Решение . Найдем экстремум функции F(X) = 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 , используя функцию Лагранжа:
где
- целевая функция вектора .
- ограничения в неявном виде (i=1..n)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:
F(X) = 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
= 9 x 1 +x 1 2 +6 x 2 +x 2 2 + λ(x 1 +x 2 -150)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х i и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x 1 = 2 x 1 +λ+9 = 0
∂L/∂x 2 = λ+2 x 2 +6 = 0
∂F/∂λ = x 1 +x 2 -150= 0
Систему решаем с помощью метода Гаусса или используя формулы Крамера .
Запишем систему в виде:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Из 1-ой строки выражаем x 3
Из 2-ой строки выражаем x 2
Из 3-ой строки выражаем x 1
Таким образом, чтобы общие издержки производства были минимальны, необходимо производить x 1 = 74.25; x 2 = 75.75.
Задание . По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 50 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены 2-мя технологическими способами. При производстве x 1 - изделий 1-ым способом затраты равны 3x 1 +x 1 2 (т. руб.), а при изготовлении x 2 - изделий 2-ым способом они составят 5x 2 +x 2 2 (т. руб.). Определить сколько изделий каждым из способов необходимо изготовить, чтобы общие затраты на производство были минимальные.
Решение: составляем целевую функцию и ограничения:
F(X) = 3x 1 +x 1 2 + 5x 2 +x 2 2 → min
x 1 +x 2 = 50
ЛАГРАНЖА МЕТОД
Метод приведения квадратичной формы к сумме квадратов, указанный в 1759 Ж. Лагранжем (J. Lagrange). Пусть дана
от ппеременных х 0 , x
1 ,..., х п
.
с коэффициентами из поля k
характеристики Требуется привести эту форму к канонич. виду
при помощи невырожденного линейного преобразования переменных. Л. м. состоит в следующем. Можно считать, что не все коэффициенты формы (1) равны нулю.
Поэтому возможны два случая.
1) При некотором g,
диагональный Тогда
где форма f 1 (х).не содержит переменную x g .
2) Если же все 
но
то
где форма f 2 (х).не содержит двух переменных x g
и x h .
Формы, стоящие под знаками квадратов в (4), линейно независимы. Применением преобразований вида (3) и (4) форма (1) после конечного числа шагов приводится к сумме квадратов линейно независимых линейных форм. С помощью частных производных формулы (3) и (4) можно записать в виде
Лит.
: Г а н т м а х е р Ф. Р.,
Теория матриц, 2 изд., М., 1966; К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968. И. В. Проскуряков.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "ЛАГРАНЖА МЕТОД" в других словарях:
Лагранжа метод - Лагранжа метод — метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, λ*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по… … Экономико-математический словарь
Лагранжа метод - Метод решения ряда классов задач математического программирования с помощью нахождения седловой точки (x*, ?*) функции Лагранжа., что достигается приравниванием нулю частных производных этой функции по xi и?i . См. Лагранжиан. (x , y ) = C и f 2 (х, у) = С 2 на плоскости ХО Y .
Из этого следует метод нахождения корней системы. нелинейных уравнений:
Определить (хотя бы приближенно) интервал существования решения системы уравнений (10) или уравнения (11). Здесь необходимо учитывать вид уравнений, входящих в систему, область определения каждого их уравнений и т. п. Иногда применяется подбор начального приближения решения;
Протабулировать решение уравнения (11) по переменным x и y на выбранном интервале, либо построить графики функций f 1 (x , y ) = С, и f 2 (х,у) = С 2 (система(10)).
Локализовать предполагаемые корни системы уравнений - найти несколько минимальных значений из таблицы табулирование корней уравнения (11), либо определить точки пересечения кривых, входящих в систему (10).
4. Найти корни для системы уравнений (10) с помощью надстройки Поиск решения.