Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.
Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.
Итак, что же такое предел?
А сразу пример, чего бабушку лохматить….
Любой предел состоит из трех частей :
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно ,
хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В
практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно
любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись 
читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится
к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое
. Построим последовательность: сначала , затем , , …, 
, ….
То есть выражение «икс стремится
к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают
.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию .
Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , 
, …
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности :
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ .
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: при функция неограниченно возрастает
:
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , 
, , , , 
,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно 
, так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом
.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как 
, , и т.д.
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример:
Вычислить предел 
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени .
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?
Пример 2
Найти предел 
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее
значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 3
Найти предел 
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
Разделим числитель и знаменатель на
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число , ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу .
Пример 4
Решить предел 
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность .
Общее правило : если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.
Итак, решаем наш предел
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Сначала находим дискриминант:
И квадратный корень из него: .
В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.
! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.
Далее находим корни: 
Таким образом:
Всё. Числитель на множители разложен.
Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.
Очевидно, что можно сократить на :
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:
Разложим числитель на множители.
Пример 5
Вычислить предел 
Сначала «чистовой» вариант решения
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель:
Знаменатель:
, 
Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель,
сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности
квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Введите выражение функцииВычислить предел
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Предел функции при х->х 0
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$
Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)}
имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение
Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \)
существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.
Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:
Определение
число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого
\(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам
\(x_0
Символические записи:
Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения $ x $ в функцию получаются неопределенности трёх видов:
- $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $
- $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $
- $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $
Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи
Тип 1 $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $
Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.
| Пример 1 |
| Найти предел с корнем $$ \lim \limits_{x \to 4} \frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}} $$ |
| Решение |
|
Подставляем $ x \to 4 $ в подпределельную функцию: $$ \lim \limits_{x \to 4} \frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}} = \frac{0}{0} = $$ Получаем неопределенность $ [\frac{0}{0}] $. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: $ 4+\sqrt{x+12} $ $$ = \lim \limits_{x \to 4} \frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{(4-\sqrt{x+12})(4+\sqrt{x+12})} = $$ Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ приведем предел к следующему виду: $$ = \lim \limits_{x \to 4} \frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{16-(x+12)} = $$ Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его: $$ = \lim \limits_{x \to 4} \frac{(x-4)(4+\sqrt{x+12})}{4-x} = $$ Сокращам функцию в пределе на $ x-4 $, имеем: $$ = -\lim \limits_{x \to 4} (4+\sqrt{x+12}) = -(4+\sqrt{4+12}) = -8 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to 4} \frac{x-4}{4-\sqrt{x+12}} = -8 $$ |
Тип 2 $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $
Пределы с корнем такого типа, когда $ x \to \infty $ вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.
Тип 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $
Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.
| Пример 3 |
| Вычислить предел корня $$ \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2-3x}-x $$ |
| Решение |
|
При $ x \to \infty $ в пределе видим: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2-3x}-x = [\infty - \infty] = $$ После домножения и разделения на сопряженное имеем предел: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-3x}-x)(\sqrt{x^2-3x}+x)}{\sqrt{x^2-3x}+x} = $$ Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(x^2-3x)-x^2}{\sqrt{x^2-3x}+x} = $$ После раскрытия скобок и упрощения получаем: $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2-3x}+x} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3x}{x(\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1)} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{-3}{\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1} = $$ Снова подставляем $ x \to \infty $ в предел и вычисляем его: $$ = \frac{-3}{\sqrt{1-0}+1} = -\frac{3}{2} $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x^2-3x}-x = -\frac{3}{2} $$ |
В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Раскрытие неопределенности $\frac{0}{0}$.
Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
- Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое "сопряжённое" выражение;
- При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
- Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.
Термин "сопряжённое выражение", использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).
Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:
\begin{equation} a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end{equation} \begin{equation} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}
Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:
\begin{equation} ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation}
Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.
Пример №1
Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.
Так как $\lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0$ и $\lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0$, то в заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое "сопряжённое выражение". Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$
Чтобы раскрыть скобки применим , подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x.$$
Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$
Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$
Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}=\frac{-1}{\sqrt{7-3}+2}=-\frac{1}{\sqrt{4}+2}=-\frac{1}{4}.$$
Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру - в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.
Ответ : $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}=-\frac{1}{4}$.
Пример №2
Найти $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$.
Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})=\sqrt{2^2+5}-\sqrt{7\cdot 2^2-19}=3-3=0$ и $\lim_{x\to 2}(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$ на выражение $\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}$, сопряжённое к знаменателю:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})} $$
Вновь, как и в примере №1, нужно использовать для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{x^2+5}$, $b=\sqrt{7x^2-19}$, получим такое выражение для знаменателя:
$$ \left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}\right)\left(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}\right)=\\ =\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2-\left(\sqrt{7x^2-19}\right)^2=x^2+5-(7x^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$
Вернёмся к нашему пределу:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{-6\cdot(x^2-4)}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} $$
В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать . Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:
$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5-7}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3};\\ & x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2. \end{aligned} $$
Подставляя $x_1=-\frac{1}{3}$, $x_2=2$ в , будем иметь:
$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac{1}{3}\right)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$
Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся , подставив в неё $a=x$, $b=2$:
$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$
Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} $$
Сокращая на скобку $x-2$ получим:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}. $$
Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot\frac{(3\cdot 2+1)(\sqrt{2^2+5}+\sqrt{7\cdot 2^2-19})}{2+2}= -\frac{1}{6}\cdot\frac{7(3+3)}{4}=-\frac{7}{4}. $$
Ответ : $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=-\frac{7}{4}$.
В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.
Пример №3
Найти $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}$.
Так как $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})=\sqrt{9}-\sqrt{9}=0$ и $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})=\sqrt{16}-\sqrt{16}=0$, то мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16}$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}$, сопряжённое знаменателю.
$$ \lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})} $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin{aligned} & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac{-1-\sqrt{81}}{-2}=\frac{-10}{-2}=5;\\ & x_2=\frac{-1+\sqrt{81}}{-2}=\frac{8}{-2}=-4. \end{aligned} \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$
Для выражения $x^2-8x+15$ получим:
$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin{aligned} & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{4}}{2}=\frac{6}{2}=3;\\ & x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{4}}{2}=\frac{10}{2}=5. \end{aligned}\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$
Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:
$$ \lim_{x\to 5}\frac{(-x^2+x+20)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x^2-8x+15)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \lim_{x\to 5}\frac{-(x-5)(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(x-5)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{-(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \frac{-(5+4)(\sqrt{5^2-3\cdot 5+6}+\sqrt{5\cdot 5-9})}{(5-3)(\sqrt{5+4}+\sqrt{5^2-16})}=-6. $$
Ответ : $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.
В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения - избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.
Предел функции - число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .
Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .
График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :
Значение А
является пределом (предельным значением) функции
f (x)
в точке x 0
в случае, если для всякой последовательности точек 
, которая сходится к x 0
, но которая не содержит x 0
как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0
), последовательность значений функции 
сходится к A
.
Предел функции по Коши.
Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 < | x - x0 | < δ , будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε .
Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:
Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.
Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.
Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:
x → 2, x → 0, x → ∞.
Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:
Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:
Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:
Необходимо вычислить предел функции 
Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя - это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:
Ответ 
Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x - 3 :
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4
x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.
Таким образом, числитель будет таким:
Ответ 
Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.
Чтобы решить пределы, следуйте правилам:
Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.