- вероятность отказа канала, вероятность свободного канала, абсолютная пропускная способность;
- относительная пропускная способность, среднее время обслуживания, среднее время простоя канала.
Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме выберите модель СМО. Укажите интенсивность потока заявок λ и интенсивность потока обслуживания μ . Для одноканальной СМО с ограниченной длиной очереди можно указать длину очереди m , а для одноканальной СМО с неограниченной очередью - число заявок в очереди (для расчета вероятности нахождения этих заявок в очереди). см. пример решения . .
Полученное решение сохраняется в файле Word .Классификация одноканальных систем массового обслуживания
Пример №1 . Авто заправочная станция имеет одну бензоколонку. Предполагается что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ=11 автомашин/ч. Время обслуживания заявки случайная величина которая подчиняется экспоненциальному закону с параметром μ=14 автомашин/ч. Определить среднее число автомашин на станции.
Пример №2
. Имеется пункт проведения профилактического осмотра машин с одной группой проведения осмотра. На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,4 часа. На осмотр поступает в среднем 328 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний - простейшие. Если машина, прибывшая в пункт осмотра не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра необслуженной. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания пункта профилактического осмотра.
Решение. Здесь α = 328/24 ≈ = 13.67, t = 0.4. Эти данные необходимо ввести в калькулятор.
Аннотация: В данной статье представлено теоретическое описание контейнерной площадки, как одноканальной системы массового обслуживания.
The summary: The theoretical description of a container terminal is presented in this article, as single-channel system of mass service.
Задача оптимизации комплекса технического оснащения контейнерного терминала состоит в оценке его эффективности в зависимости от поступающих на переработку контейнеров. Поэтому предметом исследования в данном случае являлось определение достаточности перерабатывающей мощности терминала.
На основании изложенного каждую контейнерную площадку на терминале можно представить в виде системы, в которую поступает поток контейнеров на переработку (погрузки в вагон или автомобиль, а также выгрузку из вагона или автомобиля). Указанная переработка контейнеров производится либо козловыми кранами, либо специальными автопогрузчиками (ричстакерами).
Исследование функционирования таких систем может быть осуществлено методами теории массового обслуживания. Исследовательская модель представляет собой, в общем случае, систему массового обслуживания, которая характеризуется двумя параметрами: параметром входящего потока заявок на обслуживание и параметром обслуживания. Тот и другой параметры являются случайными в зависимости от закона распределения и структуры самой системы исследования и параметров ее функционирования.
Теория массового обслуживания имеет дело со случайными величинами, которые в значительной мере присутствуют и в работе любой контейнерной площадки. Так, например, случайной является масса груза в контейнере, поднимаемом козловым краном или автопогрузчиком. Поскольку заранее рассчитать массу загруженного отправителем контейнера не представляется возможным. Данный показатель, безусловно, зависит от внутренних размеров поданного под загрузку крупнотоннажного контейнера, но и в этих пределах может значительно меняться, поскольку разные грузы отличаются объемом и способом транспортировки. Неопределенным заранее остается и тип контейнера, который понадобится грузоотправителю, будет это 20-фут. или 40-фут. контейнер остается неизвестным до момента подачи заявки на загрузку контейнера.
Помимо этого, случайным является время прибытия или завоза контейнеров на терминал. Просчитать даты окончания формирования и отправления со станции того или иного поезда, а соответственно и дату прибытия на терминал станции назначения очень сложно. Исключение составляют жесткие нитки графика контейнерных поездов, но далеко не весь график движения грузовых поездов состоит из подобных ниток.
Дата сдачи поезда на погрузку или разгрузку зависит от того насколько быстро на станции отправления будет сформирован поезд установленной длины из необходимого количества контейнеров, предъявленных отправителем к перевозке. Процесс прибытия груженых контейнеров от грузоотправителей на станцию имеет случайный характер в силу того, что зависит от целого ряда факторов. В том числе от даты заключения торговых контрактов, готовности груза к отправке, наличия товара на складе покупателя, от сезонности перевозок, а на морских терминалах еще и от погоды в портах отправления и назначения, оказывающей непосредственное влияние на подход судна и работу порта.
Аналогично работе железнодорожного транспорта и завоз груженых контейнеров автотранспортом на терминал не подлежит точному расчету из-за невозможности просчитать дату загрузки контейнера каждым конкретным отправителем. По мере готовности груза к отправке, отправитель заказывает необходимый контейнер у собственника последнего или нанимает экспедитора, который организует данную перевозку. Но сама дата отправки, в любом случае остается случайной.
В дополнении к вышесказанному, на каждой контейнерной площадке имеются все содержательные моменты моделей, описываемых теорией массового обслуживания, такие как: источник заявок на обслуживание, входящий поток требований, канал обслуживания, очередь в ожидании процесса обслуживания, простой канала обслуживания в ожидании поступления заявки на обслуживание.
Под источником заявок на обслуживание на площадке предлагается понимать совокупность контейнеров, загруженных, например, в вагон или поступающих по завозу автомобильным транспортом на контейнерную площадку, которые по определенной процедуре необходимо выгрузить на площадку, или загрузить в подвижной состав автомобильного или железнодорожного транспорта.
Под каналом обслуживания на контейнерной площадке следует понимать устройства, выполняющие определенную технологическую операцию. Прежде всего, это погрузочно-разгрузочные средства для выгрузки контейнеров или погрузки их в подвижной состав автомобильного или железнодорожного транспорта.
К каналам обслуживания также относится подвижной состав автомобильного или железнодорожного транспорта, с помощью которого осуществляется такой вид обслуживания как доставка контейнеров. Количество каналов может изменяться от одного до некоторого конечного значения.
Работа любой контейнерной площадки состоит в переработке поступающего на него потока контейнеров или заявок. В нашем случае понятия контейнер и заявка тождественны. Контейнеры поступают один за другим в некоторые, случайные, моменты времени. Обслуживание поступившего контейнера продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов для приема следующей заявки.
В том случае, если входящий поток является пуассоновским, а параметр обслуживания подчиняется экспоненциальному распределению, то система может быть исследована аналитическими методами. Данные методы теории массового обслуживания позволяют установить показатели эффективности системы массового обслуживания, описывающими с той или другой точки зрения ее способность справляться с потоком заявок (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число занятых обслуживанием каналов; средняя длина очереди и среднее время ожидания каждой заявкой начала обслуживания и др.).
В том случае, если параметр обслуживания подчиняется закону распределения отличному от экспоненциального, то система может быть исследована аналитическими методами, если она является одноканальной системой массового обслуживания. В соответствии с этим необходимо провести качественный и количественный анализ параметров потока заявок и параметра обслуживания. В остальных случаях система массового обслуживания может быть исследована численными методами (методы математического моделирования).
В значительной мере подход аналитического и численного моделирования случайных процессов в методическом плане основан на трудах отечественных ученых, таких как Н.П. Бусленко, Е.С. Вентцель , Б.В. Гнеденко , А.В. Горелик , и других, а также на трудах зарубежных авторов, таких как А. Кофман , Р. Крюон, Т. Саати.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала, числом каналов и эффективностью обслуживания.
В качестве характеристик эффективности обслуживания, в зависимости от условий задачи и целей исследования, могут применяться различные величины и функции. Например, среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом; среднее время ожидания в очереди; вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию; закон распределения длины очереди и т.д.
Каждая из этих характеристик описывает, с той или другой стороны, степень приспособленности системы к выполнению потока заявок, иными словами – ее пропускную способность.
Пропускная способность, в общем случае, зависит не только от параметров системы, но и от характера потока заявок. Например, на контейнерной площадке моменты поступления контейнеров случайны, как и длительность обслуживания заявки. В связи с этим процесс работы площадки протекает нерегулярно: в потоке контейнеров образуются места максимума и минимума. Первое может привести к образованию очередей. Второе к непроизводительным простоям технических средств или подвижного состава, а также площадки. На эти случайности, связанные с неоднородностью потока заявок, накладываются еще случайности, связанные с задержками обслуживания отдельных контейнеров.
Таким образом, процесс функционирования контейнерной площадки, как системы массового обслуживания, представляет собой случайный процесс. Данный процесс, протекающий в системе массового обслуживания, состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется занятость канала обслуживания, число заявок, стоящих в очереди и т.п.
Поэтому, чтобы дать рекомендации по рациональной организации системы, выяснить ее пропускную способность и предъявить к ней требования, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, и описать его математически. Для описания случайных процессов, происходящих в системе контейнерной площадки и непосредственно связанных с работой технического комплекса каждой площадки, в настоящей работе предложен математический аппарат теории массового обслуживания.
В теории массового обслуживания существуют так называемые, одноканальные и многоканальные системы. В работе контейнерной площадки, как было сказано выше, под каналом обслуживания можно понимать погрузочно-разгрузочные средства, предназначенные для переработки контейнеров.
При этом площадка, как правило, оснащена несколькими кранами и погрузчиками с различными техническими характеристиками. На практике все имеющиеся на площадке перегрузочные средства будут отличаться друг от друга по ряду признаков: грузоподъемности, режиму работы, сроку службы, способу передвижения захватного устройства, скорости подъема груза и т.д. Данное обстоятельство говорит о том, что на площадке вновь поступивший контейнер может быть переработан любым из имеющихся в наличии погрузочно-разгрузочных средств с определенными техническими характеристиками машины.
Таким образом, необходим качественный анализ обслуживания технического комплекса площадки, который определяется как параметром каждого технического средства, так и системы их.
Поэтому для анализа эффективности технического комплекса контейнерной площадки не всегда имеет смысл рассматривать последний, как многоканальную систему обслуживания. Достаточно дать комплексную оценку техническому оснащению площадки, учитывая особенности каждого погрузочно-разгрузочного средства.
В соответствии с этим в настоящей работе принято решение представить все погрузочно-разгрузочные машины, работающие на контейнерной площадке, независимо от их количества не как несколько параллельных каналов с разными параметрами обслуживания, а как один комплекс, характеризуемый суммарным параметром обслуживания. Это, по предварительной оценке должно существенно упростить методику и процедуру исследования параметров функционирования контейнерного терминального комплекса.
Именно такой подход аналитического исследования функционирования контейнерного терминального комплекса в виде одноканальной системы массового обслуживания выносится на защиту в данной диссертационной работе.
Наличие общего для всей системы параметра производительности определяется техническими особенностями каждой погрузочно-разгрузочной машины.
На основании вышеизложенного рассмотрим контейнерную площадку, как одноканальную систему массового обслуживания с входящим потоком заявок, который подчиняется закону Пуассона. Последнее означает, что поступающие в систему заявки образуют, так называемый, простейший поток, который обладает тремя основными свойствами: ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия.
Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более заявок (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени).
Стационарным называют поток, для которого математическое ожидание числа заявок, поступающих в систему в единицу времени, не меняется во времени. Это значит, что число заявок, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным.
Отсутствие последействия обусловливает взаимную независимость поступления того или иного числа заявок на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это означает, что число заявок, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа заявок, обслуженных в предыдущем промежутке времени.
На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место не стационарность процесса (в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца).
Кроме того, количество поступающих на площадку контейнеров увеличивается на число контейнеров, требующих переработки внутри самой площадки.
Например, обслуживающие площадку технические средства должны переработать не только входящий поток контейнеров, поступивших по завозу автотранспортом, но и погрузить или выгрузить контейнеры, предназначенные к отправке или прибывшие железнодорожным транспортом. В дополнении к вышесказанному имеет место внутренняя сортировка контейнеров, выполняемая на площадке погрузочно-разгрузочными машинами. Примером такой сортировки может служить перестановка имеющихся на площадке контейнеров, обусловленная определенной необходимостью. В общем виде схема контейнерной площадки как одноканальной системы массового обслуживания представлена на рис. 1.
Анализ работы контейнерной площадки с точки зрения рассмотрения последней как одноканальной системы массового обслуживания предложен автором работы впервые. При этом все погрузочно-разгрузочные машины, составляющие технический комплекс площадки, объединены в один канал обслуживания. Условно принято, что контейнер, поступивший в систему, может с равной вероятностью быть переработан любым из имеющихся в наличии кранов или автопогрузчиков. Данный подход позволит применить к описанию работы контейнерной площадки аналитические методы теории массового обслуживания. Последние предлагаются автором как математический аппарат для определения эффективности функционирования технического комплекса контейнерной площадки.
Список литературы:
1. Белый О.В., Попов С.А., Францев Р.Э. Транспортные сети России (системный анализ, управление, перспективы), СПб.: СПГУВК, 1999, 147с
2. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 432 с.
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:
1) A - абсолютную пропускную способность СМО , т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
2) Q - относительную пропускную способность , т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
3) P_{\text{otk}} - вероятность отказа , т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
4) \overline{k} - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).
Одноканальная система (СМО) с отказами
Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Примечание. Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании - поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности \mu , т.е. \overline{t}_{\text{ob.}}=1/\mu .
Система S (СМО) имеет два состояния: S_0 - канал свободен, S_1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.
В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений)
\begin{cases}\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end{cases}
т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p_0+p_1=1 , найдем из (18) предельные вероятности состояний
P_0=\frac{\mu}{\lambda+\mu},\quad p_1=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,
которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S_0 (когда канал свободен) и S_1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P_{\text{otk}}:
Q=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,
P_{\text{otk}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,.
Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов
A=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\,.
Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью \lambda , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
Решение. Имеем \lambda=90 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{2}=0,\!5 (1/мин) =30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО Q=\frac{30}{90+30}=0,\!25 , т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_{\text{otk}}=0,\!75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5 , т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.
Многоканальная система (СМО) с отказами
Рассмотрим классическую задачу Эрланга . Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n , где S_k - состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.
Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью \lambda . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S_2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S_1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2\mu . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S_3 (три канала заняты) в S_2 , будет иметь интенсивность 3\mu , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.
В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния
P_0={\left(1+ \frac{\lambda}{\mu}+ \frac{\lambda^2}{2!\mu^2}+\ldots+\frac{\lambda^k}{k!\mu^k}+\ldots+ \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}\right)\!}^{-1},
где члены разложения \frac{\lambda}{\mu},\,\frac{\lambda^2}{2!\mu^2},\,\ldots,\,\frac{\lambda^k}{k!\mu^k},\,\ldots,\, \frac{\lambda^n}{n!\mu^n} , будут представлять собой коэффициенты при p_0 в выражениях для предельных вероятностей p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n . Величина
\rho=\frac{\lambda}{\mu}
называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала . Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь
P_0={\left(1+\rho+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1},
P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac{\rho^2}{2!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.
Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.
Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е.
P_{\text{otk}}= \frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.
Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:
Q=1- P_{\text{otk}}=1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.
Абсолютная пропускная способность:
A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.
Среднее число занятых каналов \overline{k} есть математическое ожидание числа занятых каналов:
\overline{k}=\sum_{k=0}^{n}(k\cdot p_k),
где p_k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).
Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем \mu заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
\overline{k}=\frac{A}{\mu}
Или, учитывая (29), (24):
\overline{k}=\rho\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.
Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.
Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) \rho=\frac{90}{30}=3 , т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.
Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n=2,3,4,\ldots и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n=2 имеем
З_0={\left(1+3+ \frac{3^2}{2!}\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 и т.д.
Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.
По условию оптимальности Q\geqslant0,\!9 , следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q=0,\!9 - см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (A=80,\!1) , а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) \overline{k}=\frac{80,\!1}{30}=2,\!67 .
Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. По условию n=3,~\lambda=0,\!25 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}} =3 (ч). Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{3}=0,\!33 . Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) \rho=\frac{0,\!25}{0,\!33}=0,\!75 . Найдем предельные вероятности состояний:
– по формуле (25) p_0={\left(1+0,\!75+ \frac{0,\!75^2}{2!}+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 ;
– по формуле (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac{0,\!75^2}{2!}\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 ;
т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P_{\text{otk}}=p_3=0,\!033 .
По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q=1-0,\!033=0,\!967 , т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242 , т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.
По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ \overline{k}=\frac{0,\!242}{0,\!33}=0,\!725 , т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на \frac{72,\!5}{3}= 24,\!2%. .
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
3. Контрольная задача
1. Одноканальная СМО с отказами
Простейшей из всех задач теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами (потерями).
При этом система массового обслуживания состоит только из одного канала (n = 1) и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью, зависящей, в общем случае, от времени:
Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени, распределенного по показательному закону с параметром:
Из этого следует, что «поток обслуживания» -- простейший, с интенсивностьюЧтобы представить себе этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал, который будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивностью
Требуется найти:
1) абсолютную пропускную способность СМО (А);
2) относительную пропускную способность СМО (q).
Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний:-- свободен,-- занят.
ГСП системы показан на рис. 5.6, а.
Рис. 5.6 ГСП для одноканальной СМО с отказами (а); график решения уравнения (5.38) (б)
Из состояниявсистему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью; изв-- «поток обслуживания» с интенсивностью.
Вероятности состояний: и. Очевидно, для любого момента t:
Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний согласно правилу, данному выше:
Из двух уравнений (5.37) одно является лишним, так каки связаны соотношением (5.36). Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместовыражение:
Поскольку в начальный момент канал свободен, уравнение следует решать при начальных условиях:= 1,=0.
Линейное дифференциальное уравнение (5.38) с одной неизвестной функциейлегко может быть решено не только для простейшего потока заявок, но и для случая, когда интенсивность этого потока со временем меняется.
Для первого случая решение есть:
Зависимость величиныот времени имеет вид, изображенный на рис. 5.6, б. В начальный момент (при t = 0) канал заведомо свободен ((0) = 1). С увеличением t вероятностьуменьшается и в пределе (при) равна. Величина, дополняющаядо единицы, изменяется так, как показано на том же рисунке.
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятностьесть не что иное, как относительная пропускная способность q. Действительно,есть вероятность того, что в момент t канал свободен, или вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. Следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно
В пределе, при, когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:
Зная относительную пропускную способность q, легко найти абсолютную А. Они связаны очевидным соотношением:
В пределе, при, абсолютная пропускная способность тоже установится и будет равна
Зная относительную пропускную способность системы q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа:
или среднюю часть необслуженных заявок среди поданных. При
2. Многоканальная СМО с отказами
Рассмотрим n-канальную СМО с отказами. Будем нумеровать состояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, находящихся в системе или связанных с системой). Состояния системы:
Все каналы свободны;
Занят ровно один канал, остальные свободны;
Заняты ровно к каналов, остальные свободны;
Заняты все п каналов.
ГСП СМО представлен на рис. 5.7. Около стрелок поставлены интенсивности соответствующих потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит один и тот же поток -- поток заявок с интенсивностью. Если система находится в состоянии(занято к каналов) и пришла новая заявка, то система переходит в состояние
Рис. 5.7 ГСП для многоканальной СМО с отказами
Определим интенсивности потоков событий, переводящих систему по стрелкам справа налево. Пусть система находится в состоянии(занят один канал). Тогда, как только закончится обслуживание заявки, занимающей этот канал, система перейдет в; значит, поток событий, переводящий систему по стрелке, имеет интенсивность. Очевидно, если обслуживанием занято два канала, а не один, поток обслуживания, переводящий систему по стрелкебудет вдвое интенсивнее; если занято k каналов -- в к раз интенсивнее. Соответствующие интенсивности указаны у стрелок, ведущих справа налево.
Из рис. 5.7 видно, что процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса размножения и гибели, рассмотренного выше.
Пользуясь общими правилами, можно составить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:
Уравнения (5.39) называют уравнениями Эрланга. Поскольку при t = 0 система свободна, начальными условиями для их решения являются:
Интегрирование системы уравнений (5.39) в аналитическом виде довольно сложно; на практике такие системы дифференциальных уравнений обычно решаются численно и такое решение дает все вероятности состояний как функции времени.
Наибольший интерес представляют предельные вероятности состоянийхарактеризующие установившийся режим СМО (при). Для нахождения предельных вероятностей воспользуемся ранее полученными соотношениями (5.32)--(5.34), полученными для модели размножения и гибели. Согласно этим соотношениям,
В этих формулах интенсивность потока заявоки интенсивность потока обслуживании (для одного канала)не фигурируют по отдельности, а входят только своим отношением. Это отношение обозначается:
и называется приведенной интенсивностью потока заявок. Величинапредставляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслуживания одной заявки.
С учетом этого обозначения, соотношения (5.40) принимают вид:
Соотношения (5.41) называются формулами Эрланга. Они выражают предельные вероятности всех состояний системы в зависимости от параметрови n.
Имея вероятности состоянийможно найти характеристики эффективности СМО: относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А и вероятность отказа.
Вероятность отказа. Заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все и каналов заняты. Вероятность этого равна
Относительная пропускная способность. Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (относительная пропускная способность а), дополняетдо единицы:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число заявок в системе. Одной из важных характеристик СМО с отказами является среднее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе). Обозначим это среднее число. Величинуможно вычислить через вероятности по формуле
как математическое ожидание дискретной случайной величины, однако проще выразить среднее число занятых каналов через абсолютную пропускную способность А, которая уже известна. Действительно, А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; один занятый канал обслуживает в среднем за единицу временизаявок; среднее число занятых каналов получится делением А на:
или, переходя к обозначению,
пропускной вероятность максимизация доход
Контрольная задача 3. Игра с природой.
Швейная фабрика выпускает детские платья и костюмы, сбыт которых зависит от состояния погоды.
Задача заключается в максимизации средней величины дохода от реализации выпущенной продукции, учитывая капризы погоды.
1) AC:1910*(13-6)+590*(44-23)=13370+12390=25760
2) AD:590*(13-6)+880*(44-23)-(1910-590)*6=(22610-1320)*6=127740
3) BC:590*(13-6)+880*(44-23)-(880-590)*23=(22610-290)*23=513360
4) BD:590*(13-6)+880*(44-23)=4130+18480=22610
Доход при теплой и при холодной погоде
25760*x+127740*(1-x)=513360*x+22610*(1-x)
25760*x+127740-127740*x=513360*x+22610-22610*x
25760*x-127740-513360*x+22610*x=22610-127740=0
592730*x=-105130/*(-1)
Рассчитаем ассортимент фабрики:
(1910+590)*0,177+(880+590)*0,823=(1910*0,177+590*0,823)+(880*0,177+590*0,823)=(338,07+485,57)+(155,76+485,57)=824платьев+641костюмов
Рассчитаем доход:
1) При теплой погоде
25760*0,177+127740*0,823=4559,52+105130,02=109689,54
2) При холодной погоде
513360*0,177+22610*0,823=90864,72+18608,03=109472,75
Ответ: 824 платьев и 641 костюмов, доход равен 109689,54 д.ед.
Список используемой литературы
1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. Учебное пособие. М., Финансы и статистика, 2005.
2. Глухов В.В. Математические методы и модели для менеджмента: учебное пособие. СПБ; М.; Краснодар: Лань, 2005.
3. Грицюк С.Н. Математические методы и модели в экономике: учебник. Ростов н/Д: Феникс, 2007.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. М., Изд-во «Дело и сервис», 2004.
5. Исследование операций в экономике. Учебное пособие для вузов/Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М., ЮНИТИ, 2005.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Моделирование процесса массового обслуживания. Разнотипные каналы массового обслуживания. Решение одноканальной модели массового обслуживания с отказами. Плотность распределения длительностей обслуживания. Определение абсолютной пропускной способности.
контрольная работа , добавлен 15.03.2016
Понятие случайного процесса. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (СМО). Вероятностная математическая модель. Влияние случайных факторов на поведение объекта. Одноканальная и многоканальная СМО с ожиданием.
курсовая работа , добавлен 25.09.2014
Общие понятия теории массового обслуживания. Особенности моделирования систем массового обслуживания. Графы состояний СМО, уравнения, их описывающие. Общая характеристика разновидностей моделей. Анализ системы массового обслуживания супермаркета.
курсовая работа , добавлен 17.11.2009
Понятие и критерии оценивания системы массового обслуживания, определение ее типа, всех возможных состояний. Построение размеченного графа состояний. Параметры, характеризующие ее работу, интерпретация полученных характеристик, эффективность работы.
контрольная работа , добавлен 01.11.2010
Построение модели многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием, а также использованием блоков библиотеки SimEvents. Вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационарном режиме.
лабораторная работа , добавлен 20.05.2013
Функциональные характеристики системы массового обслуживания в сфере автомобильного транспорта, ее структура и основные элементы. Количественные показатели качества функционирования системы массового обслуживания, порядок и главные этапы их определения.
лабораторная работа , добавлен 11.03.2011
Изучение теоретических аспектов эффективного построения и функционирования системы массового обслуживания, ее основные элементы, классификация, характеристика и эффективность функционирования. Моделирование системы массового обслуживания на языке GPSS.
курсовая работа , добавлен 24.09.2010
Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Исследованы возможности применения имитационного моделирования для исследования систем массового обслуживания. Результаты моделирования базового варианта системы массового обслуживания.
лабораторная работа , добавлен 21.07.2012
Элементы теории массового обслуживания. Математическое моделирование систем массового обслуживания, их классификация. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Практическое применение теории, решение задачи математическими методами.
курсовая работа , добавлен 04.05.2011
Система массового обслуживания типа M/M/1, ее компоненты. Коэффициент использования обслуживающего устройства. Обозначение M/D/1 для системы массового обслуживания. Параметры и результаты моделирования систем. Среднее время ожидания заявки в очереди.
По наличию очередей СМО делятся на два типа: СМО с отказами и СМО с очередью.
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.
В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.
СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться длины очереди, времени ожидания, «дисциплины обслуживания». Например, рассматриваются следующие СМО:
СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время ожидания обслуживания ограниченно);
СМО с обслуживанием по приоритетам , т.е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т.д.
Кроме этого, СМО делятся на открытые и замкнутые.
Воткрытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, сколько каналов СМО занято. Взамкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.
3.2 Одноканальная смо с отказами
Дано
: система
имеет один канал обслуживания, на который
поступает поток заявок с интенсивностью
λ (величина, обратная среднему промежутку
времени между поступающими заявками).
Поток обслуживаний имеет интенсивность
μ (величина, обратная среднему времени
обслуживания
).
Заявка, заставшая систему занятой, сразу
же покидает её.
Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времениt , получит отказ.
Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени)
Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой)
Вероятность отказа (т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной)
Очевидны следующие соотношения: и.
Пример
.
Технологическая система состоит из
одного станка. На станок поступают
заявки на изготовление деталей в среднем
через 0,5 часа (
).
Среднее время изготовления одной детали
равно
.
Если при поступлении заявки на изготовление
детали станок занят, то деталь направляется
на другой станок. Найти абсолютную и
относительную пропускную способности
системы и вероятность отказа по
изготовлению детали.
Решение.
Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке.
.
Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другие станки.
4. Теория принятия решений
Человеческая деятельность зачастую бывает связана с выбором таких решений, которые позволили бы получить некоторые оптимальные результаты – достичь максимальной прибыли предприятия, добиться наивысшей эффективности какого-либо технического устройства и т.д. Но в каждой конкретной ситуации надо считаться с реальными условиями задачи. Предприятие не сможет получить максимальную прибыль без учёта реальных запасов сырья, его стоимости, доступных финансовых ресурсов и целого ряда других факторов. При попытке достичь наивысшей эффективности технического устройства, среди прочего, следует учитывать ограничения, обусловленные его воздействием на обслуживающий персонал и окружающую среду.
Задача о максимальной прибыли предприятия – типичная для теории принятия решений. Она формулируется следующим образом: какую продукцию и в каком количестве необходимо выпустить предприятию с учётом имеющихся у него ресурсов, чтобы достичь максимальной прибыли? Прибыль, которую приносит каждый вид продукции, и затраты ресурсов на выпуск единицы продукции каждого вида считаются заданными.
Другой типичный пример – так называемая транспортная задача. Требуется перевезти груз от некоторого числа поставщиков к нескольким потребителям, имея в виду, что каждый поставщик может отправлять грузы нескольким потребителям, а каждый потребитель может получать груз от нескольких поставщиков. Стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю известна. Требуется так организовать перевозку груза, чтобы весь груз от поставщиков был доставлен потребителям, а суммарная стоимость всей операции по перевозке грузов была минимальной.
Чтобы решить любую из этих задач, необходимо её формализовать, то есть, составить математическую модель. Поэтому сформулированные в задачах требования должны быть выражены количественными критериями и записаны в виде математических выражений. Задача при этом формулируется в виде задачи математического программирования: «Найти экстремум функции при условии выполнения таких-то ограничений».
Теория принятия оптимальных решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора. Ввиду того, что размерность практических задач, как правило, достаточно велика, а расчёты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени, то методы принятия оптимальных решений, главным образом, ориентированы на реализацию их с помощью компьютера.
Теория принятия решений применяется преимущественно для анализа тех деловых проблем, которые можно легко и однозначно формализовать, а результаты исследования – адекватно интерпретировать. Так, например, методы теории принятия решений используют в самых различных областях управления - при проектировании сложных технических и организационных систем, планировании развития городов, выборе программ развития экономики и энергетики регионов, организации новых экономических зон и т.п.
Необходимость использования подходов и методов теории принятия решений в управлении очевидна: быстрое развитие и усложнение экономических связей, выявление зависимостей между отдельными сложными процессами и явлениями, которые раньше казались не связанными друг с другом, приводят к резкому возрастанию трудностей принятия обоснованных решений. Затраты на их осуществление непрерывно увеличиваются, последствия ошибок становятся всё серьезнеё, а обращение к профессиональному опыту и интуиции не всегда приводит к выбору наилучшей стратегии. Использование методов теории принятия решений позволяет решить эту проблему, причём быстро и с достаточной степенью точности.
В задаче теории принятия решений человек (или группа лиц) сталкивается с необходимостью выбора одного или нескольких альтернативных вариантов решений. Необходимость такого выбора вызвана какой-либо проблемной ситуацией, в которой имеются два состояния – желаемое и действительное, а способов достижения желаемой цели-состояния – не менее двух. Таким образом, у человека в такой ситуации есть некоторая свобода выбора между несколькими альтернативными вариантами. Каждый вариант выбора приводит к результату, который называется исходом. У человека есть свои представления о достоинствах и недостатках отдельных исходов, своё собственное отношение к ним, а следовательно, и к вариантам решения. Таким образом, у человека, принимающего решение (лицо, принимающее решение ), есть система предпочтений.
Под принятием решений понимается выбор наиболее предпочтительного решения из множества допустимых альтернатив.
Несмотря на то, что методы принятия решений отличаются универсальностью, их успешное применение в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен знать специфику изучаемой системы и уметь корректно поставить задачу.
С точки зрения инженера, процесс принятия решения включает в себя четыре основных компонента:
анализ исходной ситуации;
анализ возможностей выбора;
выбор решения;
оценка последствий решения и его корректировка.
Теория принятия решений, в отличие от классических экономических методов и критериев, используется в условиях недостатка информации. В зависимости от полноты и достоверности информации различают следующие классы задач :
Принятие решений в условиях достаточной и достоверной информации. Модели относятся к расчётам по выбору вариантов изделия или техпроцесса.
Принятие решений в условиях риска, когда ожидаемые доходы или убытки могут быть определены с известной заранее функцией распределения.
Принятие решений в условиях неопределённости, когда функции распределения ожидаемых доходов или убытков неизвестны.
Второй и третий классы задач связаны с вероятностным значением доходов или убытков, а это самый частый случай в практике.
Как выбрать детские нарядные платья.