По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:
Определите:
1) размах вариации;
2) средний размер вклада;
3) среднее линейное отклонение;
4) дисперсию;
5) среднее квадратическое отклонение;
6) коэффициент вариации вкладов.
Решение:
Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.
Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.
1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:
Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.
2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.
Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.
Среднее значение первого интервала будет равно:
второго - 500 и т. д.
Занесём результаты вычислений в таблицу:
| Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | xf |
|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | 9600 |
| 400-600 | 56 | 500 | 28000 |
| 600-800 | 120 | 700 | 84000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 93600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 96800 |
| Итого | 400 | - | 312000 |
Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:
3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:
Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:
1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).
2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:
3. Полученные отклонения умножаются на частоты:
4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:
5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:
Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:
| Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 480 | 15360 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 280 | 15680 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 80 | 9600 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 120 | 12480 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 320 | 28160 |
| Итого | 400 | - | - | - | 81280 |
Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.
4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.
Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:
Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:
1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).
2. Находят отклонения вариант от средней:
3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:
4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):
5. Суммируют полученные произведения:
6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):
Расчёты оформим в таблицу:
| Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 200-400 | 32 | 300 | -480 | 230400 | 7372800 |
| 400-600 | 56 | 500 | -280 | 78400 | 4390400 |
| 600-800 | 120 | 700 | -80 | 6400 | 768000 |
| 800-1000 | 104 | 900 | 120 | 14400 | 1497600 |
| 1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 102400 | 9011200 |
| Итого | 400 | - | - | - | 23040000 |
Часто в статистике при анализе какого-либо явления или процесса необходимо учитывать не только информацию о средних уровнях исследуемых показателей, но и разброс или вариацию значений отдельных единиц , которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.
В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды времени и в разных местах.
Основными показателями, характеризующими вариацию , являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Размах вариации представляет собой разность максимального и минимального значений признака: R = Xmax – Xmin . Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.
Дисперсия лишена этого недостатка. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:
Упрощенный способ расчета дисперсии осуществляется с помощью следующих формул (простой и взвешенной):
Примеры применения данных формул представлены в задачах 1 и 2.
Широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение :
Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак.
Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении - относительно среднего уровня, что во многих случаях является предпочтительнее.
Формула для расчета коэффициента вариации.
Примеры решения задач по теме «Показатели вариации в статистике»
Задача 1 . При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:
Определить:
1) для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;
2) средний размер вклада за месяц для двух банков вместе;
3) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;
4) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;
5) Общую дисперсию используя правило сложения;
6) Коэффициент детерминации;
7) Корреляционное отношение.
Решение
1) Составим расчетную таблицу для банка с рекламой . Для определения среднего размера вклада за месяц найдем середины интервалов. При этом величина открытого интервала (первого) условно приравнивается к величине интервала, примыкающего к нему (второго).
Средний размер вклада найдем по формуле средней арифметической взвешенной:
29 000/50 = 580 руб.
Дисперсию вклада найдем по формуле:
23 400/50 = 468
Аналогичные действия произведем для банка без рекламы :
2) Найдем средний размер вклада для двух банков вместе. Хср =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 руб.
3) Дисперсию вклада, для двух банков, зависящую от рекламы найдем по формуле: σ 2 =pq (формула дисперсии альтернативного признака). Здесь р=0,5 – доля факторов, зависящих от рекламы; q=1-0,5, тогда σ 2 =0,5*0,5=0,25.
4) Поскольку доля остальных факторов равна 0,5, то дисперсия вклада для двух банков, зависящая от всех факторов кроме рекламы тоже 0,25.
5) Определим общую дисперсию, используя правило сложения.
= (468*50+636,16*50)/100=552,08
= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96
σ 2 = σ 2 факт + σ 2 ост = 552,08+345,96 = 898,04
6) Коэффициент детерминации η 2 = σ 2 факт / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - размер вклада на 39% зависит от рекламы.
7) Эмпирическое корреляционное отношение η = √η 2 = √0,39 = 0,62 – связь достаточно тесная.
Задача 2 . Имеется группировка предприятий по величине товарной продукции:
Определить: 1) дисперсию величины товарной продукции; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) коэффициент вариации.
Решение
1) По условию представлен интервальный ряд распределения. Его необходимо выразить дискретно, то есть найти середину интервала (х"). В группах закрытых интервалов середину найдем по простой средней арифметической. В группах с верхней границей - как разность между этой верхней границей и половиной размера следующего за ним интервала (200-(400-200):2=100).
В группах с нижней границей – суммой этой нижней границы и половины размера предыдущего интервала (800+(800-600):2=900).
Расчет средней величины товарной продукции делаем по формуле:
Хср = k×((Σ((х"-a):k)×f):Σf)+a. Здесь а=500 - размер варианта при наибольшей частоте, k=600-400=200 - размер интервала при наибольшей частоте. Результат поместим в таблицу:
Итак, средняя величина товарной продукции за изучаемый период в целом равна Хср = (-5:37)×200+500=472,97 тыс. руб.
2) Дисперсию найдем по следующей формуле:
σ 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05
3) среднее квадратическое отклонение: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 тыс. руб.
4) коэффициент вариации: V = (σ /Хср)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = 39,52%
Среди множества показателей, которые применяются в статистике, нужно выделить расчет дисперсии. Следует отметить, что выполнение вручную данного вычисления – довольно утомительное занятие. К счастью, в приложении Excel имеются функции, позволяющие автоматизировать процедуру расчета. Выясним алгоритм работы с этими инструментами.
Дисперсия – это показатель вариации, который представляет собой средний квадрат отклонений от математического ожидания. Таким образом, он выражает разброс чисел относительно среднего значения. Вычисление дисперсии может проводиться как по генеральной совокупности, так и по выборочной.
Способ 1: расчет по генеральной совокупности
Для расчета данного показателя в Excel по генеральной совокупности применяется функция ДИСП.Г . Синтаксис этого выражения имеет следующий вид:
ДИСП.Г(Число1;Число2;…)
Всего может быть применено от 1 до 255 аргументов. В качестве аргументов могут выступать, как числовые значения, так и ссылки на ячейки, в которых они содержатся.
Посмотрим, как вычислить это значение для диапазона с числовыми данными.
Способ 2: расчет по выборке
В отличие от вычисления значения по генеральной совокупности, в расчете по выборке в знаменателе указывается не общее количество чисел, а на одно меньше. Это делается в целях коррекции погрешности. Эксель учитывает данный нюанс в специальной функции, которая предназначена для данного вида вычисления – ДИСП.В. Её синтаксис представлен следующей формулой:
ДИСП.В(Число1;Число2;…)
Количество аргументов, как и в предыдущей функции, тоже может колебаться от 1 до 255.
Как видим, программа Эксель способна в значительной мере облегчить расчет дисперсии. Эта статистическая величина может быть рассчитана приложением, как по генеральной совокупности, так и по выборке. При этом все действия пользователя фактически сводятся только к указанию диапазона обрабатываемых чисел, а основную работу Excel делает сам. Безусловно, это сэкономит значительное количество времени пользователей.
На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение
Пример 1. Определение групповой, средней из групповой, межгрупповой и общей дисперсии
Пример 2. Нахождение дисперсии и коэффициента вариации в группировочной таблице
Пример 3. Нахождение дисперсии в дискретном ряду
Пример 4. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию
Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:
где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:
Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6
Составим интервальную группировку
Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:
X"i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)
Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:
Определим дисперсию по формуле:
Формулу можно преобразовать так:
Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.
Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:
где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 - квадрат момента первого порядка;
m2 - момент второго порядка
Дисперсия альтернативного признака (если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:
Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:
Виды дисперсии
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.
Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.
Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:
где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.
Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).
Виды дисперсий:
Общая дисперсия характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле
где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.
Средняя внутригрупповая дисперсия свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия:
где
n i -
число единиц в группе
Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки.
где - средняя величина по отдельной группе.
Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:
Свойства:
25 Относительные показатели вариации
|
Коэффициент осцилляции |
|
|
Относительное линейное отклонение |
|
|
Коэффициент вариации |
|
Коэф. Осц. о тражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. Отн. лин. откл . характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины. Коэф. Вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.
В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.
Закономерность рядов распределения. Моменты распределения. Показатели формы распределения
В вариационных рядах существует связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частоты сначала возрастает до определённой границы, а потом уменьшается. Такие изменения называются закономерностями распределения.
Форму распределения изучают с помощью показателей асимметрии и эксцесса. При исчислении указанных показателей используют моменты распределения.
Моментом k-го порядка называют среднюю из k-х степеней отклонений вариантов значений признака от некоторой постоянной величины. Порядок момента определяется величиной k. При анализе вариационных рядов ограничиваются расчетом моментов первых четырех порядков. При исчислении моментов в качестве весов могут быть использованы частоты или частости. В зависимости от выбора постоянной величины различают начальные, условные и центральные моменты.
Показатели формы распределения:
Асимметрия (As) показатель характеризующий степень асимметричности распределения.
Следовательно,
при (левосторонней) отрицательной
асимметрии 
.
При (правосторонней) положительной
асимметрии
.
Для расчета асимметрии можно использовать центральные моменты. Тогда:
,
где μ 3 – центральный момент третьего порядка.
- эксцесс (Е к ) характеризует крутизну графика функции в сравнении с с нормальным распределением при той же силе вариации:
,
где μ 4 – центральный момент 4-ого порядка.
Закон нормального распределения
Для нормального распределения (распределения Гаусса) функция распределения имеет следующий вид:
Матожидание- стандартное отклонение
Нормальное распределение симметрично и для него характерно следующее соотношение: Хср=Ме=Мо
Эксцесс нормального распределения равен 3, а коэффициент асимметрии 0.
Кривая нормального распределения представляет собой полигон(симметричная колокобразная прямая)
Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий. Сущность эмпирического коэффициента детерминации.
Если исходная совокупность разделена на группы по какому-то существенному признаку, то вычисляют следующие виды дисперсий:
Общая дисперсия исходной совокупности:
где - общая средняя величина исходной совокупности;f– частоты исходной совокупности. Общая дисперсия характеризует отклонение индивидуальных значений признака от общей средней величины исходной совокупности.
Внутригрупповые дисперсии:
где j- номер группы;- средняя величина в каждойj-ой группе;- частотыj-ой группы. Внутригрупповые дисперсии характеризуют отклонение индивидуального значения признака в каждой группе от групповой средней величины. Из всех внутригрупповых дисперсий вычисляют среднюю по формуле:, где- численность единиц в каждойj-ой группе.
Межгрупповая дисперсия:
Межгрупповая дисперсия характеризует отклонение групповых средних величин от общей средней величины исходной совокупности.
Правило сложения дисперсий заключается в том, что общая дисперсия исходной совокупности должна быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:
Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака, и рассчитывается по формуле:
Способ отсчета от условного нуля (способ моментов) для расчета средней величины и дисперсии
Расчет дисперсии способом моментов основан на использовании формулы и 3 и 4 свойств дисперсии.
(3.Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится.
4.Если все значения признака (варианты) увеличить (умножить) в К раз, где К – постоянное число, то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в К 2 раз.)
Получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:
А- условный ноль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой)
Расчет средней величины способом моментов также основан на использовании свойств средней.
Понятие о выборочном наблюдении. Этапы исследования экономических явлений выборочным методом
Выборочным называют наблюдение, при котором обследованию и изучению подвергаются не все единицы исходной совокупности, а только часть единиц, при этом результат обследования части совокупности распространяется на всю исходную совокупность. Совокупность, из которой производится отбор единиц для дальнейшего обследования и изучения называется генеральной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсягенеральными .
Возможные пределы отклонений выборочной средней величины от генеральной средней величины называют ошибкой выборки .
Совокупность отобранных единиц называется выборочной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсявыборочными .
Выборочное исследование включает следующие этапы:
Характеристика объекта исследования (массовые экономические явления). Если генеральная совокупность небольшая, то выборку проводить не рекомендуется, необходимо сплошное исследование;
Расчет объема выборки. Важно определить оптимальный объем, который позволит при наименьших затратах получить ошибку выборки в пределах допустимой;
Проведение отбора единиц наблюдения с учетом требований случайности, пропорциональности.
Доказательство репрезентативности, основанное на оценке ошибки выборки. Для случайной выборки ошибка рассчитывается с использованием формул. Для целевой выборки репрезентативность оценивается с помощью качественных методов (сравнения, эксперимента);
Анализ выборочной совокупности. Если сформированная выборка отвечает требованиям репрезентативности, то проводится ее анализ с использованием аналитических показателей (средних, относительных и проч.)