58. Способ сложения и вычитания или способ уравнения коэффициентов . Решим совместно следующие 2 уравнения:

7x + 5y = 47 и 7x – 5y = 9 (1)

Мы видим, что в левой части одного уравнения входит член +5y, а в левой части другого - член –5y. Если бы пришлось эти части сложить между собою, то эти члены уничтожились бы. И этого достигнуть легко: из данных двух уравнений составим вытекающее из них новое, для чего сложим и левые части обоих уравнений между собою, и правые части между собою – результаты этих сложений, очевидно, должны быть равны между собою, т. е. получим:

(члены +5y и –5y взаимно уничтожились). Отсюда получим x = 4. Умножим затем обе части второго уравнения на –1; получим:

7x + 5y = 47
–7x + 5y = –9

и теперь опять сложим левые части между собою и правые между собою (говорят: сложим эти 2 уравнения по частям). Получим, так как члены +7x и –7x взаимно уничтожаются:

10y = 38, откуда y = 3,8

Мы могли бы взамен этого сделать и так: вернемся к уравнениям (1) и вычтем по частям (т. е. из левой части левую часть и из правой части правую часть) из первого уравнения второе. Тогда надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки - результат получится тот же самый.

В разобранном примере абсолютные величины коэффициентов при каждом неизвестном в каждом уравнении были равны; рассмотрим теперь пример, когда абсолютные величины этих коэффициентов неравны.

3x + 4y = 23 и 9x + 10y = 65.

Рассматривая эти уравнения, мы видим, что коэффициенты при x не равны, но что их легко сделать равными, если обе части первого уравнения умножим на 3. Сделав это, получим:

9x + 12y = 69
9x + 10y = 65

Теперь вычтем по частям из первого уравнения второе (надо у всех членов 2-го уравнения переменить знаки). Получим:

2y = 4, откуда y = 2.

Рассматривая данные уравнения, мы теперь приходим к возможности уравнять коэффициенты при y, для чего можно поступить по разному: 1) обе части 1-го уравнения умножить на 2 ½ - тогда получим:

7 ½ x + 10y = 57 ½
9x + 10y = 65

Вычтем теперь из 2-го уравнения по частям 1-е, для чего переменим знаки у всех членов 1-го уравнения (мы вычитаем из 2-го первое, а не наоборот, только для того, чтобы в левой части коэффициент при x получился положительный), получим:

1 ½ x = 7 ½, откуда x = 7 ½: 1 ½ = 5.

2) Обе части 2-го уравнения умножим на 2/5, - получим:
3x + 4y = 23 (первое оставляем без изменения).

3 3/5 x + 4y = 26

Вычитая по частям из 2-го уравнения первое, получим:

3/5 x = 3, откуда x = 3: 3/5 = 5.

3) Если не желаем иметь дело с дробными коэффициентами, то найдем общее наименьшее кратное для коэффициентов при y, т. е. для чисел 4 и 10 – оно есть 20 и, умножением обеих частей 1-го уравнения и обеих частей 2-го, сведем дело к тому, чтобы в каждом уравнении коэффициентом при y служило это общее наименьшее кратное. В нашем примере для этого умножим обе части 1-го уравнения на 5 и обе части 2-го уравнения на 2. Получим:

15x + 20y = 115
18x + 20y = 130.

Опять вычтем по частям из 2-го уравнения первое, - получим:

3x = 15, откуда x = 5.

Заметим еще, что когда одно неизвестное определено, можно подстановкою получить другое. Так, мы сначала нашли y = 2. Подставим это значение в 1-ое уравнение:

3x + 4 · 2 = 23

3x = 23 – 8 = 15, откуда x = 5.

Коротко выполним еще один пример:

6x – 15y = 32 | · 3 | · 2
4x + 9y = 34 | · 5 | · 3

Сбоку мы отметили, что надо обе части 1-го уравнения умножить на 3 и обе части 2-го на 5 - мы имеем в виду уравнять абсолютные величины коэффициентов при y. Получим:

18x – 45y = 96.
20x + 45y = 170.

Сложим эти уравнения по частям, получим:

38x = 266 и x = 7.

Теперь умножим обе части 1-го уравнения на 2 и обе части второго на 3 (отмечено сбоку). Получим:

12x – 30y = 64
12x + 27y = 102.

Вычтем по частям из 2-го уравнения первое; получим:

57y = 38 и y = 38/57 = 2/3.

Примем этот способ к решению двух уравнений с двумя неизвестными в общем виде:

ax + by = m | · d | · c
cx + dy = n | · b | · a

Сначала умножим, как отмечено, обе части 1-го уравнения на d и обе части 2-го на b. Получим:

adx + bdy = md
cbx + =bdy = nb.

Вычтем по частям из 1-го уравнения второе, получим:

adx – cbx = md – nb.

Вынесем в левой части x за скобки, получим:

(ad – cb)x = md – nb,

x = (md – nb) / (ad – cb).

Уравняем теперь коэффициенты при x, для чего обе части 1-го уравнения умножим на c и обе части второго на a. Получим:

Вычтем по частям из 2-го уравнения первое, получим:

ady – bcy = na – mc,

(ad – bc) y = na – mc

y = (na – mc) / (ad – bc).

Мы вычитали здесь из 2-го уравнения первое, а не наоборот, с целью получить тот же знаменатель ad – bc, какой получился при определении x – a.

Свободная и вынужденная составляющие переходного процесса и показатели, их характеризующие

2. Два подхода к определению выходного сигнала системы автоматического управления

3. Точность систем автоматического управления и различные способы ее оценки

4. Представление сигнала ошибки замкнутой системы через входной сигнал и его производные. Коэффициенты ошибок

5. Представление выходного сигнала замкнутой системы через входной сигнал и его производные

6. Определение коэффициентов ошибок выходного сигнала через импульсную переходную функцию

7. Соотношение между коэффициентами ошибки замкнутой системы и коэффициентами разложения в ряд Тейлоравыходного сигнала

8. Метод вычисления коэффициентов ошибок через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы

9. Коэффициенты ошибки для систем автоматического управления различного порядка астатизма.

10. Практический способ вычисления коэффициентов ошибок по выражению передаточной функции ошибки

11. Добротность систем автоматического управления

11.1 Сигнал ошибки и коэффициенты добротности для статической системы.

11.2 Сигнал ошибки и коэффициенты добротности для астатической системы первого порядка.

11.3 Сигнал ошибки и коэффициенты добротностидля астатической системы второго порядка.

1. Свободная и вынужденная составляющие переходного процесса и показатели, их характеризующие

При исследовании систем автоматического управления приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия,колебательности, перерегулирования. Качественные показатели (качество) переходных процессов в системах автоматического управления обычно рассматривается на основе анализа переходных процессов, вызванных внешним воздействием.

Будем полагать, что система автоматического управления описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

При изменении внешнего воздействия на входе системы выходную величину можно записать следующим образом: .

где - решение дифференциального уравнения, описывающего систему ;

- свободная составляющая переходного процесса, соответствующая общему решению однородного дифференциального уравнения.

- вынужденная (установившаяся) составляющая переходного процесса, обусловленная законом изменения .

Если дифференциальное уравнениене имеет кратных корней, то свободная составляющая переходного процесса может быть представлена в следующем виде:

где - постоянная интегрирования, значение которой определяют параметры системы и начальные условия;

s, - корни характеристического уравнения замкнутой системы

Качество переходногопроцесса можно оценить по его составляющим и .

В этом смысле различают две группы показателей:

первая- показатели качества переходного процесса ;

вторая - показатели, характеризующие вынужденную (установившуюся) составляющую , по которой определяют точность системы.

Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса, называют прямыми оценками качества. Кривая переходного процесса может быть получена теоретически или экспериментально.

В тех случаях, когда расчет переходного процесса связан с большими трудностями, используют косвенные оценки качества. Например, обращаются к косвенным оценкам качества по вещественной частотной характеристике замкнутой системы.

Помимо статистических ошибок, которые будут рас­смотрены позже, точность работы систем автоматического управления характери­зуетсядинамическимиипереходными ошибками.

§2. Задачи на исследование решений линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными

Пример 1 . Определить, при каких значениях параметра m система уравнений

имеет единственное решение.

Решение

Система имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при х неравно отношению коэффициентов при у:

.

Перейдем от сравнения отношений к сравнению произведений. Тогда в рассмотрение включаются и нулевые значения коэффициентов, зависящих от параметре m .

Решая полученное безразличное неравенство, найдем

3 + 8m + 4m 2 ≠ 4 + 5m ; 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0.

Если m 1 и m 2 корни многочлена 4m 2 + 3m – 1 ≠ 0, то

m 1 = – 1; m 2 = position:absolute;z-index:1;left:0px;margin-left:11px;margin-top:2px; width:14px;height:74px">

m ≠ – 1,

m ≠

или в виде объединения промежутков:

m (– ∞; – 1) (– 1; )(;+∞).

Еще раз отметим, что при m = –EN-US">m = – или при m = –EN-US">m , так же как и при бесчисленном множестве других, удовлетворяющих полученному числовому множеству, данная система будет иметь единственное решение.

Ответ : Система имеет единственное решение, если

m (– ∞; – 1) (– 1; 0,25)EN-US">m и n система уравнений

имеет бесчисленное множество решений.

Решение

Система имеет бесчисленное множество решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у и равно отношению свободных членов, то есть

Заменим полученную цепочку равенств системой уравнений

Переходя от дробных уравнений к целым. Включаем в рассмотрение и нулевые значения коэффициентов данной системы. (Следует отметить, что не все коэффициенты данной системы могут обращаться в нуль. Один из них EN-US">n ≠ 0. Очевидно, что искомый ответ должен этому условию удовлетворять.)

EN-US">n 2 + n – 6 = 0,

n (n 2 + m ) = 10.

Разрешая относительно и m 1-е и 2-е уравнения системы, получим

n 1 = – 3; n 2 = 2,

m = – n 2.

Откуда

Если n 1 = – 3; Если n 2 = 2,

то m 1 = –– 9 = –; то m 2 = EN-US">m и n в алфавитном порядке, имеем

Ответ: {(–; –3); (1; 2)}

Пример3 . Определить при каких значениях параметра m система уравнений

(2m – 3)x – my = 3m – 2,

(2m + 3)y – 5x + 5 = 0

не имеет решений.

Решение

Система уравнений не имеет решений, если отношение коэффициентов при х равно отношению коэффициентов при у, но неравно отношению свободных членов. Это правило, как и предыдущие, предлагает, что в записи данных уравнений неизвестные находятся в одной (например левой) части равенств и чередуются одинаково. Предполагается так же, что и свободные члены находятся в одной (например правой) части равенств. Удовлетворяя эти требования

(2m – х)x – my = 3m – 2,

– 5x + (2m + 3)у = – 5

и используя признак несовместимости системы, получим

Система удовлетворяется при m = EN-US">m = 2,25.

Упражнения

1. Определить, при каких значениях параметра m система уравнений

2х + my =5

имеет единственное решение.

Ответ: m (– ∞; – 1,5) position:absolute;z-index:9;left:0px;margin-left:59px;margin-top:23px; width:14px;height:62px"> При каких значениях параметра m система уравнений

(2m + 1)x +7y = 2m ,

Аналогичные уравнения можно получить, применяя описанные выше операции по отношению к переменным С 2 ,…,С m . Эти уравнения образуют систему нормальных уравнений:

a 11 С 1 + a 12 С 2 +…+ a 1m С m = b­ 1

a 21 С 1 + a 22 С 2 +…+ a 2m С m = b­ 2 (5)

……………………………………………………………..

a m1 С 1 + a m2 С 2 +…+ a m m С m = b­ m ,

где коэффициенты a k l и величины b k (k, l = 1, 2,…, m ) определяются выражениями

Уравнения (5) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

Преимущество использования линейного представления аппроксимирующей функции j (x) состоит в том, что в этом случае однозначно решается вопрос о минимуме величины J . Действительно, если решение системы линейных уравнений (9) существует, то оно единственно, поэтому необходимые условия являются в данном случае и достаточными условиями минимума функции J(С 1 , С 2 ,…, С m).

5)Описание метода определения параметров аппроксимирующей функции (решение системы нормальных уравнений).

Для решения системы нормальных уравнений был выбран метод Гаусса.

Один из возможных способов минимизации критерия аппроксимации предполагает решение системы нормальных уравнений. При выборе в качестве аппроксимирующей функции линейной функции искомых параметров нормальные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

Систему n линейных уравнений общего вида (где через x k обозначены искомые параметры С k аппроксимирующей функции)

a 11 x 1 + a 12 x 2 +…+ a 1n x n = b­ 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 +…+ a 2n x n = b­ 2

…………………………………………..

a n1 x 1 + a n2 x 2 +…+ a n n x n = b­ n

можно записать посредством матричных обозначений в следующем виде:

A X = B, где

Квадратная матрица A называется матрицей системы, вектор X – вектором-столбцом неизвестных системы , а вектор B – вектором-столбцом свободных членов.

В матричном представлении исходная система линейных уравнений примет вид

Решение системы линейных уравнений сводится к отысканию значений элементов вектора-столбца (x i ), называемых корнями системы . Для получения единственного решения системы входящие в нее n уравнений должны быть линейно независимыми. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя данной системы, т.е.
det A ¹ 0.

Для решения был выбран метод Гаусса. Согласно этому методу, исходная система линейных уравнений преобразуется путем последовательного исключения неизвестных в эквивалентную систему уравнений, имеющую так называемый «треугольный» вид. Последнее уравнение «тре­угольной» системы содержит лишь одно неизвестное (x n ), предпоследнее – два (x n , x n -1 ) и т.д. Решение полученной системы уравне­ний осуществляется последовательным («снизу вверх») определением x n из последнего уравнения «треугольной» системы, x n -1 изпредпоследнего и т.д. Применительно к системе уравнений преобразование к «треугольному» виду осуществляется за (n – 1 ) шагов.

На первом шаге выделяется первое уравнение системы. Это уравнение не преобразуется, и оно объявляется ведущим уравнением. Затем исключается неизвестное x 1 из всех уравнений, кроме веду­щего. Для этого последовательно из каждого уравнения вычитается ведущее уравнение, умноженное на некоторый специально подобранный множитель, позволяющий сделать результирующий коэффициент при x 1 равным нулю. Так, например, для исключения x 1 из второго уравнения

a 21 x 1 + a 22 x 2 + …+ a 2 n x n = b 2

необходимо из него вычесть ведущее уравнение, умноженное на коэффициент q 21 = a 21 / a 11 . Действительно, результат вычитания имеет вид

(a 21 – q 21 a­ 11) x 1 + (a 22 – q 21 a­ 12) x 2 + …+ (a 2n – q 21 a­ 1n) x n =
= b 2 – q 21 b 1 .

Очевидно, что коэффициент (a 21 – q 21 a 11 ) при x 1 равен ну­лю. Вводя новые обозначения для коэффициентов

k=(2, …, n) ,

И свободного члена

можно переписать уравнение в виде

Аналогичную процедуру можно проделать с третьим уравнением системы. Умножая ведущее уравнение на q 31 =a 31 /a 11 и вы­читая результат умножения из третьего уравнения, получим эквива­лентное уравнение

В результате рассмотренного первого шага исходная система уравнений превратится в эквивалентную систему уравнений, причем неизвестное x 1 входит только в первое уравнение:

На втором шаге ведущим объявляется второе уравнение системы и исключается неизвестное x 2 из уравнений с номерами от третьего до последнего. Исключение неизвестного проводится по схеме, описанной в первом шаге. Для исключения x 2 из третьего уравнения системы ведущее уравнение умножается на

и результат умножения вычитается из третьего уравнения, результирующий коэффициент при x 2 будет равен нулю. Для исключения x 2 из четвертого уравнения ведущее уравнение умножается на

и т.д. В результате второго шага (исключения неизвестного x 2 ) будет получена система урав­нений, также эквивалентная исходной системе:

где введены новые обозначения для коэффициен­тов преобразуемых уравнений. Отметим, что неизвестное x 1 вхо­дит только в первое уравнение, а неизвестное x 2 - в первое и второе уравнения.

На (n -1 ) шаге исключается неизвестное x n -1 из последнего n -го уравнения, и в результате система уравнений принимает окончательный «треугольный» вид

Полученная система уравнений эквивалентна исходной системе уравнений. Описанный процесс последовательного исключения неизвестных носит название прямого хода метода Гаусса.

Определим обобщенные формулы для расчета коэффициентов системы в процессе прямого хода метода Гаусса. На i -м шаге неизвестное x i исключается из всех уравнений с номерами k , где i+1 £ k £ n , при этом ведущее уравнение (с номером i ) умножается на

,

и результат умножения вычитается из k -го уравнения. Новые значения коэффициентов (в уравнении с номером k ) при неизвестных x j , (i+1 £ j £ n ) равны

новое значение свободного члена

.

Решение треугольной системы уравнений носит название обратного хода метода Гаусса и заключается в последовательном определении всех неизвестных, начиная с последнего x n . Действительно, из последнего уравнения системы вытекает, что

Значение x n -1 получается при решении предпоследнего уравнения

Так как x n уже определено, то

Эта процедура применяется последовательно ко всем уравнениям, включая и первое, из которого определяется

Обобщенная формула вычисления x i имеет вид

В процессе прямого хода метода Гаусса может оказаться, что коэффициент a ij (i -1) ведущего уравнения равен нулю. Тогда исключить x i из остальных уравнений описанным методом нельзя. Однако уравнения системы можно поменять местами и объявить ведущим то уравнение, у которого коэффициент при неизвестном x i отличен от нуля. Отметим, что системы, отличающиеся лишь взаимным расположением образующихих уравнений, являются эквивалентными. Перестановка уравнений не только допустима, но часто и полезна для уменьшения погрешности арифметических вычислений. Для уменьшения погрешности вычислений в качестве ведущего обычно выбирается уравнение с максимальным по модулю коэффициентом при x i . Это уравнение и уравнение с номером i меняют местами, и процесс исключения продолжается обычным образом. Поиск максимального по модулю коэффициента приx i носит название определение ведущего элемента .

6)Схемы алгоритмов и их описание.

Подпрограмма функции fi

Алгоритм подпрограммы нахождения матриц А и В:

выход матрицы A и вектора B

Алгоритм подпрограммы вывода матрицы А.

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ . Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,

{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х 2 = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.