Коэф автокорреляции. Автокорреляционная функция и аддитивная модель временного ряда

25.09.2019

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

(4.2)

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом .

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .

Краткая теория

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты () и циклической (сезонной) компоненты ().

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой , сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативный модели выглядит так:

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой , сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты .

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений или .

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Пример решения задачи

Условие задачи

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).

3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Чтобы решение задачи по эконометрике было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по эконометрике...

5.5

8.2

4.8

5.5

5.1

6.5

9.0

11.0

7.1

8.9

4.9

6.5

6.1

7.3

10.0

11.2

Решение задачи

1) Построим поле корреляции:

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу:

5.5

---

4.8

5.5

-2.673

-1.593

4.260

7.147

2.539

5.1

4.8

-2.373

-2.293

5.443

5.633

5.259

5.1

1.527

-1.993

-3.043

2.331

3.973

7.1

-0.373

1.907

-0.712

0.139

3.635

4.9

7.1

-2.573

0.007

-0.017

6.622

0.000

6.1

4.9

-1.373

-2.193

3.012

1.886

4.811

6.1

2.527

-0.993

-2.510

6.384

0.987

8.2

0.727

2.907

2.112

0.528

8.449

5.5

8.2

-1.973

1.107

-2.184

3.894

1.225

6.5

5.5

-0.973

-1.593

1.551

0.947

2.539

6.5

3.527

-0.593

-2.092

12.437

0.352

8.9

1.427

3.907

5.574

2.035

15.262

6.5

8.9

-0.973

1.807

-1.758

0.947

3.264

7.3

6.5

-0.173

-0.593

0.103

0.030

0.352

11.2

7.3

3.727

0.207

0.770

13.888

0.043

Сумма

112.1

106.4

10.507

64.849

52.689

Среднее значение

7.473

7.093

Следует заметить. что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, так как у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Коэффициент автокорреляции первого порядка:

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка:

5.5

---

4.8

---

5.1

5.5

-2.564

-1.579

4.048

6.576

2.492

4.8

1.336

-2.279

-3.044

1.784

5.192

7.1

5.1

-0.564

-1.979

1.116

0.318

3.915

4.9

-2.764

1.921

-5.311

7.641

3.692

6.1

7.1

-1.564

0.021

-0.034

2.447

0.000

4.9

2.336

-2.179

-5.089

5.456

4.746

8.2

6.1

0.536

-0.979

-0.524

0.287

0.958

5.5

-2.164

2.921

-6.323

4.684

8.535

6.5

8.2

-1.164

1.121

-1.306

1.356

1.258

5.5

3.336

-1.579

-5.266

11.127

2.492

8.9

6.5

1.236

-0.579

-0.715

1.527

0.335

6.5

-1.164

3.921

-4.566

1.356

15.378

7.3

8.9

-0.364

1.821

-0.664

0.133

3.318

11.2

6.5

3.536

-0.579

-2.046

12.501

0.335

Сумма

107.3

99.1

-29.721

57.192

52.644

Среднее значение

7.664

7.079

Следовательно:

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу:

Лаг

Коэффициент автокорреляции уровней

0.180

-0.542

0.129

0.980

0.987

-0.686

0.019

0.958

0.117

-0.707

-0.086

0.937

Коррелограмма:

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать выводы о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

2) Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии.

Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

Итого за четыре квартала

Скользящая средняя за четыре квартала

Центрированая скользящая средняя

Оценка сезонной компоненты

5.5

4.8

24.4

6.1

5.1

6.5

6.300

-1.200

26.1

6.525

6.513

2.488

7.1

27.1

6.775

6.650

0.450

4.9

28.1

7.025

6.900

-2.000

6.1

29.2

7.3

7.163

-1.063

29.8

7.45

7.375

2.625

8.2

30.2

7.55

7.500

0.700

5.5

31.2

7.8

7.675

-2.175

6.5

31.9

7.975

7.888

-1.388

32.9

8.225

8.100

2.900

8.9

33.7

8.425

8.325

0.575

6.5

33.9

8.475

8.450

-1.950

7.3

---

11.2

---

Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими среднеми. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты :

Показатели

Год

№ квартала,

III

---

-1.2

2.488

0.45

-2

-1.063

2.625

0.7

-2.175

-1.388

2.9

0.575

-1.95

---

Всего за i-й квартал

1.725

-6.125

-3.651

8.013

Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,

0.575

-2.042

-1.217

2.671

Скорректированная сезонная компонента,

0.578

-2.039

-1.213

2.674

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должны быть равна нулю.

Для данной модели имеем:

Корректирующий коэффициент:

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты и заносим полученные данные в таблицу.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значения из кажждого уровня исходного временного ряда. Получим величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

5.5

0.578

4.922

5.853

6.431

-0.931

0.867

3.423

4.8

-2.039

6.839

6.053

4.014

0.786

0.618

6.503

5.1

-1.213

6.313

6.253

5.040

0.060

0.004

5.063

2.674

6.326

6.453

9.127

-0.127

0.016

2.723

7.1

0.578

6.522

6.653

7.231

-0.131

0.017

0.063

4.9

-2.039

6.939

6.853

4.814

0.086

0.007

6.003

6.1

-1.213

7.313

7.053

5.840

0.260

0.068

1.563

2.674

7.326

7.253

9.927

0.073

0.005

7.023

8.2

0.578

7.622

7.453

8.031

0.169

0.029

0.722

5.5

-2.039

7.539

7.653

5.614

-0.114

0.013

3.423

6.5

-1.213

7.713

7.853

6.640

-0.140

0.020

0.723

2.674

8.326

8.053

10.727

0.273

0.075

13.323

8.9

0.578

8.322

8.253

8.831

0.069

0.005

2.403

6.5

-2.039

8.539

8.453

6.414

0.086

0.007

0.723

7.3

-1.213

8.513

8.653

7.440

-0.140

0.020

0.003

11.2

2.674

8.526

8.853

11.527

-0.327

0.107

14.823

Итого

1.876

68.500

Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени

Найлем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.

Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок:

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 99.3% общей вариации уровней временного ряда.

3) Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:

Таким образом:

Если возникли сложности с решением задач, то сайт сайт оказывает онлайн помощь студентам по эконометрике с контрольными или экзаменами.

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Все вопросы по стоимости можете задать прямо в чат, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Примеры близких по теме задач

Линейная модель парной регрессии
Задача на расчет линейной модели парной регрессии. В ходе решения приведено вычисление коэффициентов регрессии, произведена оценка их значимости, а также вычислена средняя ошибка аппроксимации и показан расчет доверительного интервала прогноза.

Модель множественной линейной регрессии
Страница содержит последовательное и систематизирование решение задачи на тему корреляционного анализа. Рассмотрена линейная модель множественной регрессии - вычисление коэффициентов регрессии и коэффициентов стандартизированного уравнения регрессии. Приведен расчет парных, частных и множественного коэффициента корреляции, коэффициентов эластичности.

После расчетов необходимо определить на каком лаге коэффициент будет максимальным (как правило, это первый лаг) и оценить его значимость. Предпосылкой для решения данной задачи является возможность проявления ошибки репрезентативности при анализе выборочных данных. Проверяется статистическая гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции равен нулю (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции является следствием проявление случайной ошибки репрезентативности). Альтернативная гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции отличен от нуля (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции может рассматриваться как оценка неизвестного генерального коэффициента автокорреляции по выборочным данным). Гипотезы проверяются через расчет t-критерия Стьюдента и сравнение расчетного значения с теоретическим.

Где r – коэффициент автокорреляции, σ r – стандартная ошибка коэффициента автокорреляции.

Ошибка рассчитывается следующим образом:

Где n – число уровней ряда

Теоретическое значение критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свобод 12 равно 2,17

Расчетное значение критерия превосходит теоретическое (16,69 против 2,17), следовательно коэффициент автокорреляции на первом лаге признается значимым.

Наличие высокой автокорреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида

(один из видов модели регрессии). Такая модель называется авторегрессией и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.

Практика показывает, что часто в отклонениях от тренда сохраняется автокорреляция. Прежде чем приступить к расчету коэффициента корреляции по остаткам, необходимо проверить наличие в них автокорреляции. Проверяемая статистическая гипотеза (H0:) формулируется следующим образом:

H0: автокорреляция в анализируемом динамическом ряду отсутствует.

Наиболее распространенным статистическим критерием оценки автокорреляции в отклонениях от тренда, является критерий Дарбина – Уотсона (d0 ), статистика критерия определяется по следующей формуле:

где – случайные отклонения от тренда .

Значение критерия изменяется в интервале от «0» до «4». При 0 < d < 2 - автокорреляция положительная,

если 2 < d < 4 – автокорреляция отрицательная.

Близость величины критерия к «2» говорит об отсутствии или несущественной автокорреляции. Оценки, получаемые по критерию «d», являются интервальными. Существуют таблицы распределения значений критерия Дарбина – Уотсона, составленные для различных уровней значимости. Таблицы составлены с учетом числа наблюдений в динамическом ряду и числа переменных в уравнении тренда.

По таблице в каждом конкретном случае находят нижнюю ( ) и верхнюю ( ) границы критерия. Результат сравнения расчетного значения с табличным интерпретируется следующим образом:

1. > , - H0 - принимается;

2. < , - H0 - отвергается;

3. , необходимо дальнейшее исследование (например, по более протяженному временному ряду).

Для проверки остатков на наличие автокорреляции можно просто рассчитать коэффициенты автокорреляции по остаткам. Данная задача решается аналогично задаче оценки автокорреляции динамических рядов. Единственное отличие: исходные данные в этом случае – это остатки по оптимальному тренду (берутся из отчетов)

Отсутствие автокорреляции в остатках определяется по величине коэффициента (меньше 0,5 – автокорреляция отсутствует). Решение данной задачи дополнительно подтверждает качество выбора тренда.

Кросс-корреляция динамических рядов – это корреляционная зависимость между динамическими рядами с заданным временным смещением (лагом). Внимание! Расчет коэффициентов кросс-корреляции проводится по остаткам с оптимальных трендов по динамическим рядам. Необходимость исключения трендовой составляющей динамического ряда объясняется тем, что при коррелировании уровней однонаправленных рядов значительно искажаются (завышаются результаты расчетов).

Остатки по двум динамическим рядам берутся из отчетов по оптимальным трендам.

Смещение (лаг) задается по аналогии с задачей автокорреляции.

Вторым отличием является необходимость рассмотрения прямой и обратной зависимости.

Последовательность задания исходных данных значения в данном случае не имеет, так как в любом случае рассматривается прямая зависимость – импорт к экспорту, и обратная – экспорт к импорту соответственно.

Третье отличие - на нулевом лаге смещение не задается

По полученным коэффициентам кросс-корреляции строится коррелограмма

По аналогии с решением задачи автокорреляции необходимо оценить значимость максимального коэффициента кросс-корреляции (как правило, это коэффициент на нулевом лаге).

Наличие высокой кросс-корреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида

(в качестве модели регрессии выбирается оптимальный тренд. В данном случае линейный). Такая модель называется регрессионной моделью с включением фактора времени) и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.

Уровни второго динамического ряда с заданным смещением на величину лага

В значительной части временных рядов между уровнями, особенно близко расположенных, существует взаимосвязь, т.е. значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутых на несколько шагов во времени. Число уровней, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом .

y t и y t -1 , т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка

, .

Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по (n –1), а не по n парам наблюдений.

Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка , коэффициент корреляции между рядами y t и y t -2 , т.е.

, (9.15)

, .

Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производится по (n –2) парам наблюдений.

Следует учитывать, что с увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Поэтому некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный порядок коэффициента автокорреляции не должен превышать n /4.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:

Во-первых, он строится по аналогии с обычным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициентам автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, парабола или экспонента), коэффициенты автокорреляции уровней могут приближаться к нулю.

По длинному временному ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: r 1 , r 2 , r 3 , … Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет уточнить структуру временного ряда, выявить наличие или отсутствие в нём тенденции или периодических колебаний. Если временной ряд характеризуется чётко выраженной линейной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции 1-го порядка приближается к 1. Если же временной ряд содержит периодические колебания, то и автокорреляционная функция также будет содержать периодические колебания. Если временной ряд не содержит периодических колебаний, то коррелограмма представляет собой затухающую функцию, т.е. коэффициенты автокорреляции высоких порядков приближаются к нулю.

Анализ коррелограммы – это порой довольно непростая задача. Поэтому мы кратко остановимся на типичном поведении коррелограмм для некоторых классов временных рядов. Для начала рассмотрим поведение коррелограммы для некоторых нестационарных временных рядов. На графиках кроме значений самой функции, обычно указывают доверительные пределы этой функции

Для временного ряда, содержащего тренд , коррелограмма не стремится к нулю с ростом значения лага t. Ее характерное поведение изображено на рис.9.1.

Рис. 9.1. Коррелограмма ряда урожайности зерновых культур в Росиис 1945 по 1989 гг. в ц/га: а) исходный временной ряд; б) его коррелограмма.

Для временного ряда с сезонными колебаниями коррелограмма также будет содержать периодические всплески, соответствующие периоду сезонных колебаний. Это позволяет устанавливать предполагаемый период сезонности. Типичное поведение коррелограммы приведено на рис.9.2.

Рис. 9.2. Коррелограмма ряда месячных продаж шампанского за 7 последовательных лет в логарифмической шкале (после удаления линейного тренда): а) преобразованный исходный временной ряд; б) его коррелограмма.

Пример 9.1. Имеются поквартальные условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона.

Таблица 9.7

Построить автокорреляционную функцию временного ряда.

Решение. Для расчета коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда составим таблицу (табл. 9.8):

Таблица 9.8

t	y t	y t -1	y t -2	y t -3	y t -4	y t -5	y t -6
	6,0	–	–	–	–	–	–
	4,4	6,0	–	–	–	–	–
	5,0	4,4	6,0	–	–	–	–
	9,0	5,0	4,4	6,0	–	–	–
	7,2	9,0	5,0	4,4	6,0	–	–
	4,8	7,2	9,0	5,0	4,4	6,0	–
	6,0	4,8	7,2	9,0	5,0	4,4	6,0
	10,0	6,0	4,8	7,2	9,0	5,0	4,4
	8,0	10,0	6,0	4,8	7,2	9,0	5,0
	5,6	8,0	10,0	6,0	4,8	7,2	9,0
	6,4	5,6	8,0	10,0	6,0	4,8	7,2
	11,0	6,4	5,6	8,0	10,0	6,0	4,8
	9,0	11,0	6,4	5,6	8,0	10,0	6,0
	6,6	9,0	11,0	6,4	5,6	8,0	10,0
	7,0	6,6	9,0	11,0	6,4	5,6	8,0
	10,8	7,0	6,6	9,0	11,0	6,4	5,6

Определим коэффициент корреляции между рядами y t и y t -1 , т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по 15, а не по 16 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 1-го порядка (таб. 9.9):

Таблица 9.9

t	y t	y t -1
	6,0	–	–	–	–	–	–
	4,4	6,0	-2,987	-1,067	3,186	8,920	1,138
	5,0	4,4	-2,387	-2,667	6,364	5,696	7,111
	9,0	5,0	1,613	-2,067	-3,334	2,603	4,271
	7,2	9,0	-0,187	1,933	-0,361	0,035	3,738
	4,8	7,2	-2,587	0,133	-0,345	6,691	0,018
	6,0	4,8	-1,387	-2,267	3,143	1,923	5,138
	10,0	6,0	2,613	-1,067	-2,788	6,830	1,138
	8,0	10,0	0,613	2,933	1,799	0,376	8,604
	5,6	8,0	-1,787	0,933	-1,668	3,192	0,871
	6,4	5,6	-0,987	-1,467	1,447	0,974	2,151
	11,0	6,4	3,613	-0,667	-2,409	13,056	0,444
	9,0	11,0	1,613	3,933	6,346	2,603	15,471
	6,6	9,0	-0,787	1,933	-1,521	0,619	3,738
	7,0	6,6	-0,387	-0,467	0,180	0,150	0,218
	10,8	7,0	3,413	-0,067	-0,228	11,651	0,004
Среднее	110,8				9,813	65,317	54,053

По данным таблицы находим

, .

Используя формулу (9.14), находим

Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами y t и y t -2 . Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производиться по 14 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 2-го порядка (таб. 9.10):

Таблица 9.10

t	y t	y t -2
	6,0	–	–	–	–	–	–
	4,4	–	–	–	–	–	–
	5,0	6,0	-2,600	-1,071	2,786	6,760	1,148
	9,0	4,4	1,400	-2,671	-3,740	1,960	7,137
	7,2	5,0	-0,400	-2,071	0,829	0,160	4,291
	4,8	9,0	-2,800	1,929	-5,400	7,840	3,719
	6,0	7,2	-1,600	0,129	-0,206	2,560	0,017
	10,0	4,8	2,400	-2,271	-5,451	5,760	5,159
	8,0	6,0	0,400	-1,071	-0,429	0,160	1,148
	5,6	10,0	-2,000	2,929	-5,857	4,000	8,577
	6,4	8,0	-1,200	0,929	-1,114	1,440	0,862
	11,0	5,6	3,400	-1,471	-5,003	11,560	2,165
	9,0	6,4	1,400	-0,671	-0,940	1,960	0,451
	6,6	11,0	-1,000	3,929	-3,929	1,000	15,434
	7,0	9,0	-0,600	1,929	-1,157	0,360	3,719
	10,8	6,6	3,200	-0,471	-1,509	10,240	0,222
Среднее	106,4				-31,120	55,760	54,049

По данным таблицы находим

, .

Используя формулу (9.15), находим

Аналогичным образом рассчитываем коэффициенты автокорреляции 3-го и более высоких порядков. (Заметим, что в программе Exel коэффициенты корреляции рассчитываются при помощи функции КОРРЕЛ). В результате получим автокорреляционную функцию исходного временного ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таб. 9.11.

Таблица 9.11

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых , линейной тенденции, во-вторых , сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 9.1).

Если временной ряд содержит только случайную компоненту, то уровни временного ряда будут независимы друг от друга. Если же временной ряд содержит тенденцию или циклические колебания, то значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Автокорреляцию можно измерить количественно. Для этого рассчитывают линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на один или несколько шагов во времени.

Например, разумно предположить, что доходы домохозяйства в текущем году зависят от доходов домохозяйства предыдущих лет. Определим коэффициент корреляции между ними. Известна рабочая формула линейного коэффициента корреляции

В качестве фактора мы рассмотрим доходы предшествующего периода (у t-1 ), а в качестве результата – доходы текущего периода (у t ), тогда приведенная выше формула примет вид

Средний уровень по исходному ряду динамики, определенный без учета первого уровня,

а - это средний уровень по ряду динамики, сдвинутому на одну дату.

Расстояние между уровнями временного ряда, для которых определяется коэффициент корреляции, называется лагом. Приведенная выше формула определяет величину автокорреляции между соседними уровнями, то есть при лаге = 1, поэтому этот коэффициент называют коэффициентом автокорреляции первого порядка. Допустим, r 1 = 0,98. Полученное значение свидетельствует об очень сильной зависимости между доходами текущего и предшествующего периода и, следовательно, о наличии в ряду сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями со сдвигом на две даты, то есть с лагом 2 и т.д.

С увеличением лага число пар, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается и, следовательно, снижается достоверность коэффициентов. Поэтому для обеспечения статистической достоверности лаг не должен быть больше, чем п / 4, где п – число уровней.

При анализе коэффициентов автокорреляции следует помнить следующее:

1. он определяется по формуле линейного коэффициента корреляции, таким образом, он измеряет тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней временного ряда. Для временных, рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней может быть близким к нулю;

2. Знак коэффициента автокорреляции не указывает на направление тенденции в исходном ряду данных (возрастание или убывание). Большинство временных рядов экономических переменных содержат положительную автокорреляцию уровней, но при этом сам ряд может иметь и отрицательную тенденцию.

Если расположить коэффициенты по величине лага (то есть коэффициенты первого порядка, второго, третьего и т.д.), то мы получим автокорреляционную функцию временного ряда . График зависимости величины коэффициента автокорреляции от лага называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру временного ряда. Выявить структуру временного ряда – это значит выявить наличие или отсутствие его основных компонент (Т – трендовой компоненты и S – сезонной или циклической компоненты). Ряд может состоять только из трендовой и случайной компонент; или циклической и случайной; может содержать только случайную компоненту или все три компоненты одновременно.

Если наиболее высоким оказался коэффициент первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка К, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в К моментов времени, Так, например, если при анализе временного ряда наиболее высокими оказались коэффициенты автокорреляции второго порядка, то ряд имеет циклы в два периода времени, то есть имеет так называемую пилообразную структуру. Наиболее высокий коэффициент четвертого порядка указывает на наличие в ряду цикла в четыре момента (периода) времени. Если ни один из коэффициентов не является статистически значимым, то можно сделать следующие предположения:

1. ряд не содержит ни тенденции, ни циклов, а состоит только из случайной компоненты;

2. ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

При моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или цикличность. В этом случае остатки не являются независимыми, каждое последующее значение остатка зависит от предыдущего. Это явление получило название автокорреляция остатков.

Назовем причины существования автокорреляции остатков:

1. в модель не включен фактор, оказывающий существенной воздействие на результат; его влияние будет отражаться в остатках, то есть они могут быть автокоррелированы;

2. модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых может быть существенным (если их тенденции совпадают или фазы цикличности совпадают);

3. автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели.

Существуют два способа определения автокорреляции в остатках. Первый заключается в визуальном анализе графика зависимостей остатков от времени. Второй способ предполагает использование критерия Дарбина-Уотсона. Величину критерия (d) можно определить по одной из формул

либо d 2(1 – r e 1) ,

где r e 1 – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция , то r e 1 =1 и d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то

r e 1 =-1 и d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r e 1 =0 и d = 2.

На практике используется следующий алгоритм проверки гипотезы об автокорреляции остатков:

1. выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках;

2. определяется фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона (d);

3. по специальным таблицам (приложение учебника по эконометрике) находят критические значения критерия d L и d u , где п – число наблюдений, k - независимых переменных в модели, - уровень значимости;

4. числовой промежуток всех возможных значений d разбивается на 5 отрезков

0 d L d u 2 4- d u 4 - d L 4

5. если d - фактическое попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции в остатках.

В последнем случае исследовать причинно-следственные связи переменных по остаткам нельзя, получим ложную корреляцию.

При нарушении гомоскедастичности (т.е. наличие гетероскедастичности) и наличии автокорреляции остатков рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (МНК), который проводится по исходным данным, заменять обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК), который проводится по преобразованным данным.

4.1. Автокорреляция уровней временного ряда

(4.1)

Где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и
.

(4.2)

где

(7.1.)

где
, а
.

Число периодов , по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом . С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше
.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию . Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Рассмотрим пример . Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).

Таблица 4.1

			Количество возбужденных дел,

Построим поле корреляции:

Рис. 4.4.

Таблица 4.2





















Среднее значение

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 4.3




















Среднее значение

Следовательно

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 4.4

	Коэффициент автокорреляции уровней

Коррелограмма:

Рис. 4.5.

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

Автокорреляция уровней временного ряда

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Автокорреляция во временных рядах

Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции , которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на t единиц времени определяется величиной коэффициента корреляции , так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть . График автокорреляционной функции называется корреллограммой .

Выборочный коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле:

(3.4.13)

Для расчета коэффициента автокорреляции по формуле (3.4.12) в Excel можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ. Предположим, что базовая переменная включает диапазон А1:А34.

Тогда коэффициент автокорреляции равен:

КОРРЕЛ (А1:А33; А2:А34).

На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (3.4.13).

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты (f(t)) и сезонной компоненты (S).

Пример 3.4.3. Анализ временного ряда валового внутреннего продукта

Валовой внутренний продукт (ВВП ) – представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования – стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта.

В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) – квартальные данные с 1994:1 по 2003:1 (Табл. 3.4.7). График этого ряда приведен на рис.3.4.6.

Из него видно, что данные обладают повышающим трендом. Таким образом, уже визуальный анализ позволяет сделать вывод о нестационарности исходного временного ряда.

Проверим данное предположение, вычислим коэффициенты автокорреляции (табл. 3.4.8) и построим график автокорреляционной функции временного ряда ВВП (коррелограмму) (см. Рис. 3.4.7).

Табл. 3.4.7. ВВП[

Дата	4кв.1994	1кв.1995	2кв.1995	3кв.1995	4кв.1995	1кв.1996	2кв.1996	3кв.1996	4кв.1996	1кв.1997
ВВП	225.00	235.00	325.00	421.00	448.00	425.00	469.00	549.00	565.00	513.00
№

Дата	2кв.1997	3кв.1997	4кв.1997	1кв.1998	2кв.1998	3кв.1998	4кв.1998	1кв.1999	2кв.1999	3кв.1999
ВВП	555.00	634.00	641.00	551.00	602.00	676.00	801.00	901.00	1102.00	1373.00
№

Дата	4кв.1999	1кв.2000	2кв.2000	3кв.2000	4кв.2000	1кв.2001	2кв.2001	3кв.2001	4кв.2001	1кв.2002
ВВП.	1447.00	1527.00	1697.00	2038.00	2044.00	1922.00	2120.00	2536.00	2461.00	2268.00
№

Дата	2кв.2002	3кв.2002	4кв.2002	1кв.2003
ВВП	2523.00	3074.00	2998.00	2893.10
№

Табл. 3.4.8.

Рис. 3.4.7. Коррелограмма.

Коррелограмма автокорреляционной функции в случае стационарного временного ряда должна быстро убывать с ростом t после нескольких первых значений. Рис. 3.4.7 показывает, что исследуемый ряд не является стационарным. Временной ряд валового внутреннего продукта содержит трендовую компоненту.

hram-bal.ru

Условие задачи

Решение задачи

4.1. Автокорреляция уровней временного ряда

Автокорреляция уровней временного ряда

Автокорреляция во временных рядах