Обсудим еще раз выбор масштаба для представления этих данных в графическом виде (см. рис.30). Максимальная метка °С, соответствующая оси температур Х, очень неплохо укладывается на 40 клетках, что соответствует очень удобному разделению по 10 клеток на кажые 50°С. А сколько надо дополнительных рисок? В этом случае предлагаю расставить их через 2 клетки, что придаст простоту определения координаты, так как интервал между такими рисками будет соответствовать 10°С, что очень удобно.
А вот на оси Y я расставил риски через 5 клеток на кажые 500 Ом сопротивления, что привело к неполному использованию площади бумаги. Но, посудите сами, если разделить ось по 6 или 7 клеток, было бы неудобно находить координату, а если по 8 клеток, то максимальная риска, соответствующая 2000 Ом, не поместилась бы на оси.
Теперь надо обсудить вид теоретической кривой. Откроем методические указания по выполнению лабораторных работ на странице 28 и найдем фомулу 3, описывающую зависимость сопротивления полупроводника от темепературы ,
где – ширина запрещенной зоны, – постоянная Больцмана, – некоторая константа, имеющая размерность сопротивления, и, наконец, температура , выраженная в Кельвинах. Начнем оформлять новую таблицу. Во-первых, температуру переведем в Кельвины. Во-вторых, поставим себе задачу не только нарисовать новый график , но и найти с помощью графика ширину запрещенной зоны. Для этого прологарифмируем экспоненциальную зависимость и получим 
Обозначим , , и . Тогда получим линейную зависимость ,
которую мы и будем изображать на графике. Данные, соответствующие значениям и , запишем в таблицу 9.
Таблица 9. Пересчет данных таблицы 8.
| номер точки | ||||||||||
| T, K | ||||||||||
| 1/T , 10 –3 K –1 | 3,34 | 3,19 | 3,00 | 2,83 | 2,68 | 2,54 | 2,42 | 2,31 | 2,21 | 2,11 |
| lnR , Ом | 7,62 | 7,51 | 7,25 | 7,06 | 6,99 | 6,74 | 6,61 | 6,56 | 6,36 | 6,34 |
Если по данным таблицы 9 построить график зависимости на рис.31, то все экспериментальные точки займут совсем немного места на листе при большом пустом пространстве. Почему так получилось? Потому что по осям Х и Y метки расставлены начиная от 0, хотя значения, например, начинаются только со значения . Обязательно ли делать начальную метку равную 0? Ответ на этот вопрос зависит от поставленных задач. В примере с маятником Обербека (см. рис.28) было очень важным найти пересечение оси Х теоретической прямой в точке с координатой Y=0, что соответствовало значению . А в этой задаче надо найти только ширину запрещенной зоны, которая связана с постоянной , соответствующая коэффициенту наклона прямой на рис.31, поэтому совсем не обязательно расставлять метки на осях, начиная с 0.
Изучая данные из табл.9 и подбирая удобный масштаб, можно с уверенностью сказать, что ориентацию миллиметровой бумаги нужно изменить, как показано на рис.32. Самостоятельно изучите выбранный масштаб и убедитесь в том, что он очень удобен для работы с графиком. На теоретической прямой (проведенной на глаз наилучшим способом между экспериментальными точками) поставим две точки А и В с координатами и . Коэффициент наклона выразим через координаты этих точек по формуле
И, наконец, вычисляем ширину запрещенной зоны
Методом парных точек рассчитаем этот же коэффициент и его погрешность , для этого рассмотрим пары точек из таблицы 9:
1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 и 7–10.
Рассчитаем для этих пар точек коэффициенты наклона прямых, которые проходят через них
Среднее значение
, 
Теперь рассчитаем ширину запрещенной зоны и ее погрешность .
Таким образом мы пришли к ответу
эВ
Самостоятельная работа.
Предлагаю вам проделать самостоятельные рассчеты, построения и обработку графиков в следующей виртуальной лабораторной работе под кодовым названием "Определить жесткость пружины". Но поднимем планку Эксперимента на более высокий уровень: надо не просто получить число, но сравнить два метода измерения жесткости пружины – статический и динамический.
Кратко рассмотрим эти методы.
Статический метод.
Если подвесить к закрепленной вертикальной пружине груз массой , то пружина растянется на согласно закону Гука, где – длина растянутой пружины, а – длина нерастянутой пружины (начальная длина).
Примечание: закон Гука говорит о пропорциональности силы упругости пружины абсолютному удлинению , т.е. , где – коэффициент упругости (или жесткость) пружины.
В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновесится силой упругости и мы можем написать . Раскроем скобки и увидим зависимость длины пружины от массы груза
Если сделать замену переменных , то получится уравнение прямой . Не надо делать линеаризацию!
Итак, перед вами стоит задача обработать данные из таблицы 10, которые были занесены туда юным Экспериментатором (ему надоело бросать кирпичи с крыши девятиэтажного дома). Для опытов он запасся набором грузов, нашел десяток-другой разных пружин и, подвешивая грузы разных масс, замерял длину растянутой пружины с помощью миллиметровой линейки.
Задание 1.
1. Выберите номер пружины из таблицы 10.
2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый столбец занесите силу тяжести , где – масса груза (в кг), м/с 2 . Во второй столбец перенесите значения длин выбранной пружины (в метрах). Предусмотрите ячейки для средних значений и .
Таблица 10.
| m, г | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см |
| 11,8 | 15,4 | 17,6 | 19,4 | 13,2 | 15,4 | 19,6 | 21,4 | 11,2 | |
| 12,3 | 16,5 | 18,3 | 21,5 | 14,3 | 16,5 | 21,3 | 22,4 | 11,7 | |
| 13,6 | 17,6 | 19,3 | 21,6 | 14,8 | 16,5 | 22,1 | 22,6 | 12,7 | |
| 14,1 | 18,2 | 21,5 | 22,1 | 15,6 | 17,3 | 21,5 | 23,7 | 13,1 | |
| 16,6 | 22,3 | 22,5 | 24,9 | 17,6 | 19,9 | 23,9 | 25,5 | 15,4 | |
| 21,6 | 25,6 | 27,4 | 29,5 | 21,4 | 23,8 | 27,7 | 29,9 | 18,3 | |
| 22,5 | 26,4 | 28,8 | 31,4 | 22,6 | 24,2 | 28,8 | 32,1 | 19,6 | |
| 23,3 | 27,9 | 29,4 | 31,7 | 23,8 | 25,6 | 29,5 | 31,7 | 22,1 | |
| 26,2 | 32,1 | 32,0 | 34,3 | 25,5 | 27,9 | 31,9 | 33,6 | 22,2 | |
| 27,8 | 31,4 | 33,7 | 35,3 | 27,6 | 29,1 | 33,2 | 35,3 | 23,1 |
Таблица 10 (продолжение)
| m, г | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см | l , см |
| 15,1 | 17,1 | 19,3 | 11,4 | 15,3 | 19,0 | 10,8 | 15,2 | 19,1 | |
| 15,6 | 17,7 | 19,7 | 11,6 | 15,6 | 19,6 | 11,5 | 15,3 | 19,3 | |
| 16,7 | 18,5 | 21,2 | 12,0 | 16,1 | 20,4 | 12,3 | 16,3 | 20,2 | |
| 17,3 | 19,3 | 21,4 | 12,5 | 16,5 | 20,7 | 12,4 | 16,7 | 20,4 | |
| 19,4 | 21,1 | 23,5 | 14,9 | 18,9 | 22,4 | 14,2 | 18,0 | 21,8 | |
| 22,3 | 24,6 | 26,3 | 17,4 | 21,4 | 25,8 | 16,5 | 20,7 | 24,4 | |
| 23,5 | 25,6 | 27,0 | 18,2 | 22,3 | 26,1 | 17,2 | 21,6 | 25,7 | |
| 24,4 | 26,1 | 28,5 | 19,4 | 23,3 | 27,0 | 18,4 | 22,0 | 26,4 | |
| 26,4 | 28,5 | 31,1 | 20,3 | 24,5 | 28,6 | 19,3 | 23,5 | 27,3 | |
| 27,0 | 29,0 | 31,4 | 21,9 | 25,8 | 29,9 | 20,7 | 24,7 | 28,5 |
3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите оптимальный масштаб и постройте график зависимости силы тяжести от длины пружины , откладывая значения вдоль оси Х, а величины вдоль оси Y.
4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов наклона по формуле
И т.д.
5. Найдите среднее значение , что соответствует среднему значению коэффициента упругости пружины .
6. Найдите среднеквадратичное отклонение 
, доверительный интервал 
, (т.к. получено 7 значений ). Представьте результат в виде
Дополнительное задание (необязательное)
7. Рассчитайте начальную длину пружины. Для этого получите выражение для коэффициента из уравнения равновесия и подставьте в него средние значения
8. Рассчитайте доверительный интервал для коэффициента
9. Учитывая, что , рассчитайте начальную длину пружины и доверительный интервал для нее
, 
Подвесим груз массы к закрепленной вертикальной пружине жесткости и толкнем его легонько вниз. Начнутся гармонические колебания, период которых равен (см. , стр 76). Выразим массу груза через период колебаний
25. Методы линеаризации нелинейных САУ.
С т. зрения передачи и преобразования сигнала НЛ отлич. от линейных систем тем, что мгновенный коэфффициент передачи зависит от значения входного сигнала. САУ, содержащие звенья, динамика которых описывается НЛ дифференц. уравнениями относят к НЛ системам .
НС-динамика к-х описывается нелин-ми диф ур-ми, это сис-мы, имеющие нелинейную стст-ю хар-ку.
Систему можно представить в виде соединения из 2-х элементов:
можно свести к:
ЛЧ
ЛЧ описывается обычными диф ур-ми с пост-ми коэфф-ми.
НЭ является безинерционным и его выходная величина и вход. величина связаны связаны между собой НЛ алгебраическим уравнением. Нелинейность обусловлена нелинейностью статической характеристики одного из элементов системы.
Методы линеаризации нелинейных САУ.
метод гармонической линеаризации
статическая линеаризация
совместная стат и гармон линеаризация
вибролинеаризация
Метод гармонической линеаризации.
Сущность метода гарм-ой линеаризации заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного элемента, разложение сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и замены вых сигнала его первой гармоникой. Такая замена справедлива если сис или ЛЧ явл-ся фильтром низкой частоты, т.е. подавляет высшие гармоники.
В рез-те линеаризации нелин стат хар-ку заменяют эквивалентным линейным звеном с коэффициентами
И для гистерезисных хар-ик (петлевых) значение k / Г всегда получается отрицательным, т.е. в ур-ие вводят производную с отриц знаком и эта производная дает запаздывание в работе звена. Такую линеар-ю наз-т гармонической т.к. она связана с разложением нелин колебаний на гармонич-ие составляющие.
k / Г и k Г гарм-ие коэф-ты усиления нелин звена.
Отличия гарм-ой линеар-ии от обычной:
При гарм-ой линеаризации нелин хар-ку заменят прямой, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала.
Гарм-ая линеаризация позволяет вместо нелин звена получить линейное, к-т усиления которого зависит от а.
Гарм-ая линеар-ия дает возможность опредилить св-ва нелин САУ методами линейной теории автом-х сис-м.
Статическая линеаризация.
Этот метод приближенного исследования точности нелин сис в стационарных случ реж-ах.
В качестве примера возьмем нелин звено со стат хар-ой типа насыщение.
Пусть на входе стационарный случ. Сигнал.
X (t )= m x + x 0 (t )
Y(t)=m y +y 0 (t)
Задача стат лин-ии закл-ся в том чтобы найти линейное звено дающее при том же вх сигнале x (t ) вых сигнал = эквивалентному вых сигналу нелин звена при этом надо чтобы эквив-й сигнал максимально приближался к y (t ).
Точность линеариз зависит от того, какой критерий выбран для сравнения y экв и y .
Сущ 2 критерия сравнения y экв и y :
1. по первому способу линеаризация осущ-ся исходя из след условий
при выполнении первого условия линейное звено будет полностью эквивалентно исх-му нелин звену в отношении пропускания заданной детерменированной составляющей вх сигнала. Второе условие означает эквивалентность в отношении пропускания центрированной случ составляющей вх сигнала. В связи с тем что дисперсия не определяет полностью закона распределения случ величины выбор ур-ия эквивалентного линейного звена только по дисперсии определяет погрешность данной стат линеаризации.
2. основан на линеаризации разности
К-ты стат линеар-ии:
Совместная статическая и гармоническая линеаризация.
Случай когда в сис присутствуют автоколебания и на вх сис подаются случ воздействия:
f(t)=m f +f 0 (t)
x(t)=m x +x 0 (t)+a*sin w a t
Из-за неприменимости принципа суперпозиции необходимо учитывать наличие всех 3-х составляющих для этого надо осущ-ть совместную стат и гарм линеа-ию, в рез-те этого сигнал на выходе:
в случ симметр-ой нелин стат хар-ки пост состав-ую
m y = y 0 = k сг0 m x
эти 4 к-та опред-ся по фор-ам для гарм-ой и стат линеар-ии. Эти к-ты уже будут зависеть от 4-х составляющих (m x , s x , a , w a )
При исследовании сис m x , s x , a , w a - определяются совместным решением ур-ий для колебательной составляющей и для случ состав-ей.
Применяя совместно стат и гармонич линеаризацию можно решать две задачи:
можно исследовать влияние внешних случ воздействий на параметры возможных автоколебаний.
можно исследовать точность сис в случ режимах при наличии сис гармонических колебаний.
Вибролинеаризация.
Испол-ся для исключения эффекта наличия нелин-х хар-к (люфт и зона нечувст-ти).
При виб-ой лин-ии на вх нелин звена на постоянный или медленно изменяющиюся сигнал накладывается высокочастотная состав-ая и в рез-те этого нелин звено пропускает пост сост-ую как пропорциональное звено.
Рассмотрим метод виб-ой лин-ии на примере релейной сис:
зависимость y 0 = f (x 0 ) ,где y 0 зависит от x 0 и от формы нелин-ой стат хар-ки, т.о. при наличии переменного воздействия, этот элемент пропускает пост воздействие x 0 как звено непрерывного действия.
Сам процесс виб-й лин-ии можно трактовать как процесс модуляции, в данном примере реле явл-ся модулятором высокочас-ое воздействие - сигнал несущей частоты, а НЧ вх сигнал x 0 явл-ся модулирующим сигналом. В данном случае осущ-ся ШИМ и ф-ей модулир-го сигнала явл-ся ширина вых имп-са и условие неискаженной передачи НЧ-составляющей явл-ся f ВЧ / f НЧ >=3
Когда реле работает в составе САУ обычно НЧ сигнал x 0 представляет собой сигнал управления и изменения во времени x 0 и есть перех-ой процесс в сис.
ВЧ воздействие осущ виб-ой лин-ей м.б. получено 3-я способами:
С пом внешнего генератора, создающего вынужд-е колебания на вх нелин элемента.
Путем создания автоколебаний в самой САУ.
Путем создания скользящего режима.
Дифференциальные уравнения можно линеаризовать следующими методами:
1. нелинейная функция рабочей области раскладывается в ряд Тейлора.
2. Заданные в виде графов нелинейные функции линеаризуются в рабочей плоскости прямыми.
3. Вместо непосредственного определения частных производных, вводятся переменные в исходные нелинейные уравнения.
,
.
(33)
4. Данный метод основан на определении коэффициентов по методу наименьших квадратов.
,
(34)
где
- постоянное времени пневмопривода;
- передаточный
коэффициент пневмопривода;
- коэффициент
демпфирования пневмопривода.
Внутреннее строение элементов САР наиболее просто определяется с помощью структурных схем графов. В отличие от известных структурных схем в графах, переменные указываются в виде времени, а дуги обозначают или параметры, или передаточные функции типовых звеньев. Между ними существует четное соотношение.
Мм нелинейных элементов
Рассмотренные в первой главе методы линеаризации применимы, когда нелинейность, входящая в объект ЛСА, хотя бы один раз дифференцируема или аппроксимируется касательной с малой погрешностью некоторой окрестности близкой к рабочей точке. Существует целый класс нелинейностей, для которых оба условия не выполняются. Обычно это существенные нелинейности. К ним относятся: ступенчатые, кусочно-линейные и многозначные функции с точками разрыва первого рода, а также степенные и транстендентые функции. Использование УВМ, обеспечивающих выполнение логико-алгебраических операций в системах привело к новым типам линейностей, которые представляют через непрерывные переменные с помощью специальной логики.
Для математического описания таких нелинейностей применяют эквивалентные передаточные функции, зависящие от коэффициентов линеаризации, которые получают путем минимизации среднего квадрата ошибки воспроизведения заданного входного сигнала. Форма входных сигналов, поступающих на вход нелинейностей может быть произвольна. На практике наиболее распространение получили гармонические и случайные виды входных сигналов и их временные комбинации. Соответственно и методы линеаризации называются гармоническими и статическими.
Общий метод описания эквивалентных передаточных функций нэ
Весь класс
существенных нелинейностей разделены
на две группы. К первой группе относится
однозначные нелинейности, у которых
связь между входными
и выходными
векторными сигналами зависит только
от формы статической характеристики
нелинейности
.
.
В этом случае, при определенной форме входных сигналов:
.
С помощью матрицы
линеаризации
можно найти приближенное значение
выходных сигналов:
.
Из (42) следует, что матрица коэффициентов линеаризации однозначных нелинейностей, является действительными величинами и их эквивалентные передаточные функции:
.
Ко второй группе относят двузначные (многозначные) нелинейности, у которых связь между входными и выходными сигналами зависит не только от формы статической характеристики, но так же определяется предысторией входного сигнала. В этом случае выражение (42) запишется в виде:
.
Для учета влияния
предыстории входного периодического
сигнала будем учитывать не только сам
сигнал
,
но и скорость его изменения, дифференциал
.
При входных сигналах:
приближенное
значение входного сигнала будет:
где
и
- коэффициенты гармонической линеаризации
двухзначных нелинейностей;
- период колебания
по правой гармонике;
- гармоническая
функция.
Эквивалентная передаточная функция:
Существуют нелинейности более общего вида:
,
,
где
и
- коэффициенты гармонической линеаризации;
- номер гармоники.
Матрицы коэффициентов
линеаризации периодической с периодом
.
Имея это ввиду, передаточную функцию
двух двухзначной нелинейности можно
представить по аналогии с передаточной
функцией
Пользуясь определим обобщенную формулу для вычисления передаточной функции однозначных и двухзначных нелинейностей.
В случае однозначной
нелинейности матрица коэффициентов
линеаризации
,
зависящей от параметров вектора
,
выберем, таким образом, чтобы линеаризовать
среднее значение квадрата разности
между точным
и приближенным
сигналами на входе:
После преобразований,
упрощений, ухищрений и усиления
бдительности, получим эквивалентную
передаточную функцию в виде системы
матриц:
,
.
,
при
,
.
.
Определить коэффициент линеаризации для однозначной нелинейности. Когда на ее вход поступает первая гармоника синусоидального сигнала:
где
.
.
Уравнение (56)
представляет собой коэффициент
линеаризации по первой гармонике для
однозначной нелинейности, она определяет
эквивалентную передаточную функцию
.
В дальнейшем сравнение формулы для определения коэффициентов линеаризации простейших нелинейностей при подаче на их вход периодических сигналов: синусоидального, треугольного, покажем целесообразность применения получаемых эквивалентных передаточных функций.
Коэффициент
линеаризации определим
,
.
,
.
Пример. Определить коэффициент линеаризации двузначной нелинейности, когда на ее вход поступает первая гармоника синусоидального сигнала и имеет один вход. Из системы матриц (60), получим:
,
.
В данном примере входной сигнал запишем в виде:
,
.
Когда для двузначной нелинейности общая эквивалентная функция:
.
.
Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса ) позволяет определить условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных САУ. Автоколебания определяются предельными циклами в фазовом пространстве систем. Предельные циклы разделяют пространство (в общем случае - многомерное ) на области затухающих и расходящихся процессов. В результате расчета параметров автоколебаний можно сделать заключение о их допустимости для данной системы или о необходимости изменения параметров системы.
Метод позволяет:
Определить условия устойчивости нелинейной системы;
Найти частоту и амплитуду свободных колебаний системы;
Синтезировать корректирующие цепи, для обеспечения требуемых параметров автоколебаний;
Исследовать вынужденные колебания и оценивать качество переходных процессов в нелинейных САУ.
Условия применимости метода гармонической линеаризации.
1) При использовании метода предполагается, что линейная часть системы устойчива или нейтральна.
2) Сигнал на входе нелинейного звена близок по форме к гармоническому сигналу. Это положение требует пояснений.
На рис.1 представлены структурные схемы нелинейной САУ. Схема состоит из последовательно соединенных звеньев: нелинейного звена y=F(x) и линейно-
го, которое описывается дифференциальным уравнением
При y = F(g - x) = g - x получим уравнение движения линейной системы.
Рассмотрим свободное движение, т.е. при g(t) º 0. Тогда,
В случае, когда в системе существуют автоколебания, свободное движение системы является периодическим. Непериодическое движение с течением времени оканчивается остановкой системы к некотором конечном положении (обычно, на специально предусмотренном ограничителе).
При любой форме периодического сигнала на входе нелинейного элемента сигнал на его выходе будет содержать кроме основной частоты высшие гармоники. Предположение о том, что сигнал на входе нелинейной части системы можно считать гармоническим, т.е., что
x(t)@ a×sin(wt),
где w=1/T, T - период свободных колебаний системы, равносильно предположению о том, что линейная часть системы эффективно фильтрует высшие гармоники сигнала y(t) = F(x (t)).
В общем случае при действии на входе нелинейного элемента гармонического сигнала x(t) сигнал на выходе может быть преобразован по Фурье:
Коэффициенты ряда Фурье
.
Для упрощения выкладок положим C 0 =0, т.е., что функция F(x) симметрична относительно начала координат. Такое ограничение не обязательно и сделано анализа. Появление коэффициентов C k ¹ 0 означает, что, в общем случае нелинейное преобразование сигнала сопровождается и фазовыми сдвигами преобразуемого сигнала. В частности, это имеет место в нелинейностях с неоднозначными характеристиками (с различного рода гистерезисными петлями), причем как запаздывание так и, в некоторых случаях, опережение по фазе .
Предположение об эффективной фильтрации означает, что амплитуды высших гармоник на выходе линейной части системы малы, то есть
Выполнению этого условия способствует то, что во многих случаях амплитуды гармоник уже непосредственно на выходе нелинейности оказываются существенно меньше амплитуды первой гармоники. Например, на выходе идеального реле при гармоническом сигнале на входе
y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))
четные гармоники отсутствуют, а амплитуда третьей гармоники в три раза меньше амплитуды первой гармоники
Сделаем оценку степени подавления высших гармоник сигнала в линейной части САУ. Для этого сделаем ряд предположений.
1) Частота свободных колебаний САУ приблизительно равна частоте среза ее линейной части. Отметим, что частота свободных колебаний нелинейной САУ может существенно отличаться от частоты свободных колебаний линейной системы так, что это допущение не всегда корректно .
2) Показатель колебательности САУ примем равным M=1.1.
3) ЛАХ в окрестностях частоты среза (w с) имеет наклон -20 дБ/дек. Границы этого участка ЛАХ связаны с показателем колебательности соотношениями
4) Частота w max является сопрягающей с участком ЛФХ, так что при w > w max наклон ЛАХ не менее минус 40 дБ/дек.
5) Нелинейность - идеальное реле с характеристикой y = sign(x) так, что на ее выходе нелинейности будут присутствовать только нечетные гармоники.
Частоты третьей гармоники w 3 = 3w c , пятой w 5 = 5w с,
lgw 3 = 0.48+lgw c ,
lgw 5 = 0.7+lgw c .
Частота w max = 1.91w с, lgw max = 0.28+lgw c . Сопрягающая частота отстоит от частоты среза на 0.28 декады.
Уменьшение амплитуд высших гармоник сигнала при их прохождении через линейную часть системы составит для третьей гармоники
L 3 = -0.28×20-(0.48-0.28)×40 = -13.6 дБ, то есть в 4.8 раза,
для пятой - L 5 = -0.28×20-(0.7-0.28)×40 = -22.4 дБ, то есть в 13 раз.
Следовательно, сигнал на выходе линейной части окажется близким к гармоническому
Это эквивалентно предположению, что система является низкочастотным фильтром.
Линеаризация является наиболее распространенным способом понижения уровня сложности ММ и служит основой применения линейной теории.
Суть любой линеаризации состоит в приближенной замене исходной нелинейной зависимости (нелинейности) некоторой линейной зависимостью в соответствии с определенным условием (критерием) эквивалентности. Среди возможных методов чаще всего применяют метод касательных (линеаризация в малой окрестности заданной точки). Этот метод не зависит от вида преобразуемых сигналов и может одинаково успешно использоваться для разных типов нелинейностей, которые могут быть одномерными и многомерными; безынерционными (статическими) и динамическими.
Безынерционные нелинейности устанавливают функциональную зависимость между значениями входа u (t ) и выхода y (t ) в один и тот же текущий момент времени t и могут задаваться либо явно (формулами, графиками, таблицами), либо неявно (алгебраическими уравнениями). На структурных схемах им соответствуют безынерционные (без памяти) нелинейные звенья .
Динамические нелинейности описываются математически нелинейными дифференциальными уравнениями и на структурных схемах им соответствуют нелинейные динамические звенья . При этом значения выхода y (t ) в текущий момент времени t зависят не только от значений входа в этот же момент времени, но и от производных, интегралов или каких либо других значений.
Математической основой метода касательных является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в малой окрестности некоторой «точки линеаризации» с последующим отбрасыванием нелинейных слагаемых, содержащих степени отклонений переменных (приращений) выше первой.
Суть метода рассмотрим на частных случаях с последующими обобщениями.
1) Пусть y = F (u ) - явно заданная одномерная безынерционная нелинейность, гладкая и непрерывная в окрестности некоторой точки u =u *. Полагая, u =u *+Du ; y =y *+Dy , где y *=F (u *), запишем ряд Тейлора для этой функции в виде:
Отбрасывая слагаемые более высокого порядка малости, и оставляя только слагаемые, содержащие Du в первой степени, получим приближенное равенство
. (2)
Это выражение приближенно описывает взаимосвязь малых приращений Dy и Du в виде линейной зависимости и является результатом линеаризации в рассматриваемом случае. Здесь К имеет геометрический смысл углового коэффициента наклона касательной к графику функции в точке с координатой u =u *.
В случае многомерной нелинейности y =F (u ), когда y ={y i }, F ={F i } иu ={u j }– векторы, аналогично получим, что Dy =K Du . ЗдесьK ={K ij }- матричный коэффициент, элементы которого K ij определяются как значения частных производных функций F i по переменным u j , вычисленных в «точке» u =u* .
2. Пусть безынерционная нелинейность задана неявно с помощью алгебраического уравнения F (y ,u )=0 . Необходимо линеаризовать эту нелинейность в малой окрестности некоторого известного частного решения (u *, y *) в предположении того, что все нелинейные функции F i в составе F непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности. Выполнив разложение этой вектор-функции в ряд Тейлора и, отбросив слагаемые второго и выше порядков малости, получим линейное уравнение первого приближения:
, (3)
где Dy
=y
–y
*; Du
=u
–u
*; 
- матрицы частных производных, вычисленные в точке линеаризации.
3. Пусть одномерная динамическая нелинейность задана дифференциальным уравнением «вход-выход» n -го порядка:
F (y , y (1) , …, y ( n ) , u , u (1) , …u ( m ))=0. (4)
Линеаризуем эту нелинейность методом касательных в малой окрестности известного частного решения этого уравнения y *(t ), соответствующего заданному входу u *(t ). Производные по времени соответствующих порядков от y *(t ) и u *(t ) также предполагаются известными.
Предполагая функцию F непрерывно-дифференцируемой по всем своим аргументам и следуя рассмотренной выше общей методике (разложение в ряд и учет только линейных относительно приращений аргументов слагаемых), запишем линейное уравнение первого приближения для нелинейного уравнения:
(5)
Здесь символ (*) означает, что частные производные определены при значениях переменных и их производных, соответствующих частному решению (y *(t ), u *(t )). В общем случае их значения (коэффициенты уравнения) будут зависеть от времени и линеаризованная модель будет нестационарной . Но если частное решение соответствует статическому режиму , то эти коэффициенты будут постоянными .
Для удобства и краткости записи, введем следующие обозначения:
= a i ; = -b i ; Dy (i ) =D i Dy ; Du (i ) =D i Du ; D =d /dt .
Тогда линеаризованное уравнение (5) запишется в краткой операторной форме:
A (D )Dy (t )=B (D )Du (t ),
где A (D ) – полином степени n относительно оператора дифференцирования D ;
B (D ) – аналогичный операторный полином m -ой степени.
4. Пусть многомерная динамическая нелинейность задана нелинейными уравнениями состояния вида
(6)
Аналогично предыдущим случаям, линеаризуем эту нелинейность методом касательных в малой окрестности известного частного решения (x* , y* ), соответствующего заданному входу u* (t ). При этом уравнения первого приближения будут иметь следующий вид:
(7)
где 
- матрицы соответствующих размеров. Их элементы в общем случае будут функциями времени, но если частное решение соответствует статическому
режиму, то они будут постоянны.
Сделаем заключительные замечания о применении метода касательных при линеаризации ММ всей САР, представляющей собой совокупность описаний взаимодействующих между собой конструктивных блоков.
1) «опорный режим» (*), относительно которого выполняется линеаризация, рассчитывается для всей системы по ее полной (нелинейной) ММ. Для расчета могут использоваться как графические, так и численные (компьютерные) методы. При этом коэффициенты всех линеаризованных уравнений и функциональных зависимостей будут зависеть от выбранных точек линеаризации;
2) все нелинейные зависимости ММ должны быть непрерывными и непрерывно дифференцируемыми (гладкими) в малой окрестности режима (*);
3) отклонения переменных от их значений в опорном режиме должны быть достаточно малыми; для САР и У это требование вполне согласуется с целью управления – регулированием значений управляемых переменных в соответствии с предписанными законами их изменения;
4) для линейных уравнений в составе ММ линеаризация состоит в формальной замене всех переменных на их отклонения (приращения);
5) для получения линеаризованной ММ всей системы в стандартном виде, например в форме уравнений состояния, следует сначала проводить линеаризацию каждого из уравнений в составе ММ. Это будет намного проще и быстрее, чем попытка получения нелинейной ММ системы в стандартном виде с последующей ее линеаризацией;
6) при соблюдении всех условий применения метода касательных, свойства линеаризованной ММ дают объективное представление о локальных свойствах нелинейной ММ в малой окрестности опорного режима. Этот факт имеет строгое математическое обоснование в виде теорем Ляпунова (первый метод) и является теоретической базой для практического применения линейной теории управления.