Найти графическим методом максимум целевой функции
F = 2x 1 + 3x 2 ® max
При ограничениях
Решение с помощью таблиц Excel
Вначале построим на листе Excel решение системы неравенств.
Рассмотрим первое неравенство .
Построим граничную прямую по двум точкам. Прямую обозначим (L1)(или Ряд1). Координаты х 2 считаем по формулам:
Для построения выбираем точечную диаграмму
Выбираем данные для прямой
Изменяем название прямой:
Выбираем макет диаграммы. Изменяем название осей координат:
Прямая (L1) на графике:
Решение строгого неравенства можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L1). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L1).
0 + 3×0 < 18 или 0 < 18 .
Неравенство является верным, следовательно решением неравенства (1) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке ниже прямой L1).
Затем решаем неравенство (2) .
Построим граничную прямую 2 по двум точкам. Прямую обозначим (L2).
Прямая (L2) на графике:
Решение строгого неравенства 2 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L2). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L2).
При подстановке координат точки (0; 0), получаем неравенство
2×0 + 0 < 16 или 0 < 16 .
Неравенство является верным, следовательно решением неравенства (2) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке ниже прямой L2).
Затем решаем неравенство (3) .
Построим граничную прямую по двум точкам. Прямую обозначим (L3).
Прямая (L3) на графике:
Решение строгого неравенства 2 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L3). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L3).
При подстановке координат точки (0; 0), получаем неравенство
Неравенство является верным, следовательно решением неравенства (3) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке ниже прямой L3).
Затем решаем неравенство (4) .
Построим граничную прямую по двум точкам. Прямую обозначим (L4).
На листе Excel добавляем данные
Прямая (L4) на графике:
Решение строгого неравенства 3х 1 < 21 можно найти с помощью единственной пробной точки, не принадлежащей прямой (L4). Например, с помощью точки (0; 0)Ï(L4).
При подстановке координат точки (0; 0), получаем неравенство
Неравенство является верным, следовательно, решением неравенства (4) будет та полуплоскость, в которой пробная точка расположена (на рисунке левее прямой L4).
Решением двух неравенств (5) и (6)
является 1-ая четверть, ограниченная координатными прямыми и .
Система неравенств решена. Решением системы неравенств (1) – (6) в данном примере является выпуклый многоугольник в левом нижнем углу рисунка, ограниченный прямыми L1, L2, L3, L4 и координатными прямыми и . Убедиться, что многоугольник выбран правильно, можно подстановкой пробной точки, например (1; 1) в каждое неравенство исходной системы. При подстановке точки (1; 1) получаем, что все неравенства, в том числе естественные ограничения, верные.
Рассмотрим теперь целевую функцию
F = 2x 1 + 3x 2 .
Построим линии уровня для значений функции F = 0 и F = 12 (числовые значения выбраны произвольно). На листе Excel добавляем данные
Линии уровней на графике:
Построим вектор направлений (или градиент) {2; 3}. Координаты вектора совпадают с коэффициентами целевой функции F .
Решение
: найдем максимальное и минимальное значение функции \(f (x, y)\) при следующих ограничениях $$ f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \rightarrow max,min \\ \begin{cases} 2x+3y\geq 6 \\ 3x-2y\leq 18\\ -x+2y\leq 8\\ x,y\geq0\end{cases} $$
Графический способ решения задачи целесообразно использовать, для задач с двумя переменными, которые записаны в симметричной форме, а также для задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.
В данном случае задача с двумя переменными.
Алгоритм решения задачи "геометрическая интерпретация задачи линейного программирования":
1.Построим на плоскости xOy область допустимых решений.
2.Выделим область неотрицательных решений.
4. Построим семейство целевых функций.
5. Находим максимальное (минимальное) значение целевой функции.
1. Строим область допустимых решений задачи \(D\).
Для построения области допустимых решений:
1) Строим граничные прямые:
преобразуем неравенства к равенствам, а затем к уравнению прямой линии в отрезках на осях вида \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1\), тогда \(x=a\) - отрезок отсекаемый на оси Ox, \(y=b\) - на оси Oy $$ \begin{cases} 2x+3y = 6 \\ 3x-2y = 18\\ -x+2y = 8 \end{cases} => \begin{cases} \frac{x}{3}+\frac{y}{2} = 1 \\ \frac{x}{8}-\frac{y}{9} = 1 \\ -\frac{x}{6}+ \frac{y}{4} = 1 \end{cases} $$ Для каждой прямой откладываем отрезки на осях и соединяем их. Получили нужные прямые.
2) Находим полуплоскости, которые удовлетворяют заданным неравенствам:
Для неравенства \(2x+3y\geq 6\) - полуплоскость, которая лежит выше прямой \(2x+3y = 6\). Прямая AC
Для неравенства \(3x-2y\leq 18 => -3x+2y \geq -18\)- полуплоскость, которая лежит выше прямой \(3x-2y = 18\). Прямая CB
Для неравенства \(-x+2y\leq 8\)- полуплоскость, которая лежит ниже прямой \(-x+2y = 8\). Прямая AB
Область допустимых решений определяется как общая часть трех полуплоскостей, соответствующих данным неравенствам. Эта область представляет собой треугольник \(ABC\)
Областью \(D\) является треугольник \(ABC\) см. рис.
2.Выделим область неотрицательных решений.
Область неотрицательных решений расположена в первой четверти и является общей частью всех пяти полуплоскостей, три их которых - область \(D\), полученная из неравенств и дополнительно два неравенства \(x \geq 0\) - верхняя полуплоскость (I и II четверти) и \(y \geq 0\) - правая полуплоскость (I и IV четверти), которые выражают условие неотрицательности переменных \(x;y\). Получили искомую область неотрицательных решений \(DEBFG\)
3.Найдем координаты вершин области.
Координаты четырех вершин уже известны (это точки пересечения прямых с осями).
Запишем эти координаты:
\(D(0;2)\), \(E(0;4)\), \(F(6;0)\), \(G(3;0)\)
Найдем координаты точки \(B\), как точки пересечения прямых \(-x+2y = 8\) и \(3x-2y = 18\). Решим систему уравнений и найдем координаты этой точки $$\begin{cases} -x+2y = 8\\ 3x-2y = 18\end{cases}=> \begin{cases} 2x = 26\\ 3x-2y = 18\end{cases}=> \begin{cases} x = 13\\ y =10.5\end{cases}$$
Получили координаты точки \(B(13;10.5)\)
4. Строим семейство целевых функций.
Уравнение \(f(x,y)=(x-4)^2 + (y-3)^2 \rightarrow max,min\) определяет на плоскости xOy семейство концентрических окружностей с центом в точке с координатами \(Q(4;3)\), каждой из которых отвечает определенное значение параметра \(f\). Как известно, для уравнения окружности параметр \(f=R^2\).
Изобразим в одной системе координат семейство концентрических окружностей \(f\) и семейство прямых. Задача определения точки максимума (минимума) точки \(f\) сведется к нахождению в допустимой области точки, через которую проходит окружность семейства \(f=const\), отвечающая за наибольшее (наименьшее) значение параметра \(f\).
5. Находим максимальное (минимальное) значение целевой функции.
Минимальное значение целевой функции : Путем постепенного увеличения радиуса окружности мы получили, что первая вершина, через которую пройдет окружность это точка \(G(3;0)\). Целевая функция в этой точке будет минимальной и равна \(f(3,0)=(3-4)^2 + (0-3)^2 = 10\)
Максимальное значение целевой функции : Путем дальнейшего увеличения радиуса окружности мы получили, что последняя вершина, через которую пройдет окружность это точка \(B(13;10.5)\). Целевая функция в этой точке будет максимальной и равна \(f(13,10.5)=(13-4)^2 + (10.5-3)^2 = 137.25\)
Можно убедиться в правильности решения путем подстановки координат оставшихся вершин в уравнение целевой функции:
в вершине \(D(0;2)\) значение целевой функции равно \(f(0,2)=(0-4)^2 + (2-3)^2 = 17\)
в вершине \(E(0;4)\) значение целевой функции равно \(f(0,4)=(0-4)^2 + (4-3)^2 = 17\)
в вершине \(F(6;0)\) значение целевой функции равно \(f(6,4)=(6-4)^2 + (0-3)^2 = 13\)
Получили, что
Ответ
:
минимальное значение целевой функции \(f_{min} = 10\)
максимальное значение целевой функции \(f_{max} = 137.25\)
Построим на плоскости множество допустимых решений системы линейных неравенств и геометрически найдём минимальное значение целевой функции.
Строим в системе координат х 1 ох 2 прямые
Находим полуплоскости, определяемые системой. Так как неравенства системы выполняется для любой точки из соответствующей полуплоскости, то их достаточно проверить для какой-либо одной точки. Используем точку (0;0). Подставим её координаты в первое неравенство системы. Т.к. , то неравенство определяет полуплоскость, не содержащую точку (0;0). Аналогично определяем остальные полуплоскости. Находим множество допустимых решений как общую часть полученных полуплоскостей - это заштрихованная область.
Строим вектор и перпендикулярно к нему прямую нулевого уровня.
Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области максимальная точка будет в точке А пересечения прямой (3) и прямой (2). Находим решение системы уравнений:
Значит, получили точку (13;11) и.
Перемещая прямую (5) в направлении вектора и видим, что у области минимальная точка будет в точке В пересечения прямой (1) и прямой (4). Находим решение системы уравнений:
Значит, получили точку (6;6) и.
2. Мебельная фирма производит комбинированные шкафы и компьютерные столики. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок, фурнитуры) и временем работы обрабатывающих их станков. Для каждого шкафа требуется 5 м2 досок, для стола - 2 м2. На один шкаф расходуется фурнитуры на 10$, на один столик также на 8$. Фирма может получать от своих поставщиков до 600 м2 досок в месяц и фурнитуры на 2000$. Для каждого шкафа требуется 7 часов работы станков, для стола - 3 часа. В месяц возможно использовать всего 840 часов работы станков.
Сколько комбинированных шкафов и компьютерных столиков фирме следует выпускать в месяц для получения максимальной прибыли, если один шкаф приносит 100$ прибыли, а каждый стол - 50$?
- 1. Составить математическую модель задачи и решить её симплексным методом.
- 2. Составить математическую модель двойственной задачи, записать её решение исходя из решения исходной.
- 3. Установить степень дефицитности используемых ресурсов и обосновать рентабельность оптимального плана.
- 4. Исследовать возможности дальнейшего увеличения выпуска продукции в зависимости от использования каждого вида ресурсов.
- 5. Оценить целесообразность введения нового вида продукции - книжных полок, если на изготовление одной полки расходуется 1 м 2 досок и фурнитуры на 5$,и требуется затратить 0,25 часа работы станков и прибыль от реализации одной полки составляет 20$.
- 1. Построим математическую модель для данной задачи:
Обозначим через x 1 - объём производства шкафов, а х 2 - объём производства столиков. Составим систему ограничений и функцию цели:
Задачу решаем симплекс-методом. Запишем её в каноническом виде:
Запишем данные задачи в виде таблицы:
Таблица 1
Т.к. теперь все дельта больше нуля, то дальнейшее увеличение значения функции цели f невозможно и мы получили оптимальный план.
ТЕМА: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ЗАДАЧА 2.А. Решение задачи линейного программирования графическим методом
Внимание!
Это ОЗНАКОМИТЕЛЬНАЯ ВЕРСИЯ работы №2073, цена оригинала 200 рублей. Оформлена в программе Microsoft Word.
Оплата . Контакты.
Вариант 7. Найти максимальное и минимальное значения линейной функции Ф = 2x 1 — 2·x 2 при ограничениях: x 1 + х 2 ≥ 4;
— х 1 + 2·х 2 ≤ 2;
x 1 + 2·х 2 ≤ 10;
х i ≥ 0, i = 1,2.
Решение:
Заменив условно знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений x1 + х2 = 4;
— х1 + 2·х2 = 2;
x1 + 2·х2 = 10.
Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть – область допустимых решений ОДР – четырехугольник MNPQ.
Минимальное значение функ-
ции — в точке М(2; 2)
Ф min = 2·2 — 2·2 = 0.
Максимальное значение достигается в точке N (10; 0),
Ф max = 2·10 — 2·0 = 20.
Вариант 8. Найти максимальное и минимальное значения
линейной функции Ф = x 1 + x 2
при ограничениях: x 1 — 4·х 2 — 4 ≤ 0;
3·х 1 — х 2 ≥ 0;
x 1 + х 2 — 4 ≥ 0;
х i ≥ 0, i = 1,2.
Решение:
Заменив условно знаки неравенств на знаки равенств, получим систему уравнений x1 — 4·х2 = 4 ;
3·х1 — х2 = 0;
Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть – область допустимых решений ОДР – неограниченный многоугольник MNPQ.
Минимальное значение функ-
ции – на прямой NP, например
в точке Р(4; 0)
Ф min = 4 + 0 = 4.
ОДР сверху не ограничена, следовательно, Ф max = + ∞.
Вариант 10. Найти максимальное и минимальное значения
линейной функции Ф = 2·x 1 — 3·x 2
при ограничениях: x 1 + 3·x 2 ≤ 18;
2·х 1 + х 2 ≤ 16;
х 2 ≤ 5;
х i ≥ 0, i = 1,2.
Заменив условно знаки неравенств знаками равенств, получим систему уравнений
x 1 + 3·x 2 = 18 (1);
2·х 1 + х 2 = 16 (2);
3·х 1 = 21 (4).
Построим по этим уравнениям прямые, затем в соответствии со знаками неравенств выделим полуплоскости и получим их общую часть — область допустимых решений ОДР – многоугольник MNPQRS.
Построим вектор Г(2; -3) и через начало координат проведем линию уровня – прямую.
Перемещаем линию уровня в направлении, значение Ф при этом растет. В точке S(7; 0) целевая функция достигает максимума Ф max =2·7–3·0= = 14. Перемещаем линию уровня в направлении, значение Ф при этом убывает. Минимальное значение функции — в точке N(0; 5)
Ф min = 2·0 – 3·5 = –15.
ЗАДАЧА 2.B. Решение задачи линейного программирования
аналитическим симплексным методом
Вариант 7. Минимизировать целевую функцию Ф = x 1 — x 2 + x 3 + x 4 + x 5 — x 6
при ограничениях: x 1 + x 4 +6·x 6 = 9,
3·x 1 + x 2 – 4·x 3 + 2·x 6 = 2,
x 1 + 2·x 3 + x 5 + 2·x 6 = 6.
Решение:
Количество неизвестных n=6, количество уравнений m=3. Следовательно, r = n-m = 3 неизвестных можно принять в качестве свободных. Выберем x 1 , x 3 и x 6 .
Базисные переменные x 2 ,x 4 и x 5 выразим через свободные и приведем систему к единичному базису
х 2 = 2 — 3·x 1 + 4·x 3 – 2·x 6
x 4 = 9 – x 1 – 6·x 6 (*)
x 5 = 6 – x 1 — 2·x 3 – 2·x 6
Целевая функция будет иметь вид:
Ф = x 1 — 2 + 3·x 1 — 4·x 3 + 2·x 6 + x 3 + 9 – x 1 – 6·x 6 +6 – x 1 — 2·x 3 – 2·x 6 – x 6 =
13 + 2·x 1 — 5·x 3 – 7·x 6
Положим x 1 = x 3 = x 6 = 0, при этом базисные переменные примут значения x 2 = 2; x 4 = 9; x 5 = 6, то есть, первое допустимое решение (0; 2; 0; 9; 6; 0), целевая функция Ф 1 = 13.
Переменные х 3 и х 6 входят в целевую функцию с отрицательными коэффициентами, следовательно, при увеличении их значений величина Ф будет уменьшаться. Возьмем, к примеру, х 6 . Из 1-го уравнения системы (*) видно, что увеличение значения x 6 возможно до x 6 = 1 (пока x 2 ³ 0). При этом x 1 и x 3 сохраняют значения, равные нулю. Теперь в качестве базисных переменных примем х 4 , х 5 , х 6 , в качестве свободных – х 1 , х 2 , х 3 . Выразим новые базисные переменные через новые свободные. Получим
х 6 = 1 – 3/2·x 1 – 1/2·x 2 + 2·x 3
x 4 = 3 + 8·x 1 + 3·x 2 – 12·x 3
x 5 = 4 + 2·x 1 + x 2 – 6·x 3
Ф = 6 + 25/2 ·x 1 + 7/2·x 2 – 19·x 3
Присвоим свободным переменным нулевые значения, то есть, x 1 =x 2 = x 3 =0, при этом х 6 = 1, x 4 = 3, x 5 = 4, то есть, третье допустимое решение (0; 0; 0; 3; 4; 1). При этом Ф 3 = 6.
Переменная x 3 входит в целевую функцию с отрицательным коэффициентом, следовательно увеличение x 3 относительно нулевого значения приведет к снижению Ф. Из 2-го уравнения видно, что x 3 может возрастать до 1/4, из 3-го уравнения – до 2/3. Второе уравнение более критично. Переменную x 3 переведем в число базисных, x 4 — в число свободных.
Теперь в качестве новых свободных переменных примем x 1 , x 2 и x 4 . Выразим через них новые базисные переменные x 3 , x 5 , x 6 . Получим систему
х 3 = 1/4 + 2/3·x 1 + 1/4·x 2 – 1/12·x 4
x 5 = 5/2 — 2·x 1 – 1/2·x 2 + 1/2·x 4
x 6 = 3/2 – 1/6·x 1 – 1/6·x 4
Целевая функция примет вид
Ф = 5/4 — 1/6·x 1 — 5/4·x 2 + 19/12·x 4
Переменные х 1 и х 2 входят в целевую функцию с отрицательными коэффициентами, следовательно, при увеличении их значений величина Ф будет уменьшаться. Возьмем, например, х 2 . Из 2-го уравнения системы видно, что увеличение значения x 2 возможно до x 2 = 5 (пока x 5 ³ 0). При этом x 1 и x 4 сохраняют нулевые значения, значения других переменных равны x 3 = 3/2; x 5 = 0, x 6 = 3/2, то есть, четвертое допустимое решение (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2). При этом Ф 4 = 5/4.
Теперь в качестве новых свободных переменных примем x 1 , x 4 и x 5 . Выразим через них новые базисные переменные x 2 , x 3 , x 6 . Получим систему
х 2 = 5 — 4·x 1 + x 4 – 2·x 5
x 3 = 3/2 – 1/3·x 1 + 1/6·x 4 — 1/2·x 5
x 6 = 3/2 – 1/6·x 1 – 1/6·x 4
Целевая функция примет вид
Ф = — 5 + 29/6·x 1 + 1/3·x 4 + 5/2·x 5
Коэффициенты при обеих переменных в выражении для Ф положительные, следовательно, дальнейшее уменьшение величины Ф невозможно.
То есть, минимальное значение Ф min = — 5, последнее допустимое решение (0; 5; 3/2; 0; 0; 3/2) является оптимальным.
Вариант 8. Максимизировать целевую функцию Ф = 4·x 5 + 2·x 6
при ограничениях: x 1 + x 5 + x 6 = 12;
x 2 + 5·x 5 — x 6 = 30;
x 3 + x 5 — 2·x 6 = 6;
2·x 4 + 3·x 5 — 2·x 6 = 18;
Решение:
Количество уравнений равно 4, количество неизвестных – 6. Следовательно r = n – m = 6 – 4 = 2 переменных можем выбрать в качестве свободных, 4 переменных – в качестве базисных. В качестве свободных выберем x 5 и x 6 , в качестве базисных — x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . Выразим базисные переменные через свободные и приведем систему уравнений к единичному базису
x 1 = 12 — x 5 — x 6 ;
x 2 = 30 — 5·x 5 + x 6 ;
x 3 = 6 — x 5 + 2·x 6 ;
x 4 = 9 — 3/2·x 5 + x 6 ;
Целевую функцию запишем в виде Ф = 4·x 5 + 2·x 6 . Присвоим свободным переменным нулевые значения x 5 = x 6 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 1 = 12, x 2 = 30, x 3 = 6, x 4 = 9, то есть, получим первое допустимое решение (12, 30, 6, 9, 0,) и Ф 1 = 0.
В целевую функцию обе свободные переменные входят с положительными коэффициентами, то есть, возможно дальнейшее увеличение Ф. Переведем, например, x 6 в число базисных. Из уравнения (1) видно, что x 1 = 0 при x 5 = 12, в (2) ÷ (4) x 6 входит с положительными коэффициентами. Перейдем к новому базису: базисные переменные – x 6 , x 2 , x 3 , x 4 , свободные — x 1 , x 5. Выразим новые базисные переменные через новые свободные
х 6 = 12 — x 1 — x 5 ;
x 2 = 42 — x 1 — 6·x 5 ;
x 3 = 30 — 2·x 1 — 3·x 5 ;
x 4 = 21 — x 1 — 5/2·x 5 ;
Целевая функция примет вид Ф = 24 — 2·x 1 + 2·x 5 ;
Присвоим свободным переменным нулевые значения x 1 = x 5 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 6 =12, x 2 =42, x 3 = 30, x 4 = 21, то есть, получим второе допустимое решение (0, 42, 30, 21, 0, 12) и Ф 2 = 24.
В целевую функцию x 5 входит с положительным коэффициентом, то есть, возможно дальнейшее увеличение Ф. Перейдем к новому базису: базисные переменные – x 6 , x 5 , x 3 , x 4 , свободные — x 1 , x 2. Выразим новые базисные переменные через новые свободные
х 6 = 5 — 5/6·x 1 + 1/6·x 2 ;
x 5 = 7 — 1/6·x 1 — 1/6·x 2 ;
x 3 = 9 — 3/2·x 1 + 1/2·x 2 ;
x 4 = 7/2 — 7/12·x 1 + 5/12·x 5 ;
Целевая функция примет вид Ф = 38 – 7/2·x 1 – 1/3·x 2 ;
Присвоим свободным переменным нулевые значения x 1 = x 2 = 0. При этом базисные переменные примут значения x 6 = 5, x 5 = 7, x 3 = 9, x 4 = 7/2, то есть, получим третье допустимое решение Х 3 = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) и Ф 3 = 38.
В целевую функцию обе переменные входят с отрицательными коэффициентами, то есть, дальнейшее увеличение Ф невозможно.
Следовательно, последнее допустимое решение является оптимальным, то есть, Х опт = (0, 0, 9, 7/2, 7, 5) и Ф max = 38.
Вариант 10. Максимизировать целевую функцию Ф = x 2 + x 3
при ограничениях: x 1 — x 2 + x 3 = 1,
x 2 — 2·х 3 + х 4 = 2.
Решение:
Система уравнений — ограничений совместна, так как ранги матрицы системы уравнений и расширенной матрицы одинаковы и равны 2. Следовательно, две переменные можно принять в качестве свободных, две другие переменные — базисные — выразить линейно через две свободные.
Примем за свободные переменные x 2 и х 3 .Тогда базисными будут переменные х 1 и х 2 , которые выразим через свободные
x 1 = 1 + x 2 — x 3 ; (*)
x 4 = 2 — x 2 + 2·x 3 ;
Целевая функция уже выражена через x 2 и x 3 , то есть, Ф = x 2 + x 3 .
При х 2 =0 и х 3 =0 базисные переменные будут равными х 1 = 1, х 4 = 2.
Имеем первое допустимое решение Х 1 = (1, 0, 0, 2), при этом Ф 1 = 0.
Увеличение Ф возможно при увеличении, например, значения х 3 , который входит в выражение для Ф с положительным коэффициентом (x 2 при этом остается равным нулю). В первое уравнение системы (*) видно, что х 3 можно увеличивать до 1 (из условия х 1 ³0), то есть это уравнение накладывает ограничение на увеличение значения х 3 . Первое уравнение системы (*) является разрешающим. На базе этого уравнения переходим к новому базису, поменяв х 1 и х 3 местами. Теперь базисными переменными будут х 3 и x 4 , свободными — x 1 и x 2 . Выразим теперь х 3 и x 4 через х 1 и х 2 .
Получим: x 3 = 1 — x 1 + x 2 ; (**)
x 4 = 4 — 2·x 1 + x 2 ;
Ф = х 2 + 1 — х 1 + х 2 = 1 — x 1 + 2·x 2
Приравняв нулю свободные переменные, получим второе допустимое базисное решение Х 2 = (0; 0; 1; 4), при котором Ф 2 =1.
Увеличение Ф возможно при увеличении х 2 . Увеличение же х 2 , судя по последней системе уравнений (**), не ограничено. Следовательно, Ф будет принимать все большие положительные значения, то есть, Ф мах = + ¥.
Итак, целевая функция Ф не ограничена сверху, потому оптимального решения не существует.
ЗАДАЧА 2.D. Составить задачу, двойственную к приведенной
исходной задаче.
Вариант 7. Максимизировать целевую функцию Ф = 2 × х 1 — х 4
при ограничениях: х 1 + х 2 = 20,
х 2 + 2 × х 4 ≥ 5,
х 1 + х 2 + х 3 ≤ 8,
х i ≥ 0 (i = 1, 2, 3, 4)
Решение:
Приведем систему ограничений к единому, например, каноническому виду, введя дополнительные переменные во 2-ое и 3-е уравнения
х 1 + х 2 = 20,
х 2 + 2× х 4 – х 5 = 5,
— х 1 + х 2 + х 3 + х 6 = 8.
Получили несимметричную задачу 2-го типа. Двойственная задача будет иметь вид:
Минимизировать целевую функцию F = 20× у 1 + 5× y 2 + 8× y 3
при y 1 — y 3 ≥ 2,
y 1 + y 2 + y 3 ≥ 0,
y 3 ≥ 0,
2× y 2 ≥ 1,
Y 2 ≥ 0,
y 3 ≥ 0.
Вариант 8. Максимизировать целевую функцию Ф = х 2 — х 4 — 3 × х 5
при ограничениях: х 1 + 2 × х 2 — х 4 + х 5 = 1,
— 4 × х 2 + х 3 + 2 × х 4 — х 5 = 2,
3 × х 2 + х 5 + х 6 = 5,
x i ≥ 0, (i = 1, 6)
Решение:
Имеем исходную задачу на максимизацию с системой ограничений в виде уравнений, то есть, пара двойственных задач имеет несимметричный вид 2-го типа, математическая модель которых в матричной форме имеет вид:
Исходная задача: Двойственная задача:
Ф = С× Х max F = B Т × Y min
при А× Х = В при A Т × Y ≥ С Т
В исходной задаче матрица-строка коэффициентов при переменных в целевой функции имеет вид С = (0; 1; 0; -1; -3; 0),
матрица-столбец свободных членов и матрица коэффициентов при переменных в системе ограничений имеют вид
В = 2 , А = 0 — 4 1 2 -1 0
Найдем транспонированную матрицу коэффициентов, матрицу-строку коэффициентов при переменных в целевой функции и матрицу-столбец свободных членов
0 1 0 0 В Т = (1; 2; 5)
A T = -1 2 0 С Т = -1
Двойственная задача запишется в следующем виде:
найти минимальное значение целевой функции F = y 1 + 2× y 2 + 5× y 3
при ограничениях y 1 ≥ 0,
2× y 1 — 4× y 2 + 3× y 3 ≥ 1,
— y 1 + 2× y 2 ≥ -1,
y 1 — y 2 + y 3 ≥ -3,
Вариант 10. Минимизировать функцию Ф = х 1 + х 2 + х 3
при ограничениях: 3 × х 1 + 9 × х 2 + 7 × х 3 ≥ 2,
6 × х 1 + 4·х 2 + 5 × х 3 ≥ 3,
8 × х 1 + 2·х 2 + 4 × х 3 ≥ 4,
Решение:
Имеем исходную задачу на минимизацию с системой ограничений в виде неравенств, то есть, пара двойственных задач имеет симметричный вид 3-го типа, математическая модель которых в матричной форме имеет вид:
Исходная задача Двойственная задача
Ф = С× Х min F = B Т × Y max
при А × Х ≥ В при A Т × Y ≤ С Т
Х ≥ 0 Y ≥ 0
В исходной задаче матрица-строка коэффициентов при переменных в целевой функции, матрица-столбец свободных членов и матрица коэффициентов при переменных в системе ограничений имеют вид
С = (1; 1; 1), В = 3 , А = 6 4 5
Найдем матрицы двойственной задачи
В T = (2; 3; 4) С T = 3 A T = 9 4 2
Двойственная задача формулируется в виде:
Максимизировать целевую функцию F = 2y 1 + 3y 2 + 4y 3
при ограничениях 3× y 1 + 6× y 2 + 8× y 3 ≤ 1,
9× y 1 + 4× y 2 + 2× y 3 ≤ 1,
7× y 1 + 5× y 2 + 4× y 3 ≤ 1,
y i ≥ 0 (i = 1, 2, 3)
ЗАДАЧА 2.С. Решение задачи линейного программирования с помощью симплексных таблиц.
Вариант 7. Максимизировать целевую функцию Ф = 2·x 1 — x 2 + 3·x 3 + 2·x 4
при ограничениях: 2·x 1 + 3·x 2 — x 3 + 2·x 4 ≤ 4,
x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 ≥ 1,
4·x 1 + 10·x 2 +3·x 3 + x 4 ≤ 8.
Решение:
Приведем систему ограничений к каноническому виду
2·x 1 + 3·x 2 — x 3 + 2·x 4 + z 1 = 4, (1)
x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 — z 2 = 1, (2)
4·x 1 + 10·x 2 +3·x 3 + x 4 + z 3 = 8. (3)
Имеем систему 3-х уравнений с 7-ю неизвестными. Выберем в качестве базисных 3 переменных x 1 , z 1 , z 3 , в качестве свободных — x 2 , x 3 , x 4 , z 2 , выразим через них базисные переменные.
Из (2) имеем x 1 = 1 + 2·x 2 — 5·x 3 + 3·x 4 + x 6
Подставим в (1) и (3), получим
x 1 — 2·x 2 + 5·x 3 — 3·x 4 — z 2 = 1,
z 1 + 7·x 2 — 11·x 3 + 8·x 4 + 2·z 2 = 2,
z 3 + 18·x 2 — 17·x 3 + 13·x 4 + 4·z 2 = 4,
Ф — 3·x 2 + 7·x 3 — 8·x 4 — 2· z 2 = 2.
Составим симплекс-таблицу
I итерация Таблица 1
| Базисн. перем. | Свобод. перем. | |||||||||
| x 1 | 1 | 1 | — 2 | 5 | — 3 | 0 | — 1 | 0 | 3/8 | |
| z 1 | 2 | 0 | 7 | -11 | 1 | 2 | 0 | 1/ 4 | 1/8 | |
| z 3 | 4 | 0 | 18 | -17 | 13 | 0 | 4 | 1 | 4/13 | 13/8 |
| Ф | 2 | 0 | — 3 | 7 | — 8 | 0 | — 2 | 0 | 1 |
Х 1 = (1; 0; 0; 0; 2; 0; 4) Ф 1 = 2.
II итерация Таблица 2
| x 1 | 14/8 | 1 | 5/8 | 7/8 | 0 | 3/8 | -2/8 | 0 | 2 | — 1 |
| x 4 | 1/ 4 | 0 | 7/8 | -11/8 | 1 | 1/8 | 2/8 | 0 | 11/7 | |
| z 3 | 6/8 | 0 | 53/8 | 0 | -13/8 | 6/8 | 1 | 6/7 | 8/7 | |
| Ф | 4 | 0 | 4 | — 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 32/7 |
Х 2 = (14/8; 0; 0; 1/4; 0; 0; 4) Ф 2 = 4.
III итерация Таблица 3
| x 1 | 1 | 1 | — 6 | 0 | 0 | -1 | — 1 | 1/2 | ||
| x 4 | 10/ 7 | 0 | 79/7 | 0 | 1 | -17/7 | 10/7 | 11/7 | 11/7 | |
| x 3 | 6/7 | 0 | 53/7 | 1 | 0 | -13/7 | 6/7 | 8/7 | 13/14 | |
| Ф | 52/7 | 0 | 240/7 | 0 | 0 | -45/7 | 24/7 | 32/7 | 45/14 |
Х 3 = (1; 0; 6/7; 10/7; 0; 0; 0) Ф 3 = 52/7.
IV итерация Таблица 4
| z 1 | 1/ 2 | 1/2 | — 3 | 0 | 0 | 1 | -1/2 | -1/2 | ||
| x 4 | 37/ 14 | 17/14 | 56/14 | 0 | 1 | 0 | 3/14 | 5/14 | ||
| x 3 | 25/14 | 13/14 | 28/14 | 1 | 0 | 0 | -1/14 | 3/14 | ||
| Ф | 149/14 | 45/14 | 15 | 0 | 0 | 0 | 3/14 | 19/14 |
Х 4 = (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0) Ф 4 = 149/14.
В индексной строке последней таблицы нет отрицательных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Г i < 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.
Ответ: Ф m ax = 149/14,
оптимальное решение (0; 0; 25/14; 37/14; 1/2; 0; 0)
Вариант 8. Минимизировать целевую функцию Ф = 5·x 1 — x 3
при ограничениях: x 1 + x 2 + 2·x 3 — x 4 = 3,
x 2 + 2· x 4 =1,
Решение:
Количество переменных равно 4, ранг матрицы — 2, следовательно количество свободных переменных равно r = 4 — 2 = 2, количество базисных тоже 2. В качестве свободных переменных примем х 3 , х 4 , базисные переменные x 1 , x 2 выразим через свободные и приведем систему к единичному базису:
x 2 = 1 — 2· x 4 ,
x 1 = 3 — x 2 — 2·x 3 + x 4 = 3 – 1 + 2· x 4 — 2·x 3 + x 4 = 2 — 2·x 3 + 3· x 4
Ф = 5·x 1 — x 3 = 5·(2 — 2·x 3 + 3· x 4) — x 3 = 10 — 10·x 3 + 15· x 4 — x 3 = 10 — 11·x 3 + 15· x 4
Запишем систему уравнений и целевую функцию в удобном для симплекс-таблицы виде, то есть, x 2 + 2· x 4 = 1,
x 1 +2·x 3 — 3· x 4 = 2
Ф + 11·x 3 — 15· x 4 = 10
Составим таблицу
I итерация Таблица 1
| Базисн. перем. | Свобод. перем. | ||||||
| X 1 | 2 | 1 | 0 | — 3 | 1/2 | ||
| X 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 2 | ||
| Ф | 10 | 0 | 0 | 11 | — 15 | — 11/2 |
Х 1 = (2; 1; 0; 0) Ф 1 = 10.
II итерация Таблица 2
| X 3 | 1 | 1/2 | 0 | 1 | -3/2 | 3/4 | |
| X 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1/2 | ||
| Ф | — 1 | — 11/2 | 0 | 0 | 3/2 | — 3/4 |
Х 2 = (0; 1; 1; 0) Ф 2 = -1.
III итерация Таблица 3
| X 3 | 7/4 | 1/2 | 3/4 | 1 | 0 | ||
| X 4 | 1/2 | 0 | 1/2 | 0 | 1 | ||
| Ф | — 7/4 | — 11/2 | — 3/4 | 0 | 0 |
Х 3 = (0; 0; 7/4; 1/2) Ф 3 = -7/4.
В индексной строке последней таблицы нет положительных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Г i > 0. Имеем случай I, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.
Ответ: Ф min = -7/4, оптимальное решение (0; 0; 7/4; 1/2)
********************
Вариант 10. Минимизировать целевую функцию Ф = x 1 + x 2 ,
при ограничениях: x 1 –2·x 3 + x 4 = 2,
x 2 – x 3 + 2·x 4 = 1,
Решение:
Количество переменных равно 5, ранг матрицы — 3, следовательно количество свободных переменных равно r = 6-3 = 2. В качестве свободных переменных примем х 3 и х 4 , в качестве базисных — x 1 , x 2 , x 5 . Все уравнения системы уже приведены к единичному базису (базисные переменные выражены через свободные), но записаны в виде, не удобном к применению симплекс-таблиц. Запишем систему уравнений в виде
x 1 — 2·x 3 + x 4 = 2
x 2 — x 3 +2·x 4 = 1
x 5 + x 3 — x 4 . = 5
Целевую функцию выразим через свободные переменные и запишем в виде Ф — 3·x 3 +3·x 4 = 3
Составим таблицу
I итерация Таблица 1
| Базисн. перем. | Свобод. перем. | |||||||
| х 1 | 2 | 1 | 0 | -2 | 1 | 0 | 2 | -1/2 |
| х 2 | 1 | 0 | 1 | -1 | 0 | 1/2 | 1/2 | |
| х 5 | 5 | 0 | 0 | 1 | -1 | 1 | 1/2 | |
| Ф | 3 | 0 | 0 | -3 | 3 | 0 | -3/2 |
Х 1 = (2; 3; 0; 0; 5) Ф 1 = 3.
Таблица 2
| х 1 | 3/2 | 1 | -1/2 | -3/2 | 0 | 0 | ||
| х 4 | 1/2 | 0 | 1/2 | -1/2 | 1 | 0 | ||
| х 5 | 11/2 | 0 | 1/2 | 1/2 | 0 | 1 | ||
| Ф | 3/2 | 0 | -3/2 | -3/2 | 0 | 0 |
Х 2 = (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2) Ф 2 = 3/2.
В индексной строке последней таблицы нет положительных чисел, то есть, в выражении для целевой функции все Гi > 0. Имеем случай 1, следовательно, последнее базисное решение является оптимальным.
Ответ: Ф min = 3/2, оптимальное решение (3/2; 0; 0; 1/2; 11/2).