Теория игр - совокупность математических методов решения конфликтных ситуаций (столкновений интересов). В теории игр игрой называется математическая модель конфликтной ситуации. Предмет особого интереса теории игр - исследование стратегий принятия решений участников игры в условиях неопределённости. Неопределённость связана с тем, что две или более стороны преследуют противоположные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от ходов партнёра. При этом каждая из сторон стремится принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени.

Наиболее последовательно теория игр применяется в экономике, где конфликтные ситуации возникают, например, в отношениях между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Применение теории игр можно найти и в политике, социологии, биологии, военном искусстве.

Из истории теории игр

История теории игр как самостоятельной дисциплины начинается в 1944 году, когда Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн опубликовали книгу "Теория игр и экономическое поведение" ("Theory of Games and Economic Behavior"). Хотя примеры теории игр встречались и раньше: трактат Вавилонского Талмуда о разделе имущества умершего мужа между его жёнами, карточные игры в 18-м веке, развитие теории шахматной игры в начале 20-го века, доказательство теоремы о минимаксе того же Джона фон Неймана в 1928 году, без которой не было бы никакой теории игр.

В 50-х годах 20-го века Мелвин Дрешер и Мерил Флод из Rand Corporation первыми экспериментально применили дилемму заключённого, Джон Нэш в работах о состоянии равновесия в играх двух лиц развил понятие равновесия Нэша.

Рейнхард Сэлтен в 1965 году опубликовал книгу "Обработка олигополии в теории игр по требованию" ("Spieltheoretische Behandlung eines Oligomodells mit Nachfrageträgheit"), с которой применение теории игр в экономике получило новую движущую силу. Шагом вперёд в эволюции теории игр связан с работой Джона Мейнарда Смита "Эволюционно стабильная стратегия" ("Evolutionary Stable Strategy", 1974). Дилемма заключённого была популяризована в книге Роберта Аксельрода "Эволюция кооперации" ("The Evolution of Cooperation"), опубликованной в 1984 году. В 1994 году именно за вклад в теорию игр Нобелевской премии были удостоены Джон Нэш, Джон Харсаньи и Рейнхард Сэлтен.

Теория игр в жизни и бизнесе

Остановимся подробнее на сути кофликтной ситуации (столкновении интересов) в том смысле, как он понимается в теории игр для дальнейшего моделирования различных ситуаций в жизни и бизнесе. Пусть индивидуум находится в таком положении, которое приводит к одному из нескольких возможных исходов, причём у индивидуума имеются по отношению к этим исходам некоторые личные предпочтения. Но хотя он может до некоторой степени управлять переменными факторами, определяющими исход, он не имеет полной власти над ними. Иногда управление находится в руках нескольких индивидуумов, которые, подобно ему, имеют какие-то предпочтения по отношению к возможным исходам, но в общем случае интересы этих индивидуумов не согласуются. В других случаях конечный исход может зависеть как от случайностей (которые в юридических науках иногда именуются стихийными бедствиями), так и от других индивидуумов. Теория игр систематизирует наблюдения за такими ситуациями и формулировки общих принципов для руководства разумными действиями в таких ситуациях.

В некоторых отношениях название "теория игр" неудачно, так как наводит на мысль, что теория игр рассматривает лишь не имеющие социального значения столкновения, происходящие в салонных играх, но всё же эта теория имеет значительно более широкое значение.

О применении теории игр может дать представление следующая экономическая ситуация. Пусть имеется несколько предпринимателей, каждый из которых стремится получить максимум прибыли, имея при этом лишь ограниченную власть над переменными, определяющими эту прибыль. Предприниматель не имеет власти над переменными, которыми распоряжается другой предприниматель, но которые могут сильно влиять на доход первого. Трактовка этой ситуации как игры может вызвать следующее возражение. В игровой модели предполагается, что каждый предприниматель делает один выбор из области возможных выборов и этими единичными выборами определяются прибыли. Очевидно, что этого почти не может быть в действительности, так как при этом в промышленности не были бы нужны сложные управленческие аппараты. Просто есть ряд решений и модификаций этих решений, которые зависят от выборов, совершённых другими участниками экономической системы (игроками). Но в принципе можно вообразить, что какой-либо администратор предвидит все возможные случайности и подробно описывает действие, которое нужно предпринимать в каждом случае, вместо того чтобы решать каждую задачу по мере её возникновения.

Военный кофликт, по определению, есть столкновение интересов, в котором ни одна из сторон не распоряжается полностью переменными, определяющими исход, который решается рядом битв. Можно просто считать исход выигрышем или проигрышем и приписать им численные значения 1 и 0.

Одна из самых простых конфликтных ситуаций, которая может быть записана и решена в теории игр - дуэль, представляющая собой конфликт двух игроков 1 и 2, имеющих соответственно p и q выстрелов. Для каждого игрока существует функция, указывающая вероятность того, что выстрел игрока i в момент времени t даст попадание, которое окажется смертельным.

В итоге теория игр приходит к такой формулировке некоторого класса столкновений интересов: имеются n игроков, и каждому нужно выбрать одну возможность из стого определённого набора, причём при совершении выбора у игрока нет никаких сведений о выборах других игроков. Область возможных выборов игрока может содержать такие элементы, как "ход тузом пик", "производство танков вместо автомобилей", или в общем смысле, стратегию, определяющую все действия, которые нужно совершить во всех возможных обстоятельствах. Перед каждым игроком стоит задача: какой выбор он должен сделать, чтобы его частное влияние на исход принесло ему как можно больший выигрыш?

Математическая модель в теории игр и формализация задач

Как мы уже отмечали, игра является математической моделью конфликтной ситуации и требует наличия следующих компонент:

1. заинтересованных сторон;
2. возможных действий с каждой стороны;
3. интересов сторон.

Заинтересованные в игре стороны называются игроками , каждый из них может предпринять не менее двух действий (если в распоряжении игрока только одно действие, то он фактически не участвует в игре, так как заранее известно, что он предпримет). Исход игры называется выигрышем .

Реальная конфликтная ситуация не всегда, а игра (в понятии теории игр) - всегда - протекает по определённым правилам , которые точно определяют:

1. варианты действий игроков;
2. объём информации каждого игрока о поведении партнёра;
3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Примерами формализованных игр могут служить футбол, карточная игра, шахматы.

Но в экономике модель поведения игроков возникает, например, когда несколько фирм стремятся занять более выгодное место на рынке, несколько лиц пытаются поделить между собой какое-либо благо (ресурсы, финансы) так, чтобы каждому досталось по возможности больше. Игроками в конфликтных ситуациях в экономике, которые можно моделировать в виде игры, являются фирмы, банки, отдельные люди и другие экономические агенты. В свою очередь в условиях войны модель игры используется, например, в выборе более лучшего оружия (из имеющегося или потенциально возможного) для разгрома противника или защиты от нападения.

Для игры характерна неопределённость результата . Причины неопределённости можно распределить по следующим группам:

1. комбинаторные (как в шахматах);
2. влияние случайных факторов (как в игре "орёл или решка", кости, карточные игры);
3. стратегические (игрок не знает, какое действие предпримет противник).

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих его действия при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. Определить такую стратегию - значит решить игру. Оптимальность стратегии достигается, когда один из игроков должен получить максимальный выигрыш, при том, что второй придерживается своей стратегии. А второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.

Классификация игр

1. Классификация по числу игроков (игра двух и более лиц). Игры двух лиц занимают центральное место во всей теории игр. Основным понятием теории игр для игры двух лиц является обобщение весьма существенной идеи равновесия, которая естественно появляется в играх двух лиц. Что же касается игр n лиц, то одна часть теории игр посвящена играм, в которых сотрудничество между игроками запрещено. В другой части теории игр n лиц предполагается, что игроки могут сотрудничать для взаимной пользы (см. далее в этом параграфе о некооперативных и кооперативных играх).
2. Классификация по числу игроков и их стратегиям (число стратегий не менее двух, может быть бесконечностью).
3. Классификация по количеству информации относительно прошлых ходов: игры с полной информацией и неполной информацией. Пусть есть игрок 1 - покупатель и игрок 2 - продавец. Если у игрока 1 нет полной информации о действиях игрока 2, то игрок 1 может и не различить две альтернативы, между которыми ему предстоит сделать выбор. Например, выбирая между двумя видами некоторого товара и не зная о том, что по некоторым признакам товар A хуже товара B , игрок 1 может не видеть различия между альтернативами.
4. Классификация по принципам деления выигрыша : кооперативные, коалиционные с одной стороны и некооперативные, бескоалиционные с другой стороны. В некооперативной игре , или иначе - бескоалиционной игре , игроки выбирают стратегии одновременно, не зная, какую стратегию выберет второй игрок. Коммуникация между игроками невозможна. В кооперативной игре , или иначе - коалиционной игре , игроки могут объединяться в коалиции и предпринимать коллективные действия, чтобы увеличить свои выигрыши.
5. Конечная игра двух лиц с нулевой суммой или антогонистическая игра – это стратегическая игра с полной информацией, в которой участвуют стороны с противоположными интересами. Анатагонистическими играми являются матричные игры .

Классический пример из теории игр - дилемма заключённого

Двух подозреваемых берут под стражу и изолируют друг от друга. Окружной прокурор убеждён, что они совершили тяжкое преступление, но не имеет достаточных доказательств, чтобы предъявить им обвинение на суде. Он говорит каждому из заключённых, что у него имеется две альтернативы: признаться в преступлении, которое по убеждению полиции он совершил, или не признаваться. Если оба не признаются, то окружной прокурор предъявит им обвинение в каком-либо незначительном преступлении, например, мелкая кража или незаконное владение оружием, и они оба получат небольшое наказание. Если они оба признаются, то будут подлежать судебной ответственности, но он не потребует самого строгого приговора. Если же один признается, а другой нет, то признавшемуся приговор будет смягчён за выдачу сообщника, в то время как упорствующий получит "на полную катушку".

Если эту стратегическую задачу сформулировать в сроках заключения, то она сводится к следующему:

Таким образом, если оба заключённых не признаются, они получат по 1 году каждый. Если оба признаются, то каждый получит по 8 лет. А если один признается, другой не признается, то тот, который признался отделается тремя месяцами заключения, а тот, который не признается, получит 10 лет. Приведённая выше матрица правильно отражает дилемму заключённого: перед каждым стоит вопрос - признаться или не признаться. Игра, которую окружной прокурор предлагает заключённым, представляет собой некооперативную игру или иначе - бескоалиционную игру . Если бы оба заключённых имели возможность сотрудничать (то есть игра была бы кооперативной или иначе коалиционной игрой ), то оба не признались бы и получили по году тюрьмы каждый.

Примеры использования математических средств теории игр

Переходим теперь к рассмотрению решений примеров распространённых классов игр, для которых в теории игр существуют методы исследования и решения.

Пример формализации некооперативной (бескоалиционной) игры двух лиц

В предыдущем параграфе мы уже рассмотрели пример некооперативной (бескоалиционной) игры (дилемма заключённого). Давайте закрепим наши навыки. Для этого подойдёт также классический сюжет, навеянный "Приключениями Шерлока Холмса" Артура Конан Дойля. Можно, конечно, возразить: пример не из жизни, а из литературы, но ведь Конан Дойль не зарекомендовал себя как писатель-фантаст! Классический ещё и потому, что задание выполнено Оскаром Моргенштерном, как мы уже установили - одним из основателей теории игр.

Пример 1. Будет приведено сокращённое изложение фрагмента одного из "Приключений Шерлока Холмса". Согласно известным понятиям теории игр составить модель конфликтной ситуации и формально записать игру.

Шерлок Холмс намерен отправиться из Лондона в Дувр с дальнейшей целю попасть на континент (европейский), чтобы спастись от профессора Мориарти, который преследует его. Сев в поезд, он увидел на вокзальной платформе профессора Мориарти. Шерлок Холмс допускает, что Мориарти может выбрать особый поезд и обогнать его. У Шерлока Холмса две альтернативы: продолжать поездку до Дувра или сойти на станции Кентерберри, являющейся единственной промежуточной станцией на его маршруте. Мы принимаем, что его противник достаточно разумен, чтобы определить возможности Холмса, поэтому перед ним те же две альтернативы. Оба противника должны выбрать станцию, чтобы сойти на ней с поезда, не зная, какое решение примет каждый из них. Если в результате принятия решения оба окажутся на одной и той же станции, то можно однозначно считать, что Шерлок Холмс будет убит профессором Мориарти. Если же Шерлок Холмс благополучно доберётся до Дувра, то он будет спасён.

Решение. Героев Конан Дойля можем рассматривать как участников игры, то есть игроков. В распоряжении каждого игрока i (i =1,2) две чистые стратегии:

• сойти в Дувре (стратегия s i1 (i =1,2) );
• сойти на промежуточной станции (стратегия s i2 (i =1,2) )

В зависимости от того, какую из двух стратегий выберет каждый из двух игроков, будет создана особая комбинация стратегий как пара s = (s 1 , s 2 ) .

Каждой комбинации можно поставить в соответствие событие - исход попытки убийства Шерлока Холмса профессором Мориарти. Составляем матрицу данной игры с возможными событиями.

Под каждым из событий указан индекс, означающий приобретение профессора Мориарти, и рассчитываемый в зависимости от спасения Холмса. Оба героя выбирают стратегию одновременно, не зная, что выберет противник. Таким образом, игра является некооперативной, поскольку, во-первых, игроки находятся в разных поездах, а во-вторых, имеют противоположные интересы.

Пример формализации и решения кооперативной (коалиционной) игры n лиц

В этом пункте практическая часть, то есть ход решения примера задачи, будет предварена теоретической частью, в которой будем знакомиться с понятиями теории игр для решения кооперативных (бескоалиционных) игр. Для этой задачи теория игр предлагает:

• характеристическую функцию (если говорить упрощённо, она отражает величину выгоды объединения игроков в коалицию);
• понятие аддитивности (свойства величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, в некотором классе разбиений объекта на части) и супераддитивности (значение величины, соответствующее целому объекту, больше суммы значений величин, соответствующих его частям) характеристической функции.

Супераддитивность характеристической функции говорит о том, что объединение в коалиции выгодна игрокам, так как в этом случае величина выигрыша коалиции увеличивается с увеличением числа игроков.

Для формализации игры нам нужно ввести формальные обозначения вышеназванных понятий.

Для игры n обозначим множество всех её игроков как N = {1,2,...,n} Любое непустое подмножество множества N обозначим как Т (включая само N и все подмножества, состоящие из одного элемента). На сайте есть занятие "Множества и операции над множествами ", которое при переходе по ссылке открывается в новом окне.

Характеристическая функция обозначается как v и область её определения состоит из возможных подмножеств множества N . v (T ) - значение характеристической функции для того или иного подмножества, например, доход, полученный коалицией, в том числе, возможно, состоящей из одного игрока. Это важно по той причине, что теория игр требует проверить наличие супераддитивности для значений характеристической функции всех непересекающихся коалиций.

Для двух непустых коалиций из подмножеств T 1 и T 2 аддитивность характеристической функции кооперативной (коалиционной) игры записывается так:

А супераддитивность так:

Пример 2. Трое студентов музыкальной школы подрабатывают в разных клубах, свою выручку они получают от посетителей клубов. Установить, выгодно ли им объединять свои силы (если да, то с какими условиями), используя понятия теории игр для решения кооперативных игр n лиц, при следующих исходных данных.

В среднем их выручка за один вечер составляла:

• у скрипача 600 единиц;
• у гитариста 700 единиц;
• у певицы 900 единиц.

Пытаясь увеличить выручку, студенты в течение нескольких месяцев создавали различные группы. Результаты показали, что, объединившись, они могут увеличить свою выручку за вечер следующим образом:

• скрипач + гитарист зарабатывали 1500 единиц;
• скрипач + певица зарабатывали 1800 единиц;
• гитарист + певица зарабатывали 1900 единиц;
• скрипач + гитарист + певица зарабатывали 3000 единиц.

Решение. В этом примере число участников игры n = 3 , следовательно, область определения характеристической функции игры состоит из 2³ = 8 возможных подмножеств множества всех игроков. Перечислим все возможные коалиции T :

• коалиции из одного элемента, каждая из которых состоит из одного игрока - музыканта: T {1} , T {2} , T {3} ;
• коалиции из двух элементов: T {1,2} , T {1,3} , T {2,3} ;
• коалиция из трёх элементов: T {1,2,3} .

Каждому из игроков присвоим порядковый номер:

• скрипач - 1-й игрок;
• гитарист - 2-й игрок;
• певица - 3-й игрок.

По данным задачи определим характеристическую функцию игры v :

v(T{1}) = 600 ; v(T{2}) = 700 ; v(T{3}) = 900 ; эти значения характеристической функции определены исходя из выигрышей соответственно первого, второго и третьего игроков, когда они не объединяются в коалиции;

v(T{1,2}) = 1500 ; v(T{1,3}) = 1800 ; v(T{2,3}) = 1900 ; эти значения характеристической функции определены по выручке каждой пары игроков, объединившихся в коалиции;

v(T{1,2,3}) = 3000 ; это значение характеристической функции определено по средней выручке в случае, когда игроки объединялись в тройки.

Таким образом, мы перечислили все возможные коалиции игроков, их получилось восемь, как и должно быть, так как область определения характеристической функции игры состоит именно из восьми возможных подмножеств множества всех игроков. Что и требует теория игр, так как нам нужно проверить наличие супераддитивности для значений характеристической функции всех непересекающихся коалиций.

Как выполняются условия супераддитивности в этом примере? Определим, как игроки образуют непересекающиеся коалиции T 1 и T 2 . Если часть игроков входят в коалицию T 1 , то все остальные игроки входят в коалицию T 2 и по определению эта коалиция образуется как разность всего множества игроков и множества T 1 . Тогда, если T 1 - коалиция из одного игрока, то в коалиции T 2 будут второй и третий игроки, если в коалиции T 1 будут первый и третий игроки, то коалиция T 2 будет состоять только из второго игрока, и так далее.

Тео́рия игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Теория игр - это раздел прикладной математики, точнее - исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции . Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

История.

Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж.Бертраном. В начале XX в. Э.Ласкер, Э.Цермело, Э.Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов.

Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики . Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение»(англ. Theory of Games and Economic Behavior ).

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума ». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe », «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

Дж. Нэш в 1949 году пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике. Дж. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами - бакалавра и магистра - поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Дж. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А.Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.

Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели, вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.

В 1960-1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 - 30 лет значение теории игр и интерес значительно растет, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.

Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т.Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работе Йохана Хёйзинга «Homo Ludens» (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике.. говорит о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют. Понятие игры встречается в концепции Эрика Бёрна «Игры, в которые играют люди, люди, которые играют в игры». Это сугубо психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Понятие игры у Й.Хёзинга отличается от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г. П. Щедровицкого, основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССР Г. П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР. Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ стал Московский методологический кружок (ММК).

Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако математический аппарат теории игр затратен. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т. п. Ряд известных ученых стали Нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш, благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауманн , Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц , Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шепли, Элвин Рот.

Применение теории игр.

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.

Описание и моделирование.

Первоначально теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих популяций. Некоторые исследователи считают, что с помощью определения равновесия в соответствующих играх они могут предсказать поведение человеческих популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в последнее время подвергается критике по нескольким причинам. Во-первых, предположения, используемые при моделировании, зачастую нарушаются в реальной жизни. Исследователи могут предполагать, что игроки выбирают поведения, максимизирующее их суммарную выгоду (модель экономического человека), однако на практике человеческое поведение часто не соответствует этой предпосылке. Существует множество объяснений этого феномена - нерациональность, моделирование обсуждения, и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм). Авторы теоретико-игровых моделей возражают на это, говоря, что их предположения аналогичны подобным предположениям в физике. Поэтому даже если их предположения не всегда выполняются, теория игр может использовать как разумная идеальная модель, по аналогии с такими же моделями в физике. Однако, на теорию игр обрушился новый вал критики, когда в результате экспериментов было выявлено, что люди не следуют равновесным стратегиям на практике. Например, в играх «Сороконожка», «Диктатор» участники часто не используют профиль стратегий, составляющий равновесие по Нэшу. Продолжаются споры о значении подобных экспериментов. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является предсказанием ожидаемого поведения, но лишь объясняет, почему популяции, уже находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остается открытым. Некоторые исследователи в поисках ответа на этот вопрос переключились на изучение эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Несмотря на название, эволюционная теория игр занимается не только и не столько вопросами естественного отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения.

Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения).

С другой стороны, многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент предсказания поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит вполне обоснованным. Однако, и такое использование теоретико-игровых моделей подверглось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также не будут следовать равновесным стратегиям. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма заключенного » позволяет привести ещё один контрпример. В «Дилемме заключенного » следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными интересами.

Типы игр

Кооперативные и некооперативные.

Игра называется кооперативной, или коалиционной , если игроки могут объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Симметричные и несимметричные.

Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков - симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя », «Ястребы и голуби». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум » или «Диктатор ».

В примере справа игра на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так - ведь выигрыш второго игрока при профилях стратегий (А, А) и (Б, Б) будет больше, чем у первого.

С нулевой суммой и с ненулевой суммой.

Игры с нулевой суммой - особая разновидность игр с постоянной суммой , то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо - числа означают платежи игрокам - и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство .

Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме - это делается введением фиктивного игрока , который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.

Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля , где каждый участник извлекает выгоду. Широко известным примером, где она уменьшается, является война .

Параллельные и последовательные.

В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических , играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной , например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.

Различия в представлении параллельных и последовательных игр рассматривались выше. Первые обычно представляют в нормальной форме, а вторые - в экстенсивной.

С полной или неполной информацией.

Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр - с неполной информацией. Например, вся «соль» Дилеммы заключённого или Сравнения монеток заключается в их неполноте.

В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: «Ультиматум», «Многоножка ». Сюда же относятся шахматы, шашки, го, манкала и другие.

Часто понятие полной информации путают с похожим - совершенной информации . Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.

Игры с бесконечным числом шагов.

Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.

Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии . Используя аксиому выбора, можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами - «выиграл» или «проиграл» - ни один из игроков не имеет такой стратегии. Существование выигрышных стратегий для некоторых особенным образом сконструированных игр имеет важную роль в дескриптивной теории множеств .

Дискретные и непрерывные игры.

Большинство изучаемых игр дискретны : в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т. п. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно - шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры также рассматриваются в теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.

Метаигры.

Это игры, результатом которых является набор правил для другой игры (называемой целевой или игрой-объектом ). Цель метаигр - увеличить полезность выдаваемого набора правил. Теория метаигр связана с теорией оптимальных механизмов .

по материалам wikipedia.org

Для человека, не являющегося экспертом в политике, Брюс Буэно де Мескита из Университета Нью-Йорка делает удивительно точные событий. Ему удалось с точностью до нескольких месяцев предсказать уход со своих постов и Переверза Мушарафа. Он точно назвал приемника Аятоллы Хомейни на посту лидера Ирана за 5 лет до его смерти. На вопрос о том, в чем секрет, он отвечает, что ответа не знает - его знает игра. Под игрой здесь имеется в виду математический метод, который изначально был создан для формирования и анализа стратегий различных игр, а именно - теория игр. В экономике она используется наиболее часто. Хотя изначально она была разроботана для построения и анализа стратегий в играх, использующихся для развлечений.

Теория игры - это численный аппарат, позволяющий рассчитать сценарий, или, точнее, вероятность различных сценариев поведения системы или "игры", контролируемой различными факторами. Эти факторы, в свою очередь, определяются некоторым числом "игроков".

Таким образом, теория игр, в экономике получившая главный толчок к развитию, может применятся в самых разных областях человеческой деятельности. Пока рано говорить о том, чтобы эти программы применялись для разрешения военных конфлмктов, но в будущем это вполне реально.

экспериментальной экономики

И других методов анализа

Как и любая другая не полностью конвенциальная наука, институциональная экономика применяет разные методы анализа. К ним относятся традиционный микроэкономический инструментарий, эконометрические методы, анализ статистической информации и др. В данном разделе кратко рассмотрим применение теории игр, экспериментальной экономики и других методов, адаптированных к институциональному анализу.

Теория игр . Теория игр – аналитический метод, получивший развитие после второй мировой войны и используемый для анализа ситуаций, в которых индивидуумы стратегически взаимодействуют. Шахматы – это прототип стратегической игры, так как результат зависит от поведения противника, так же как и от поведения собственно игрока. Из-за аналогий, найденных между стратегическими играми и формами политического и экономического взаимодействия, теории игр уделяется повышенное внимание в общественных науках. Современная теория игр начинается с работы Д. Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944, русский вариант – 1970). Теория исследует взаимодействие индивидуальных решений при некоторых допущениях, касающихся принятия решения в условиях риска, общего состояния окружающей среды, кооперативного или некооперативного поведения других индивидов. Очевидно, что рациональному индивиду приходится принимать решения в условиях неопределенности и взаимодействия. Если выигрыш одного индивида является проигрышем другого, то это игра с нулевой суммой. Когда каждый из индивидов может выиграть от решения одного из них, то имеет место игра с ненулевой суммой. Игра может быть кооперативной, когда возможен сговор, и некооперативной, когда преобладает антагонизм. Одним из известных примеров игры с ненулевой суммой является дилемма заключенного (ДЗ). Этот пример показывает, что, вопреки утверждениям либерализма, преследование индивидом собственного интереса ведет к решению менее удовлетворительному, чем возможные альтернативы.

Предельная теорема Ф.И. Эджуорта рассматривается как ранний пример кооперативной игры n участников. Теорема утверждает, что по мере увеличения числа участников в экономике чистого обмена сговор становится менее полезным, а множество возможных равновесных относительных цен (ядро) уменьшается. Если число участников стремится к бесконечности, то остается только одна система относительных цен, соответствующая ценам общего равновесия.

Понятие оптимального (равновесного) по Нэшу решения является одним из ключевых в теории игр. Оно было введено в 1951 г. американским экономистом-математиком Джоном Ф. Нэшем.

В данном контексте достаточно рассмотреть это понятие применительно к теоретико-игровой модели двух лиц 25 . В этой модели каждый из участников располагает некоторым непустым множеством стратегий S i , i = 1, 2. При этом выбор конкретных стратегий из числа доступных игроку осуществляется таким образом, чтобы максимизировать значение собственной функции выигрыша (полезности) u i , i = 1, 2. Значения функции выигрыша заданы на множестве упорядоченных пар стратегий игроков S 1 ´ S 2 , элементами которого выступают всевозможные сочетания стратегий игроков (s 1 , s 2) (упорядоченность пар стратегий заключается в том, что в каждом из сочетаний на первом месте стоит стратегия первого игрока, на втором – второго), т.е. u i = u i (s 1 , s 2), i = 1, 2. Иными словами, выигрыш каждого игрока зависит не только от выбираемой им самим стратегии, но и от стратегии, принятой его противником.

Оптимальным по Нэшу решением признается пара стратегий (s 1 *, s 2 *), s i *Î S i , i = 1, 2, обладающая следующим свойством: стратегия s 1 * обеспечивает игроку 1 максимальный выигрыш, когда игрок 2 выбирает стратегию s 2 *, и симметрично s 2 * доставляет максимальное значение функции выигрыша игрока 2 , когда игроком 1 принимается стратегия s 1 *. Пара стратегий приводит к равновесию по Нэшу, если выбор, сделанный игроком 1 , оптимален при данном выборе игрока 2 , а выбор, сделанный игроком 2, оптимален при данном выборе игрока 1 . Понятие оптимальности по Нэшу очевидным образом обобщается на случай игры n лиц. Следует заметить, что существование равновесия по Нэшу не означает его Парето-оптимальности, а Парето-оптимальный набор стратегий не обязательно должен удовлетворять равновесию по Нэшу. В 1994 г. Дж. Ф. Нэшу, Р. Зельтену и Дж. Ч. Харшани была присуждена Премия памяти А. Нобеля по экономике за их вклад в разработку теории игр и ее приложение к экономике.

Обращение к этому методу опирается на его явную силу в освещении причин и последствий институционального изменения. Способность теории игр помочь анализировать последствия изменения правил бесспорна; ее сила в раскрытии причин неоднозначна. Любой теоретико-игровой анализ должен предполагать предшествующее определение основных правил игры. Так, О. Моргенштерн в 1968 г. писал: «Игры описаны путем определения возможного поведения в пределах правил игры. Правила являются в каждом случае однозначными; например, в шахматах определенные ходы разрешены для специфических фигур, но запрещены для других. Правила также ненарушаемы. Когда социальная ситуация рассматривается как игра, правила даны физической и юридической окружающей средой, в пределах которой имеют место действия индивидуумов» 26 .

Если эта точка зрения принимается, нельзя ожидать, что теория игр объяснит причину изменения в фундаментальных правилах организации экономической, политической и социальной жизни: определение таких правил, очевидно, является предварительным условием для проведения такого анализа.

Для понимания значения институтов используются модели координационной игры и дилеммы заключенных.

Рассмотримпроблему чистой и обобщенной координации . Чистая координационная игра показывает, что экономические агенты не могут гарантированно реализовать взаимные выгоды кооперации, даже если отсутствует конфликт интересов. Другими словами, в ситуации «чистой» координации имеется множественное равновесие, которое одинаково предпочитается каждой стороной. В этом случае нет конфликта интересов, но нет гарантии, что все будут стремиться к одному равновесному результату. Известный пример – выбор стороны дороги (правой или левой), по которой люди должны ездить (рис. 2.1). Данная игра имеет два равновесия по Нэшу, соответствующих наборам стратегий (левая, левая) и (правая, правая). Никто заранее не возражает ездить справа или слева, но достижение скоординированного результата при большом количестве участников переговоров потребует высоких трансакционных издержек. Необходим институт, который бы выполнил функцию фокальной точки, т.е. ввел согласованное решение. Таким институтом может быть результат общего знания, полученного на основе однотипного анализа ситуации, а может быть и государство, которое вмешивается, чтобы ввести правило координации и сократить трансакционные издержки. В целом институты выполняют координационную функцию, снижая неопределенность.

Обобщенная проблема координации существует, если матрица выигрышей такова, что в любой точке равновесия никто из игроков не имеет стимула изменить свое поведение при данном поведении других игроков, но и никто из игроков не желает, чтобы какой-либо другой игрок изменил его. В этом случае каждый предпочел бы скоординированный результат не скоординированному, но, возможно, каждый захочет предпочесть особый скоординированный результат (рис. 2.2). Например, два производителяА и Б используют различную технологию X и Y , но хотят ввести национальный стандарт изделия, который вызовет сетевые внешние эффекты. Производитель А больше выиграет, если стандартом станет технология Х , а производитель Б – технология Y . Выигрыш оказывается распределенным асимметрично. Итак, производитель А (Б ) предпочтет, чтобы стандартом стала X (Y )-технология, но оба предпочтут любой из скоординированных результатов не скоординированному. Трансакционные издержки в этой модели будут выше, чем в предыдущей (особенно при участии большого количества сторон), так как налицо столкновение интересов. Замена частных попыток координации государственным вмешательством позволила бы уменьшить трансакционные издержки в экономике. Примерами являются государственное введение технологических стандартов, стандартов измерения и качества и т.д. Обобщенная координационная модель иллюстрирует важность не только координационной функции институтов, но и распределительной, от которой зависит способ, ограничивающий возможные альтернативы игроков, и в конечном счете результативность взаимодействия.

Дилемма заключенного часто приводится как пример проблемы установления кооперации между индивидами. В игре участвуют два игрока, два заключенных, которые разделены своими надзирателями. У каждого есть два выбора: кооперироваться, т.е. хранить молчание, или отказаться от кооперации, т.е. предать другого. Каждый должен действовать, не зная, что предпримет другой. Каждому говорят, что признание, если другой молчит, ведет к свободе. Отказ от признания в случае предательства другого означает смерть. Если оба признаются, то проведут вместе несколько лет в тюрьме. Если каждый из них откажется от признания, то будет на короткое время арестован и затем освобожден. Предполагая, что тюрьма предпочтительнее смерти, а свобода – наиболее желаемое состояние, заключенные сталкиваются с парадоксом: хотя они оба предпочли бы не предавать друг друга и провести недолгое время в тюрьме, каждый окажется в лучшем положении, предав другого, не считаясь с тем, что предпримет другой. Аналитически способность заключенных установить связь находится на заднем плане, так как стимулы к предательству остаются одинаково сильными при наличии или без наличия связи. Предательство остается доминирующей стратегией.

Этот анализ помогает объяснить, почему эгоистично-макси­ми­зирующие агенты не могут рационально приходить к кооперативному результату или поддерживать его (парадокс индивидуальной рациональности). Он полезен в объяснении ex post распада картеля или другого кооперативного соглашения, но не объясняет, каким способом сформирован картель или кооперативное соглашение. Если заключенные способны достичь соглашения, то проблема исчезает: они договариваются не предавать друг друга и прийти к тому, чтобы максимизировать совместные выигрыши. Итак, достаточно вступить в соглашение, которое совместно желательно, но делает каждого в отдельности потенциально более уязвимым к ущербу, чем в отсутствие такого соглашения. Этот анализ обращает внимание на институты, которые с индивидуальной точки зрения могут превратить такие соглашения в менее рискованные.

В теоретической литературе дается различие между анализом кооперативных и некооперативных игр. Как уже описано, игроки способны заключать связывающие их соглашения. Гарант таких соглашений – неявный. Многие теоретики игр настаивают на том, что обман и разрыв соглашений – общие черты человеческих взаимоотношений, поэтому такое поведение должно оставаться внутри стратегического пространства. Они пытаются объяснить возникновение и сохранение кооперации в модели некооперативных игр, особенно в модели бесконечно повторяющейся последовательности игр ДЗ. Конечная последовательность игр не даст результата, потому что с момента, когда доминирующая стратегия в последней игре станет явно отступнической, и с момента, когда она станет ожидаемой, то же самое будет верно для предпоследней игры и так далее, до первой игры. В бесконечных сериях игр при определенных предположениях о дисконтировании выигрышей может появиться кооперация как равновесная стратегия. Таким образом, некооперативный анализ не избегает потребности принять основные правила игры как часть описания стратегического пространства. Он просто предполагает отличный и менее ограничительный набор правил. В отличие от кооперативного анализа соглашения могут быть разорваны по желанию. С другой стороны, выход из непрерывной игры ограничен. Ни один подход не избегает потребности определять правила игры, перед тем как начать анализ.

Одним из наиболее интересных недавних достижений в исследовании ДЗ была организация турниров между предопределенными стратегиями для проведения конечно повторяющихся игр ДЗ с двумя участниками. Первый из них был организован Робертом Аксельродом (описан в 1984 г.) и включал игру последовательностью в 200 партий. Опытными в ДЗ участниками были предложены компьютерные программы, и которые затем состязались друг с другом.

Р. Аксельрод сообщил игрокам, что стратегии будут оценены не по числу побед, а согласно сумме очков против всех других стратегий, причем три очка каждый получает за взаимную кооперацию, одно очко за взаимное отступничество и выигрыш 5 к 0 за отступничество/кооперацию. Как отмечено ранее, аналитически ясно, что отступничество – доминирующая стратегия последней игры и, следовательно, каждой предыдущей игры.

Рассмотрим матрицу выигрышей в ДЗ, анализируемую Р. Аксельродом 27 (рис. 2.3). Независимо от того, что делает другой игрок, предательство дает более высокое вознаграждение, чем кооперация. Если первый игрок думает, что другой игрок будет молчать, то ему выгоднее предать ($5>$3). С другой стороны, если первый игрок думает, что другой предаст, ему все равно выгоднее предать самому ($1 лучше, чем ничего). Следовательно, искушение склоняет к предательству. Но если оба предают, то оба получают меньше, чем в ситуации кооперации ($1+$1<$3+$3).

		Второй игрок
			Кооперируется
Первый игрок
	Кооперируется

Рис. 2.3 . Матрица выигрышей в дилемме заключенного

Дилемма заключенного – знаменитая проблема в экономике – показывает: то, что рационально или оптимально для одного агента, может не быть рациональным или оптимальным для группы индивидов, рассматриваемых совместно. Эгоистичное поведение индивида может быть вредным или разрушительным для группы. В повторяющихся играх ДЗ соответствующая стратегия неочевидна. Чтобы найти хорошую стратегию, и были организованы турниры. Если выигрыш был бы получен строго на основе победа–проигрыш, то каждый участник турнира должен был предложить непрерывное отступничество. Однако правила выигрыша дали понять, что организация некоторой кооперации могла бы привести к более высоким общим результатам. К удивлению многих, победила простая стратегия «зуб за зуб», предложенная А. Рапопортом: игрок кооперируется на первом шаге и затем делает тот ход, который другой игрок делал на предыдущем шаге.

Во втором турнире участвовало гораздо больше игроков, в том числе профессионалов, а также тех, кто знал о результатах первого раунда. Итогом была еще одна победа стратегии копирования («зуб за зуб»).

Анализ результатов турниров выявил четыре свойства, приводящие к успешной стратегии: 1) стремление избежать ненужного конфликта и кооперироваться так долго, как это делает другой; 2) способность к вызову перед лицом ничем не вызванного предательства другого; 3) прощение после ответа на вызов; 4) ясность поведения, чтобы другой игрок мог распознать и адаптироваться к образу действия первого.

Р. Аксельрод показал, что кооперация может начаться, развиваться и стабилизироваться в ситуациях, которые в противном случае являются экстраординарными, не обещая ничего хорошего. Можно согласиться с тем, что стратегия «зуб за зуб» в аналитическом смысле иррациональна в конечно повторяющейся игре, но эмпирически, очевидно, нет. Если бы стратегия «зуб за зуб» состязалась с другими аналитическими стратегиями, все из которых состояли из непрерывных отступничеств, она не смогла бы победить в турнире.

Теория игр может быть важным инструментом для изучения человеческого взаимодействия в ограниченных правилами обстоятельствах. Благодаря своим возможностям изучать последствия разных институциональных соглашений она также может быть полезна с точки зрения государственной политики при проектировании новых институциональных соглашений. Теория игр использовалась в анализе общественных благ, олигополии, картеля и сговоров на рынках товаров и труда. При всех своих достоинствах теория игр обладает и относительными слабостями. Некоторые авторы высказали сомнения относительно применения модели дилеммы заключенного в социальной науке. Например, М. Тейлор в 1987 г. предположил, что такие игры соответствуют обстоятельствам обеспечения общественными благами. В 1985 г. Н. Шофилд утверждал, что агенты должны формировать согласованные понятия об убеждениях и желаниях других агентов, включая проблемы познания и интерпретации, которые не просты для моделирования 28 . Многие экономисты отмечали, что использование теории игр без оговорок может свести экономическую деятельность к слишком статичной схеме. В частности, нобелевский лауреат Р. Стоун в 1948 г. писал: «Главная черта, благодаря которой теория игр впадает в противоречие с живой действительностью, заключается в том, что объект исследования ограничен во времени – игра имеет начало и конец. Об экономической действительности этого не скажешь. Именно в возможности обособить партию от игры и заключается глубокое расхождение теории с реальностью, а это расхождение ограничивает ее применение» 29 . Однако с тех пор неоценимо много сделано для сглаживания этого расхождения и расширения применения теории игр в экономике.

Экспериментальная экономика . Другим методическим подходом, использующимся для проверки постулатов экономической теории и смежных наук, а также объяснения институциональных проблем является экспериментальная экономика . Влияние проектируемых институтов на эффективность разме­щения ресурсов не всегда можно предсказать ex ante. Один из вариантов экономии на издержках ех post – имитация работы институтов в лабораторных условиях.

Вообще экономический эксперимент – это воспроизведение экономического явления или процесса с целью изучения в наиболее благоприятных условиях и дальнейшего практического изменения. Эксперименты, которые осуществляются в реальных условиях, называются естественными, или полевыми, а эксперименты, проводимые в искусственных условиях, – лабораторными. Последние зачастую требуют использования экономико-математических методов и моделей. Естественные эксперименты могут проводиться на микроуровне (эксперименты Р. Оуэна, Ф. Тейлора, по внедрению хозрасчета на предприятии и т.п.) и на макроуровне (варианты экономической политики, свободные экономические зоны и пр.). Лабораторные эксперименты – это искусственно воспроизведенные экономические ситуации, некие экономические модели, чья среда (условия протекания эксперимента) контролируется исследователем в лаборатории.

Американский экономист Эл. Рот, с конца 70-х гг. работающий в области экспериментальной экономики, отмечает ряд преимуществ лабораторных экспериментов перед «полевыми» 30 . В лабораторных условиях возможен полный контроль экспериментатора над средой и поведением субъектов, в то время как при «полевых» экспериментах можно контролировать лишь ограниченное число факторов среды и почти невозможно – поведение экономических субъектов. Именно благодаря этому лабораторные эксперименты позволяют более точно определять условия, при которых можно ожидать повторения отдельных явлений. Кроме того, естественные эксперименты дорогостоящи, и в случае неудачи затрагивают судьбы многих людей.

Область интересов экспериментальной экономики достаточно обширна: положения теории игр, теории отраслевых рынков, модель рационального выбора, феномен рыночного равновесия, проблемы общественных благ и др.

Для примера остановимся на результатах исследования сравнительной эффективности институтов рынка, которые опубликованы Ч.А. Холтом и представлены А.Е. Шаститко 31 . В исследовании сопоставляются выводы теоретической и экспериментальной моделей рынка, полученные с помощью контролируемых экспериментов. Результаты поведения агентов измеряются с помощью коэффициента исчерпания суммы потенциальных рент покупателя и продавца, что соответствует эффективности обмена. Коэффициент исчерпания – отношение фактически (экспериментально) полученной ренты к максимально возможной величине – изменяется от 0 до 1. Сравнение проводилось по следующим формам рынка: двусторонний аукцион, торговля на основе ценовых заявок одной из сторон, расчетная палата, децентрализованные переговоры о цене, торговля на основе заявок с последующими переговорами. Наиболее интересные результаты экспериментов получены разными группами исследователей по двум первым формам рынка (табл. 2.1).

Возникшая в сороковых годах XX века математическая теория игр чаще всего применяется именно в экономике. Но как с помощью концепции игр смоделировать поведение людей в обществе? Зачем экономисты изучают, в какой угол чаще бьют пенальти футболисты, и как выиграть в «Камень, ножницы, бумагу» в своей лекции рассказал старший преподаватель кафедры микроэкономического анализа ВШЭ Данил Федоровых.

Джон Нэш и блондинка в баре

Игра - это любая ситуация, в которой прибыль агента зависит не только от его собственных действий, но и от поведения остальных участников. Если вы раскладываете дома пасьянс, с точки зрения экономиста и теории игр, это не игра. Она подразумевает обязательное наличие столкновения интересов.

В фильме «Игры разума» о Джоне Нэше, нобелевском лауреате по экономике, есть сцена с блондинкой в баре. В ней показана идея, за которую ученый и получил премию, - это идея равновесия по Нэшу, которое он сам называл управляющей динамикой.

Игра - любая ситуация, в которой выигрыши агентов зависят друг от друга.

Стратегия - описание действий игрока во всех возможных ситуациях.

Исход - комбинация выбранных стратегий.

Итак, с точки зрения теории, игроками в этой ситуации являются только мужчины, то есть те, кто принимает решение. Их предпочтения просты: блондинка лучше брюнетки, а брюнетка лучше, чем ничего. Действовать можно двумя способами: пойти к блондинке или к «своей» брюнетке. Игра состоит из единственного хода, решения принимаются одновременно (то есть нельзя посмотреть, куда пошли остальные, и после походить самому). Если какая-то девушка отвергает мужчину, игра заканчивается: невозможно вернуться к ней или выбрать другую.

Каков вероятный финал этой игровой ситуации? То есть какова ее устойчивая конфигурация, из которой все поймут, что сделали лучший выбор? Во-первых, как правильно замечает Нэш, если все пойдут к блондинке, ничем хорошим это не кончится. Поэтому дальше ученый предполагает, что всем нужно пойти к брюнеткам. Но тогда, если известно, что все пойдут к брюнеткам, ему следует идти к блондинке, ведь она лучше.

В этом и заключается настоящее равновесие - исход, в котором один идет к блондинке, а остальные - к брюнеткам. Может показаться, что это несправедливо. Но в ситуации равновесия никто не может пожалеть о своем выборе: те, кто пойдут к брюнеткам, понимают, что от блондинки они все равно ничего б не получили. Таким образом, равновесие по Нэшу - это конфигурация, при которой никто по отдельности не хочет менять выбранную всеми стратегию. То есть, рефлексируя в конце игры, каждый участник понимает, что даже зная, как походят другие, он сделал бы то же самое. По-другому можно назвать это исходом, где каждый участник оптимальным образом отвечает на действия остальных.

«Камень, ножницы, бумага»

Рассмотрим другие игры на предмет равновесия. Например, в «Камне, ножницах, бумаге» нет равновесия по Нэшу: во всех ее вероятных исходах нет варианта, в котором оба участника были бы довольны своим выбором. Тем не менее, существует Чемпионат мира и World Rock Paper Scissors Society, собирающее игровую статистику. Очевидно, что вы можете повысить свои шансы на победу, если будете что-то знать об обычном поведении людей в этой игре.

Чистая стратегия в игре - это такая стратегия, при которой человек всегда играет одинаково, выбирая одни и те же ходы.

По данным World RPS Society, камень является самым часто выбираемым ходом (37,8%). Бумагу ставят 32,6%, ножницы - 29,6%. Теперь вы знаете, что нужно выбирать бумагу. Однако, если вы играете с тем, кто тоже это знает, вам уже не надо выбирать бумагу, потому что от вас ожидается то же самое. Есть знаменитый случай: в 2005 году два аукционных дома Sotheby“s и Christie”s решали, кому достанется очень крупный лот - коллекция Пикассо и Ван Гога со стартовой ценой в 20 миллионов долларов. Собственник предложил им сыграть в «Камень, ножницы, бумагу», и представители домов отправили ему свои варианты по электронной почте. Sotheby“s, как они позже рассказали, особо не задумываясь, выбрали бумагу. Выиграл Christie”s. Принимая решение, они обратились к эксперту - 11-летней дочери одного из топ-менеджеров. Она сказала: «Камень кажется самым сильным, поэтому большинство людей его выбирают. Но если мы играем не с совсем глупым новичком, он камень не выбросит, будет ожидать, что это сделаем мы, и сам выбросит бумагу. Но мы будем думать на ход вперед, и выбросим ножницы».

Таким образом, вы можете думать на ход вперед, но это не обязательно приведет вас к победе, ведь вы можете не знать о компетенции вашего соперника. Поэтому иногда вместо чистых стратегий правильнее выбирать смешанные, то есть принимать решения случайно. Так, в «Камне, ножницах, бумаге» равновесие, которое мы до этого не нашли, находится как раз в смешанных стратегиях: выбирать каждый из трех вариантов хода с вероятностью в одну третью. Если вы будете выбирать камень чаще, соперник скорректирует свой выбор. Зная это, вы скорректируете свой, и равновесия не выйдет. Но никто из вас не начнет менять поведение, если каждый просто будет выбирать камень, ножницы или бумагу с одинаковой вероятностью. Все потому что в смешанных стратегиях по предыдущим действиям невозможно предугадать ваш следующий ход.

Смешанные стратегии и спорт

Более серьезных примеров смешанных стратегий очень много. Например, куда подавать в теннисе или бить/принимать пенальти в футболе. Если вы ничего не знаете о вашем сопернике или просто постоянно играете против разных, лучшей стратегией будет поступать более-менее случайно. Профессор Лондонской школы экономики Игнасио Паласиос-Уэрта в 2003 году опубликовал в American Economic Review работу, суть которой заключалась в поиске равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях. Предметом исследования Паласиос-Уэрта выбрал футбол и в связи с этим просмотрел более 1400 ударов пенальти. Разумеется, в спорте все устроено хитрее, чем в «Камне, ножницах, бумаге»: там учитывается сильная нога спортсмена, попадания в разные углы при ударе со всей силы и тому подобное. Равновесие по Нэшу здесь заключается в расчете вариантов, то есть, к примеру, определении углов ворот, в которые надо бить, чтобы выиграть с большей вероятностью, зная свои слабые и сильные стороны. Статистика по каждому футболисту и найденное в ней равновесие в смешанных стратегиях, показало, что футболисты поступают примерно так, как предсказывают экономисты. Вряд ли стоит утверждать, что люди, которые бьют пенальти, читали учебники по теории игр и занимались довольно непростой математикой. Скорее всего, есть разные способы научиться оптимально себя вести: можно быть гениальным футболистом, и чувствовать, что делать, а можно - экономистом, и искать равновесие в смешанных стратегиях.

В 2008 году профессор Игнасио Паласиос-Уэрта познакомился с Авраамом Грантом, тренером «Челси», который играл тогда в финале Лиги чемпионов в Москве. Ученый написал записку тренеру с рекомендациями по серии пенальти, которые касались поведения вратаря соперника - Эдвина ван дер Сара из «Манчестер Юнайтед». Например, по статистике, он почти всегда отбивал удары на среднем уровне и чаще бросался в естественную для пробивающего пенальти сторону. Как мы определили выше, правильнее все-таки рандомизировать свое поведение с учетом знаний о сопернике. Когда счет по пенальти был уже 6:5, Николя Анелька, нападающий «Челси», должен был забивать. Показывая перед ударом в правый угол, ван дер Сар будто спросил у Анелька, не собирается ли он бить туда.

Суть в том, что все предыдущие удары «Челси» были нанесены именно в правый от пробивающего угол. Мы не знаем точно почему, может быть, из-за консультации экономиста бить в неестественную для них сторону, ведь по статистике к этому менее готов ван дер Сар. Большинство футболистов «Челси» были правшами: ударяя в неестественный для себя правый угол, все они, кроме Терри, забивали. Видимо, стратегия была в том, чтобы Анелька пробил туда же. Но ван дер Сар, похоже, это понял. Он поступил гениально: показал в левый угол дескать «туда собрался бить?», от чего Анелька, наверное, пришел в ужас, ведь его разгадали. В последний момент он принял решение действовать по-другому, ударил в естественную для себя сторону, что и было нужно ван дер Сару, который взял этот удар и обеспечил «Манчестеру» победу. Эта ситуация учит случайному выбору, ведь в ином случае ваше решение может быть просчитано, и вы проиграете.

«Дилемма заключенного»

Наверное, самая известная игра, с которой начинаются университетские курсы о теории игр, - это «Дилемма заключенного». По легенде двух подозреваемых в серьезном преступлении поймали и заперли в разные камеры. Есть доказательство, что они хранили оружие, и это позволяет посадить их на какой-то небольшой срок. Однако доказательств, что они совершили это страшное преступление, нет. Каждому по отдельности следователь рассказывает об условиях игры. Если оба преступника сознаются, оба же сядут на три года. Если сознается один, а подельник будет молчать, сознавшийся выйдет сразу, а второго посадят на пять лет. Если, наоборот, первый не сознается, а второй его сдаст, первый сядет на пять лет, а второй выйдет сразу. Если же не сознается никто, оба сядут на год за хранение оружия.

Равновесие по Нэшу здесь заключается в первой комбинации, когда оба подозреваемых не молчат и оба садятся на три года. Рассуждения каждого таковы: «если я буду говорить, я сяду на три года, если молчать - на пять лет. Если второй будет молчать, мне тоже лучше говорить: не сесть лучше, чем сесть на год». Это доминирующая стратегия: говорить выгодно, независимо от того, что делает другой. Однако в ней есть проблема - наличие варианта получше, ведь сесть на три года хуже, чем сесть на год (если рассматривать историю только с точки зрения участников и не учитывать вопросы морали). Но сесть на год невозможно, ведь, как мы поняли выше, молчать обоим преступникам невыгодно.

Улучшение по Парето

Есть известная метафора про невидимую руку рынка, принадлежащая Адаму Смиту. Он говорил, что если мясник будет сам для себя стараться заработать деньги, от этого будет лучше всем: он сделает вкусное мясо, которое купит булочник на деньги от продажи булок, которые он, в свою очередь, тоже должен будет делать вкусными, чтобы они продавались. Но оказывается, эта невидимая рука не всегда работает, и таких ситуаций, когда каждый действует за себя, а всем плохо, очень много.

Поэтому иногда экономисты и специалисты по теории игр думают не об оптимальном поведении каждого игрока, то есть не о равновесии по Нэшу, а об исходе, при котором будет лучше всему обществу (в «Дилемме» общество состоит из двух преступников). С этой точки зрения, исход эффективен, когда в нем нет улучшения по Парето, то есть невозможно сделать кому-то лучше, не сделав при этом хуже другим. Если люди просто меняются товарами и услугами, это Парето-улучшение: они делают это добровольно, и вряд ли кому-то от этого плохо. Но иногда, если просто дать людям взаимодействовать и даже не вмешиваться, то, к чему они придут, не будет оптимальным по Парето. Это и происходит в «Дилемме заключенного». В ней, если мы даем каждому действовать так, как им выгодно, оказывается, что всем от этого плохо. Всем было бы лучше, если бы каждый действовал не оптимально для себя, то есть молчал.

Трагедия общины

«Дилемма заключенного» - это игрушечная стилизованная история. Вряд ли вы ожидаете оказаться в подобной ситуации, но похожие эффекты есть везде вокруг нас. Рассмотрим «Дилемму» с большим количеством игроков, ее иногда называют трагедией общины. Например, на дорогах - пробки, и я решаю, как ехать на работу: на машине или на автобусе. Это же делают остальные. Если я поеду на машине, и все решат сделать то же самое, будет пробка, но мы доедем с комфортом. Если я поеду на автобусе, пробка-то все равно будет, но ехать я буду некомфортно и не особо быстрее, поэтому такой исход еще хуже. Если же в среднем все ездят на автобусе, то я, сделав то же самое, довольно быстро доеду без пробки. Но если при таких условиях поехать на машине, я тоже доеду быстро, но еще и с комфортом. Итак, наличие пробки не зависит от моих действий. Равновесие по Нэшу здесь - в ситуации, когда все выбирают ехать на машине. Что бы не делали остальные, мне лучше выбрать машину, потому что будет там пробка или нет, неизвестно, но я в любом случае доеду с комфортом. Это доминирующая стратегия, поэтому в итоге все едут на машине, и мы имеем то, что имеем. Задача государства - сделать поездку на автобусе лучшим вариантом хотя бы для некоторых, поэтому появляются платные въезды в центр, парковки и так далее.

Другая классическая история - рациональное незнание избирателя. Представьте, что вы не знаете исход выборов заранее. Вы можете изучить программу всех кандидатов, послушать дебаты и после проголосовать за самого лучшего. Вторая стратегия - прийти на участок и проголосовать как попало или за того, кого чаще показывали по телевизору. Какое поведение оптимально, если от моего голоса никогда не зависит, кто выиграет (а в 140-миллионной стране один голос никогда ничего не решит)? Конечно, я хочу, чтобы в стране был хороший президент, но я же знаю, что никто больше не будет изучать программы кандидатов внимательно. Поэтому не тратить на это время - доминирующая стратегия поведения.

Когда вас призывают прийти на субботник, ни от кого в отдельности не будет зависеть, станет двор чистым или нет: если я выйду один, я не смогу убрать все, или, если выйдут все, то не выйду я, потому что все и без меня уберут. Другой пример - перевозка грузов в Китае, о котором я узнал в замечательной книге Стивена Ландсбурга «Экономист на диване». 100-150 лет назад в Китае был распространен способ перевозки грузов: все складывалось в большой кузов, который тащили семь человек. Заказчики платили, если груз доставлялся вовремя. Представьте, что вы - один из этих шести. Вы можете прилагать усилия, и тянуть изо всех сил, и если все будут так делать, груз доедет вовремя. Если кто-нибудь один так делать не будет, все тоже доедут вовремя. Каждый думает: «Если все остальные тянут как следует, зачем это делать мне, а если все остальные тянут не со всей силы, то я ничего не смогу изменить». В итоге, со временем доставки все было очень плохо, и сами грузчики нашли выход: они стали нанимать седьмого и платить ему деньги за то, чтобы он стегал лентяев плетью. Само наличие такого человека заставляло всех работать изо всех сил, потому что иначе все попадали в плохое равновесие, из которого никому в отдельности с выгодой не выйти.

Такой же пример можно наблюдать в природе. Дерево, растущее в саду, отличается от того, что растет в лесу, своей кроной. В первом случае она окружает весь ствол, во втором - находится только вверху. В лесу это является равновесием по Нэшу. Если бы все деревья договорились и выросли одинаково, они бы поровну распределили количество фотонов, и всем было бы лучше. Но никому в отдельности так делать невыгодно. Поэтому каждое дерево хочет вырасти немного выше окружающих.

Сommitment device

Во многих ситуациях одному из участников игры может понадобиться инструмент, который убедит остальных, что тот не блефует. Он называется commitment device. Например, закон некоторых стран запрещает платить выкуп похитителям людей, чтобы снизить мотивацию преступников. Однако это законодательство часто не работает. Если вашего родственника захватили, и у вас есть возможность спасти его, обойдя закон, вы это сделаете. Представим ситуацию, что закон можно обойти, но родственники оказались бедными и выкуп им платить нечем. У преступника в этой ситуации два пути: отпустить или убить жертву. Убивать он не любит, но тюрьму он не любит больше. Отпущенный пострадавший, в свою очередь, может либо дать показания, чтобы похититель был наказан, либо молчать. Самый лучший исход для преступника: отпустить жертву, которая его не сдаст. Жертва же хочет быть отпущенной и дать показания.

Равновесие здесь в том, что террорист не хочет быть пойманным, а значит, жертва погибает. Но это не равновесие по Парето, потому что существует вариант, при котором всем лучше - жертва на свободе хранит молчание. Но для этого надо сделать так, чтобы молчать ей было выгодно. Где-то я прочитал вариант, когда она может попросить террориста устроить эротическую фотосессию. Если преступника посадят, его подельники выложат фотографии в интернет. Теперь, если похититель останется на свободе - это плохо, но фотографии в открытом доступе - еще хуже, поэтому получается равновесие. Для жертвы это способ остаться в живых.

Другие примеры игр:

Модель Бертрана

Раз уж мы говорим об экономике, рассмотрим экономический пример. В модели Бертрана два магазина продают один и тот же товар, покупая его у производителя по одной цене. Если цены в магазинах одинаковы, то примерно одинакова и их прибыль, ведь тогда покупатели выбирают магазин случайно. Единственное равновесие по Нэшу здесь - продавать товар по себестоимости. Но магазины хотят зарабатывать. Поэтому если один поставит цену 10 рублей, второй снизит ее на копейку, увеличив тем самым свою выручку вдвое, так как к нему уйдут все покупатели. Поэтому участникам рынка выгодно снижать цены, распределяя тем самым прибыль между собой.

Разъезд на узкой дороге

Рассмотрим примеры выбора между двумя возможными равновесиями. Представьте, что Петя и Маша едут навстречу друг другу по узкой дороге. Дорога настолько узкая, что им обоим нужно съехать на обочину. Если они решат повернуть налево или направо от себя, они просто разъедутся. Если же один повернет направо, а другой налево от себя, или наоборот, случится авария. Как выбрать, куда съехать? Чтобы помогать искать равновесие в подобных играх, существуют, например, правила дорожного движения. В России каждому нужно повернуть направо.

В забаве Chiken, когда два человека едут на большой скорости навстречу друг другу, тоже есть два равновесия. Если оба сворачивают на обочину, возникает ситуация, которая называется Chiken out, если оба не сворачивают, то погибают в страшной аварии. Если я знаю, что мой соперник едет прямо, мне выгодно съехать, чтобы выжить. Если я знаю, что мой соперник съедет, то мне выгодно ехать прямо, чтобы после получить 100 долларов. Сложно предсказать, что случится на самом деле, однако, у каждого из игроков есть свой метод выиграть. Представьте, что я закрепил руль так, что его нельзя повернуть, и показал это своему сопернику. Зная, что у меня нет выбора, соперник отскочит.

QWERTY-эффект

Иногда бывает очень сложно перейти из одного равновесия в другое, даже если оно означает пользу для всех. Раскладка QWERTY была создана, чтобы замедлить скорость печати. Поскольку если бы все печатали слишком быстро, головки печатной машинки, которые бьют по бумаге, цеплялись бы друг за друга. Поэтому Кристофер Шоулз разместил часто стоящие рядом буквы на максимально далеком расстоянии. Если вы зайдете в настройки клавиатуры на своем компьютере, вы сможете выбрать там раскладку Dvorak и печатать гораздо быстрее, так как сейчас нет проблемы аналоговых печатных машин. Дворак рассчитывал, что мир перейдет на его клавиатуру, но мы по-прежнему живем с QWERTY. Конечно, если бы мы перешли на раскладку Дворака, будущее поколение было бы нам благодарно. Все мы приложили бы усилия и переучились, в результате вышло бы равновесие, в котором все печатают быстро. Сейчас мы тоже в равновесии - в плохом. Но никому не выгодно быть единственным, кто переучится, потому что за любым компьютером, кроме личного, работать будет неудобно.