ/r, где

µ - геоцентрическая гравитационная постоянная (µ = 398603 * 10(9) м3/с2);

r — расстояние от точки запуска до центра Земли.

Из-за того, что форма нашей планеты не является идеальным шаром (на полюсах она как бы немного приплюснута), то расстояние от центра до поверхности больше всего на экваторе - 6378,1 . 10(3) м, а меньше всего на полюсах - 6356,8 . 10(3) м. Если взять среднюю величину - 6371 . 10(3) м, то получим V1 равной 7,91 км/с.

Чем больше космическая скорость будет превышать данную величину, тем более вытянутую форму будет приобретать орбита, удаляясь от Земли на все большее расстояние. В какой-то момент эта орбита разорвется, примет форму параболы, и космический аппарат отправится бороздить космические просторы. Для того чтобы покинуть планету, у корабля должна быть вторая космическая скорость. Ее можно рассчитать по формуле V2=√2µ/r. Для нашей планеты эта величина равна 11,2 км/с.

Астрономы давно уже определили, чему равна космическая скорость, как первая, так и вторая, для каждой планеты нашей родной системы. Их несложно рассчитать по вышеприведенным формулам, если заменить константу µ на произведение fM, в котором M - масса интересующего небесного тела, а f - постоянная тяготения (f= 6,673 х 10(-11) м3/(кг х с2).

Третья космическая скорость позволит любому преодолеть тяготение Солнца и покинуть родную Солнечную систему. Если рассчитывать ее относительно Солнца, то получится значение 42,1 км/с. А для того чтобы с Земли выйти на околосолнечную орбиту, понадобится разогнаться до 16,6 км/с.

Ну и, наконец, четвертая по счету космическая скорость. С ее помощью можно преодолеть притяжение непосредственно самой галактики. Ее величина варьируется в зависимости от координат галактики. Для нашего эта величина составляет примерно 550 км/с (если рассчитывать относительно Солнца).

Самые первые источники письменности, устные легенды и сказания, передаваемые из уст в уста, свидетельствуют о желании человека летать, подобно птице. И вот летательные аппараты легко обгоняют любых птиц. Но человек не только освоил воздушное пространство, этого ему показалось мало.

Активно осваивается ближний космос, на Земной орбите находятся целые комплексы, состоящие из жилых, научных, технических модулей. По красной планете - Марсу - вовсю колесят исследовательские автоматические аппараты, по поверхности Луны делаются «огромные шаги человечества», а миссии «Вояджер» вообще навсегда покидают свою родную звезду. С какой скоростью летят аппараты в космосе? "Вторая космическая скорость" - что означает это словосочетание?

Как оторваться от Земли и как её покинуть

Для начала рассмотрим, как вообще летают наши космические аппараты. Представим, что на поверхности Земли построена некая фантастическая башня. Настолько высокая, что её вершина расположена там, где уже совсем нет воздуха. На верхней площадке сооружения ставим пушку, способную выпускать снаряды с разными начальными скоростями.

Первый снаряд выпускается с небольшим количеством пороха в заряде. Снаряд, падает недалеко от башни. Если каждый последующий выстрел производить, последовательно увеличивая мощность заряда, снаряды, выпускаемые из пушки, будут падать всё дальше, огибая земной шар.

При условии, что наша пушка установлена так высоко, что снаряды будут лететь вне атмосферы, и воздух не станет тормозить их движение, в определённый момент снаряд (под номером 6 на рисунке) вообще не упадёт на поверхность планеты. Обогнув её, он пролетит рядом с выпустившей его пушкой и пойдёт на второй, третий круг и т. д. Такой эффект мы сможем наблюдать, когда начальная скорость снаряда будет 7,91 километров в секунду - это и есть первая космическая скорость.

А что будет, если скорость повышать дальше? Если выпустить снаряд из пушки так, чтобы летел он быстрее 11 км/с, траектория его превратится из эллипса в параболу (линия 7 на рисунке) и он, преодолев силу притяжения, навсегда покинет нашу планету. Это в небесной механике вторая космическая скорость.

Кто был первым

Кто же сумел первым придать технике такие скорости? Обе - первая и вторая космические скорости - были достигнуты аппаратами, изготовленными руками советских инженеров.

Осенью 57 года прошлого века советская ракета-носитель P-7, развив первую космическую скорость, выводит на орбиту Земли первый в истории человечества искусственный спутник. Но человек не был бы самим собой, если бы его удовлетворила участь кружиться вокруг своей колыбели.

Спустя буквально два года, опять же советским, космическим кораблём была достигнута вторая космическая скорость ракет, позволившая миссии преодолеть земное притяжение и направиться в сторону Луны.

Как рассчитать

А от чего зависит величина космических скоростей? Очевидно, во первых, от мощности гравитационного поля, которое создаёт космическое тело. Одно дело оторваться от астероида, где придать мячу вторую космическую скорость можно просто - посильнее размахнувшись, швырнуть его в космос. Другое дело - покинуть пределы Земли, с её массой.

Есть ещё один нюанс. Рассмотрим две планеты, вращающиеся вокруг Солнца: Меркурий и малую планету , открытую недавно, Эриду. Оба космических тела вращаются вокруг одного и того же светила с одной и той же массой. Но вот 1 космическая скорость у Меркурия составляет около 50 км/с, Эрида же летит по своей орбите намного медленнее - около 3,5 км/с. В чём же дело? А в том, что Эрида в 200 раз дальше от светила чем Меркурий и сила притяжения Солнца там в 200 в кубе раз слабее. Отсюда ещё один фактор - расстояние от центра космического тела. То есть чем ближе к нему мы находимся, тем выше будет вторая космическая скорость. Формула первой космической скорости известна из школьного курса физики.

G - константа гравитации, принимается в расчётах 6,67 ∙ 10 -11 м 3 ∙с -2 ∙кг;
M - масса космического тела;
R - расстояние от центра планеты до орбиты (радиус вращения).

Не сложно вычисляется и вторая космическая скорость. Формула ее приведена ниже.

Для того чтобы, находясь в районе земной орбиты, навсегда покинуть Солнечную систему, необходимо разогнаться до скорости (относительно Солнца) 47 км/с, ее принято называть третьей космической.

Наше Солнце так же, как вокруг него планеты, само вращается вокруг центра галактики, именумой Млечным Путем, со скоростью около 250 километров в секунду. Для того чтобы навсегда распрощаться с галактикой, ему понадобилась бы скорость порядка 650 км/с (космическая скорость № 4).

Вторая космическая скорость для небольшого астероида составляет около 30-60 м/с. Улететь от такого объекта в космосе несложно. Другое дело - нейтронные звёзды или ещё чего похуже - чёрные дыры. Вторая космическая скорость для чёрной дыры - свыше 300 тысяч километров в секунду - выше скорости света. Именно поэтому ни один объект, даже свет, не в состоянии покинуть объятия этого космического монстра.

Для определения двух характерных «космических» скоростей, связанных с размерами и полем тяготения некоторой планеты. Планету будем считать одним шаром.

Рис. 5.8. Различные траектории движения спутников вокруг Земли

Первой космической скоростью называют такую горизонтально направленную минимальную скорость, при которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли.

Это, конечно идеализация, во-первых планета не шар, во-вторых, если у планеты есть достаточно плотная атмосфера, то такой спутник - даже если его удастся запустить - очень быстро сгорит. Другое дело, что, скажем спутник Земли, летающий в ионосфере на средней высоте над поверхностью в 200 км имеет радиус орбиты отличающийся от среднего радиуса Земли всего, примерно, на 3 %.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом (рис. 5.9), действует сила притяжения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение

Рис. 5.9. Движение искусственного спутника Земли по круговой орбите

По второму закону Ньютона имеем

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, то

Поэтому для на Земле получаем

Видно,что действительно определяется параметрами планеты:её радиусом и массой.

Период обращения спутника вокруг Земли равен

где - радиус орбиты спутника, а - его орбитальная скорость.

Минимальное значение периода обращения достигается при движении по орбите, радиус которой равен радиусу планеты:

так что первую космическую скорость можно определить и так: скорость спутника на круговой орбите с минимальным периодом обращения вокруг планеты.

Период обращения растет с увеличением радиуса орбиты.

Если период обращения спутника равен периоду обращения Земли вокруг своей оси и их направления вращения совпадают, а орбита расположена в экваториальной плоскости, то такой спутник называется геостационарным .

Геостационарный спутник постоянно висит над одной и той же точкой поверхности Земли (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Движение геостационарного спутника

Для того чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, то есть могло удалиться на такое расстояние, где притяжение к Земле перестает играть существенную роль, необходима вторая космическая скорость (рис. 5.11).

Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, то есть чтобы тело могло превратиться в спутник Солнца.

Рис. 5.11. Вторая космическая скорость

Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы кинетическая энергия тела на поверхности планеты была равна (или превосходила) работу, совершаемую против сил земного притяжения. Напишем закон сохранения механической энергии Е такого тела. На поверхности планеты, конкретно - Земли

Скорость получится минимальной,если на бесконечном удалении от планеты тело будет покоиться

Приравнивая эти два выражения,получаем

откуда для второй космической скорости имеем

Для сообщения запускаемому объекту необходимой скорости (первой или второй космической) выгодно использовать линейную скорость вращения Земли, то есть запускать его как можно ближе к экватору, где эта скорость составляет, как мы видели, 463 м/с (точнее 465,10 м/с). При этом направление запуска должно совпадать с направлением вращения Земли - с запада на восток. Легко подсчитать, что таким способом можно выиграть несколько процентов в энергетических затратах.

В зависимости от начальной скорости , сообщаемой телу в точке бросания А на поверхности Земли, возможны следующие виды движения (рис. 5.8 и 5.12):

Рис. 5.12. Формы траектории частицы в зависимости от скорости бросания

Совершенно аналогично рассчитывается движение в гравитационном поле любого другого космического тела,например, Солнца. Чтобы преодолеть силу притяжения светила и покинуть Солнечную систему,объекту,покоящемусю относительно Солнца и находящемуся от него на расстоянии, равном радиусу земной орбиты (см. выше), необходимо сообщить минимальную скорость , определяемую из равенства

где , напомним, это радиус земной орбиты, а - масса Солнца.

Отсюда следует формула, аналогичная выражению для второй космической скорости, где надо заменить массу Земли на массу Солнца и радиус Земли на радиус земной орбиты:

Подчеркнем, что - это минимальная скорость, которую надо придать неподвижному телу, находящемуся на земной орбите, чтобы оно преодолело притяжение Солнца.

Отметим также связь

с орбитальной скоростью Земли . Эта связь, как и должно быть - Земля спутник Солнца, такая же, как и между первой и второй космическими скоростями и .

На практике мы запускаем ракету с Земли, так что она заведомо участвует в орбитальном движении вокруг Солнца. Как было показано выше, Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью

Ракету целесообразно запускать в направлении движения Земли вокруг Солнца.

Скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью .

Скорость зависит от того, в каком направлении космический корабль выходит из зоны действия земного притяжения. При оптимальном запуске эта скорость составляет приблизительно = 6,6 км/с.

Понять происхождение этого числа можно также из энергетических соображений. Казалось бы, достаточно ракете сообщить относительно Земли скорость

в направлении движения Земли вокруг Солнца, и она покинет пределы Солнечной системы. Но это было бы правильно, если бы Земля не имела собственного поля тяготения. Такую скорость тело должно иметь, уже удалившись из сферы земного притяжения. Поэтому подсчет третьей космической скорости очень похож на вычисление второй космической скорости, но с дополнительным условием - тело на большом расстоянии от Земли должно все еще иметь скорость :

В этом уравнении мы можем выразить потенциальную энергию тела на поверхности Земли (второе слагаемое в левой части уравнения) через вторую космическую скорость в соответствии с полученной ранее формулой для второй космической скорости

Отсюда находим

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 325–332 (§61, 62): выведены формулы для всех космических скоростей (включая третью), решены задачи о движении космических аппаратов, законы Кеплера выведены из закона всемирного тяготения.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал «Квант» - полет космического аппарата к Солнцу (А. Бялко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - звездная динамика (А.Чернин).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. - стр. 138–143 (§§ 40, 41): вязкое трение, закон Ньютона.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал «Квант» - гравитационная машина (А. Самбелашвили).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета - Земля». Наука 1983 г., гл. 1, пункт 3, стр. 23–26 - приводится схема положения солнечной системы в нашей галактике, направления и скорости движения Солнца и Галактики относительно реликтового излучения.

Вторая “земная” космическая скорость – это скорость, которую необходимо сообщить телу относительно Земли, чтобы оно преодолело поле земного тяготения, т.е. оказалось способным удалиться от Земли на бесконечно большое расстояние.

Пренебрегая действием на тело Солнца, Луны, планет, звёзд и т.д. и полагая, что в системе Земля - тело отсутствуют неконсервативные силы (а таковые в действительности имеются - это силы сопротивления атмосферы), мы можем считать эту систему замкнутой и консервативной. В такой системе полная механическая энергия есть величина постоянная.

Если нулевой уровень потенциальной энергии выбрать в бесконечности, то полная механическая энергия тела в любой точке траектории будет равна нулю (по мере удаления тела от Земли кинетическая энергия, сообщенная ему на старте, будет превращаться в потенциальную. В бесконечности, где потенциальная энергия тела равна нулю,

обратится в нуль и кинетическая энергия E к =0. Следовательно, полная энергия E = E п + E к . = 0.)

Приравняв полную энергию тела на старте (на поверхности Земли) и в бесконечности, мы можем вычислить вторую космическую скорость. На старте тело обладает положительной кинетической энергией
иотрицательной потенциальной энергией
,m - масса тела; M з - масса Земли; II - скорость тела на старте (искомая космическая скорость);R з - радиус Земли (предполагаем, что необходимую космическую скорость тело приобретает в непосредственной близости от поверхности Земли).

Полная энергия тела
(12.16)

откуда
(12.17)

Массу Земли можно выразить через ускорение свободного падения g 0 (вблизи поверхности Земли):
.

Подставив это выражение в (12.17), получим окончательно

(12.18)

так как
есть первая космическая скорость.

V. Условия равновесия механической системы.

Пусть на некоторое тело действуют только консервативная сила. Это значит, что данное тело вместе с телами, с которыми оно взаимодействует, образует замкнутую консервативную систему . Выясним,

при каких условиях рассматриваемое тело будет находиться в состоянии равновесия (сформулируем эти условия с энергетической точки зрения).

Условия равновесия с точки зрения динамики нам известны: тело находится в равновесии, если его скорость и геометрическая сумма всех действующих на него сил равны нулю:

(12.19)

(12.20)

Пусть консервативная сила, действующая на тело, такова, что потенциальная энергия тела зависит только от одной координаты, например, x . График этой зависимости приведён на рисунке 23. Из связи потенциальной энергии с силой следует, что в состоянии равновесия

производная от потенциальной энергии по x равна нулю.

(12.21)

т.е. в состоянии равновесия тело обладает экстремальным запасом потенциальной энергии. Убедимся в том, что потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия минимальная , а в состоянии неустойчивого равновесия – максимальная .

3. Устойчивое равновесие системы характеризуется тем, что при отклонении системы из этого состояния возникают силы, возвращающие систему в первоначальное состояние.

При отклонении из состояния неустойчивого равновесия возникают силы, стремящиеся отклонить систему ещёдальше от первоначального положения. Отклоним тело из положения A влево (см. рис.23). При этом появится сила , проекция которой на осьx равна:

(12.22)

Производная
в точке отрицательна (угол
- тупой). Из (12.22) следует, >0; направление силы совпадает с направлением оси x , т.е. сила направления к положению равновесия A . Тело самопроизвольно, без дополнительного воздействия вернётся в положение равновесия. Следовательно, состояние A – состояние устойчивого равновесия. Но в этом состоянии, как видно из графика, потенциальная энергия минимальна.

4. Отклоним тело из положения B также влево. Проекция силы
на осьx :

получается отрицательной (
>0, так как угол
острый).

Это значит, что направление силы
противоположно положительному направлению оси x , т.е. сила
направленаот положения равновесия. Состояние B , в котором потенциальная энергия максимальна, неустойчиво.

Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия потенциальная энергия системы минимальна , в состоянии неустойчивого равновесия – максимальна.

Если известно, что потенциальная энергия некоторой системы минимальна, то это ещё не значит, что система находится в равновесии. Необходимо ещё, чтобы в этом состоянии система не обладала кинетической энергией:
(12.23)

Итак, система находится в состоянии устойчивого равновесия, если E к =0, а E п минимальна. Если E к =0, а E п максимальна, то система находится в неустойчивом равновесии.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота обращения
Момент инерции тела человека относительно оси вращения
В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой
каждая. Расстояние между гирями

Сколько оборотов в секунду будет делать скамейка с человеком, если он опустит руки и расстояние между гирями станет равным
Моментом инерции скамейки пренебречь.

Решение. Человек, держащий гири (см. рис.24), составляет вместе со скамейкой изолированную механическую систему, поэтому момент импульса
этой системы должен иметь постоянное значение.

Следовательно, для нашего случая

где и- момент инерции человека и угловая скорость скамейки и человека с вытянутыми руками.и
- момент инерции тела человека и угловая скорость скамейки и человека с опущенными руками. Отсюда
, заменив угловую скорость через частоту(
), получим

Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека и момента инерции гирь в руках человека, который можно определить по формуле момента инерции материальной точки

Следовательно,

где
масса каждой из гирь,и
первоначальное и конечное расстояние между ними. С учетом сделанных замечаний имеем

Подставляя численные значения величин, найдем

Пример 2. Стержень длиной
и массой
может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (см. рис.25). В середину стержня ударяет пуля массой
, летящая в горизонтальном направлении со скоростью
, и застревает в стержне.

На какой уголотклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями.

Сначала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежуток времени приводит его в движение с некоторой угловой скоростью и сообщает ему некоторую кинетческую энергию
где
момент инерции стержня относительно оси вращения. Затем стержень поворачивается на некоторый угол, причем его центр тяжести поднимается на некоторую высоту
.

В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии, т.е.

, откуда

Для определения угловой скорости воспользуемся законом сохранения момента импульса.

В начальный момент удара угловая скорость стержня
и поэтому момент импульса стержня
Пуля коснулась стержня, имея линейную скорость, и начала углубляться в стержень, сообщая ему угловое ускорение и участвуя во вращении стержня около оси.

Начальный импульс пули
где
расстояние точки попадания пули от оси вращения.

В конечный момент удара стержень имел угловую скорость , а пуля – линейную скоростьравную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянииот оси вращения.