Ошибки систематические и случайные
Модульная единица 2 Ошибки выборки
Поскольку выборка охватывает, как правило, весьма незначительную часть генеральной совокупности, то следует предполагать, что будут иметь место различия между оценкой и характеристикой генеральной совокупности, которую эта оценка отображает. Эти различия получили название ошибок отображения или ошибок репрезентативности. Ошибки репрезентативности подразделяются на два типа: систематические и случайные.
Систематические ошибки - это постоянное завышение или занижение значения оценки по сравнению с характеристикой генеральной совокупности. Причиной появления систематической ошибки является несоблюдение принципа равновероятности попадания каждой единицы генеральной совокупности в выборку, то есть выборка формируется из преимущественно «худших» (или « лучших») представителей генеральной совокупности. Соблюдение принципа равновозможности попадания каждой единицы в выборку позволяет полностью исключить этот тип ошибок.
Случайные ошибки – это меняющиеся от выборки к выборке по знаку и величине различия между оценкой и оцениваемой характеристикой генеральной совокупности. Причина возникновения случайных ошибок- игра случая при формировании выборки, составляющей лишь часть генеральной совокупности. Этот тип ошибок органически присущ выборочному методу. Исключить их полностью нельзя, задача состоит в том, чтобы предсказать их возможную величину и свести их к минимуму. Порядок связанных в связи с этим действий вытекает из рассмотрения трех видов случайных ошибок: конкретной, средней и предельной.
2.2.1 Конкретная ошибка – это ошибка одной проведенной выборки. Если средняя по этой выборке () является оценкой для генеральной средней (0) и, если предположить, что эта генеральная средняя нам известна, то разница = -0 и будет конкретной ошибкой этой выборки. Если из этой генеральной совокупности выборку повторим многократно, то каждый раз получим новую величину конкретной ошибки: …, и так далее. Относительно этих конкретных ошибок можно сказать следующее: некоторые из них будут совпадать между собой по величине и знаку, то есть имеет место распределение ошибок, часть из них будет равна 0, наблюдается совпадение оценки и параметра генеральной совокупности;
2.2.2 Средняя ошибка – это средняя квадратическая из всех возможных по воле случая конкретных ошибок оценки: , где - величина меняющихся конкретных ошибок; частота (вероятность) встречаемости той или иной конкретной ошибки. Средняя ошибка выборки показывает насколько в среднем можно ошибиться, если на основе оценки делается суждение о параметре генеральной совокупности. Приведенная формула раскрывает содержание средней ошибки, но она не может быть использована для практических расчетов, хотя бы потому, что предполагает знание параметра генеральной совокупности, что само по себе исключает необходимость выборки.
Практические расчеты средней ошибки оценки основываются на той предпосылке, что она (средняя ошибка) по сути является средним квадратическим отклонением всех возможных значений оценки. Эта предпосылка позволяет получить алгоритмы расчета средней ошибки, опирающиеся на данные одной единственной выборки. В частности средняя ошибка выборочной средней может быть установлена на основе следующих рассуждений. Имеется выборка (,… ) состоящая из единиц. По выборке в качестве оценки генеральной средней определена выборочная средняя . Каждое значение(,… ) , стоящее под знаком суммы, следует рассматривать как независимую случайную величину, поскольку при бесконечном повторении выборки первая, вторая и т.д. единицы могут принимать любые значения из присутствующих в генеральной совокупности. Следовательно 
Поскольку, как известно, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий, то 
. Отсюда следует, что средняя ошибка для выборочной средней будет равная и находится она в обратной зависимости от численности выборки (через корень квадратный из нее) и в прямой от среднего квадратического отклонения признака в генеральной совокупности. Это логично, поскольку выборочная средняя является состоятельной оценкой для генеральной средней и по мере увеличения численности выборки приближается по своему значению к оцениваемому параметру генеральной совокупности. Прямая зависимость средней ошибки от колеблемости признака обусловлена тем, что чем больше изменчивость признака в генеральной совокупности, тем сложнее на основе выборки построить адекватную модель генеральной совокупности. На практике среднее квадратическое отклонение признака по генеральной совокупности заменяется его оценкой по выборке, и тогда формула для расчета средней ошибки выборочной средней приобретает вид:, при этом учитывая смещенность выборочной дисперсии , выборочное среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле = . Так как символом n обозначена численность выборки. ,то в знаменателе при расчете среднего квадратического отклонения должна использоваться не численность выборки (n), а так называемое число степеней свободы (n-1). Под числом степеней свободы понимается число единиц в совокупности, которые могут свободно варьировать (изменяться), если по совокупности определена какая-либо характеристика. В нашем случае, поскольку по выборке определена ее средняя, свободно варьировать могут единицы.
В таблице 2.2 приведены формулы для расчета средних ошибок различных выборочных оценок. Как видно из этой таблицы, величина средней ошибки по всем оценкам находится в обратной связи с численностью выборки и в прямой с колеблемостью. Это можно сказать и относительно средней ошибки выборочной доли (частости). Под корнем стоит дисперсия альтернативного признака, установленная по выборке ()
Приведенные в таблице 2.2 формулы относятся к так называемому случайному, повторному отбору единиц в выборку. При других способах отбора, о которых речь пойдет ниже, формулы будут несколько видоизменяться.
Таблица 2.2
Формулы для расчета средних ошибок выборочных оценок
2.2.3 Предельная ошибка выборки Знание оценки и ее средней ошибки в ряде случаев совершенно недостаточно. Например, при использовании гормонов при кормлении животных знать только средний размер неразложившихся их вредных остатков и среднюю ошибку, значит подвергать потребителей продукции серьезной опасности. Здесь настоятельно напрашивается необходимость определения максимальной (предельной ошибки ). При использовании выборочного метода предельная ошибка устанавливается не в виде конкретной величины, а виде равных границ
(интервалов) в ту и другую сторону от значения оценки.
Определение границ предельной ошибки основывается на особенностях распределения конкретных ошибок. Для так называемых больших выборок, численность которых более 30 единиц () , конкретные ошибки распределяются в соответствии с нормальным законом распределения; при малых выборках () конкретные ошибки распределяются в соответствии с законом распределения Госсета
(Стьюдента). Применительно к конкретным ошибкам выборочной средней функция нормального распределения имеет вид: 
, где - плотность вероятности появления тех или иных значений , при условии, что , где выборочные средние; - генеральная средняя, - средняя ошибка для выборочной средней. Поскольку средняя ошибка () является величиной постоянной, то в соответствии с нормальным законом распределяются конкретные ошибки , выраженные в долях средней ошибки, или так называемых нормированных отклонениях.
Взяв интеграл функции нормального распределения, можно установить вероятность того, что ошибка будет заключена в некотором интервале изменения t и вероятность того, что ошибка выйдет за пределы этого интервала (обратное событие). Например, вероятность того, что ошибка не превысит половину средней ошибки (в ту и другую сторону от генеральной средней) составляет 0,3829, что ошибка будет заключена в пределах одной средней ошибки - 0,6827, 2-х средних ошибок -0,9545 и так далее.
Взаимосвязь между уровнем вероятности и интервалом изменения t (а в конечном счете интервалом изменения ошибки) позволяет подойти к определению интервала (или границ) предельной ошибки, увязав его величину с вероятностью осуществления.. Вероятность осуществления -это вероятность того, что ошибка будет находится в некотором интервале. Вероятность осуществления будет «доверительной» в том случае, если противоположное событие (ошибка будет находится вне интервала) имеет такую вероятность появления, которой можно пренебречь. Поэтому доверительный уровень вероятности устанавливают, как правило, не ниже 0,90 (вероятность противоположного события равна 0,10). Чем больше негативных последствий имеет появление ошибок вне установленного интервала, тем выше должен быть доверительный уровень вероятности (0,95; 0,99 ; 0,999 и так далее).
Выбрав доверительный уровень вероятности по таблице интеграла вероятности нормального распределения, следует найти соответствующее значение t, а затем используя выражение =определить интервал предельной ошибки . Смысл полученной величины в следующем – с принятым доверительным уровнем вероятности предельная ошибка выборочной средней не превысит величину .
Для установления границ предельной ошибки на основе больших выборок для других оценок (дисперсии, среднего квадратического отклонения, доли и так далее) используется выше рассмотренный подход, с учетом того, что для определения средней ошибки для каждой оценки используется свой алгоритм.
Что касается малых выборок () то, как уже говорилось, распределение ошибок оценок соответствует в этом случае распределению t - Стьюдента. Особенность этого распределения состоит в том, что в качестве параметра в нем, наряду с ошибкой, присутствует численность выборки,вернее не численность выборки, а число степеней свободы При увеличении численности выборки распределение t-Стьюдента приближается к нормальному, а при эти распределения практически совпадают. Сопоставляя значения величины t-Стьюдента и t - нормального распределения при одной и той же доверительной вероятности можно сказать, что величина t-Стьюдента всегда больше t - нормального распределения, причем, различия возрастают с уменьшением численности выборки и с повышением доверительного уровня вероятности. Следовательно, при использовании малых выборок имеют место по сравнению с выборками большими, более широкие границы предельной ошибки, причем, эти границы расширяются с уменьшением численности выборки и повышением доверительного уровня вероятности.
Средняя и предельная ошибки выборки
Основное преимущество выборочного наблюдения среди прочих других - возможность рассчитать случайную ошибку выборки.
Ошибки выборки бывают систематические и случайные.
Систематические - в том случае, когда нарушен основной принцип выборки - случайности. Случайные - возникают обычно ввиду того, что структура выборочной совокупности всегда отличается от структуры генеральной совокупности, как бы правильно ни был произведен отбор, то есть, несмотря на принцип случайности отбора единиц совокупности, все же имеются расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности. Изучение и измерение случайных ошибок репрезентативности и является основной задачей выборочного метода.
Как правило, чаще всего рассчитывают ошибку средней и ошибку доли. При расчетах используются следующие условные обозначения:
Средняя, рассчитанная в пределах генеральной совокупности;
Средняя, рассчитанная в пределах выборочной совокупности;
р - доля данной группы в генеральной совокупности;
w - доля данной группы в выборочной совокупности.
Используя условные обозначения, ошибки выборки для средней и для доли можно записать следующим образом:
Выборочная средняя и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать любые значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок μ.
В отличие от систематической, случайную ошибку можно определить заранее, до проведения выборки, согласно предельных теорем, рассматриваемых в математической статистике.
Средняя ошибка определяется с вероятностью 0,683. В случае другой вероятности говорят о предельной ошибке.
Средняя ошибка выборки для средней и для доли определяется следующим образом:
В этих формулах дисперсия признака является характеристикой генеральной совокупности, которые при выборочном наблюдении неизвестны. На практике их заменяют аналогичными xapaктеристиками выборочной совокупности на основании закона больших чисел, по которому выборочная совокупность большом объеме точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.
Формулы определения средней ошибки для различных способ отбора:
| Способ отбора | Повторный | Бесповторный | ||
| ошибка средней | ошибка доли | ошибка средней | ошибка доли | |
| Собственно-случайный и механический |  |
|||
| Типический | |
|||
| Серийный |
μ - средняя ошибка;
∆ - предельная ошибка;
п - численность выборки;
N - численность генеральной совокупности;
w - доля данной категории в общей численности выборки:
Средняя из внутригрупповых дисперсии;
Δ 2 - межгрупповая дисперсия;
r - число серий в выборке;
R - общее число серий.
Предельная ошибка для всех способов отбора связана со средней ошибкой выборки следующим образом:
где t - коэффициент доверия, функционально связанный с вероятностью, с которой обеспечивается величина предельной ошибки. В зависимости от вероятности коэффициент доверия t принимает следующие значения:
| t | P |
| 0,683 | |
| 1,5 | 0,866 |
| 2,0 | 0,954 |
| 2,5 | 0,988 |
| 3,0 | 0,997 |
| 4,0 | 0,9999 |
Например, вероятность ошибки равна 0,683. Это значит, что генеральная средняя отличается от выборочной средней по абсолютной величине не более чем на величину μ с вероятностью 0,683, то если - выборочная средняя, - генеральная средняя, то с вероятностью 0,683.
Если мы хотим обеспечить большую вероятность выводов, тем самым мы увеличиваем границы случайной ошибки.
Таким образом, величина предельной ошибки зависит от следующих величин:
Колеблемости признака (прямая связь), которую характеризует величина дисперсии;
Численности выборки (обратная связь);
Доверительной вероятности (прямая связь);
Метода отбора.
Пример расчета ошибки средней и ошибки доли.
Для определения среднего числа детей в семье методом случайной бесповторной выборки из 1000 семей отобраны 100. Результаты приведены в таблице:
Определите: .
- с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и границы, в которых находится средне число детей в семье;
- с вероятностью 0,954 границы, в которых находится удельный вес семей с двумя детьми.
1. Определим предельную ошибку средней с вероятностью 0,977. Для упрощения расчетов воспользуемся способом моментов:
p = 0,997 t = 3
средняя ошибка средней, 0,116 - предельная ошибка
2,12 – 0,116 ≤ ≤ 2,12+ 0,116
2,004 ≤ ≤ 2,236
Следовательно, с вероятностью 0,997 среднее число детей в семье в генеральной совокупности, то есть среди 1000 семей, находится в интервале 2,004 - 2,236.
Расхождения между величиной какого-либо показателя, найденного посредством статистического наблюдения, и действительными его размерами называются ошибками наблюдения . В зависимости от причин возникновения различают ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.
Ошибки регистрации возникают в результате неправильного установления фактов или ошибочной записи в процессе наблюдения или опроса. Они бывают случайными или систематическими. Случайные ошибки регистрации могут быть допущены как опрашиваемыми в их ответах, так и регистраторами. Систематические ошибки могут быть и преднамеренными, и непреднамеренными. Преднамеренные – сознательные, тенденциозные искажения действительного положения дела. Непреднамеренные вызываются различными случайными причинами (небрежность, невнимательность).
Ошибки репрезентативности (представительности) возникают в результате неполного обследования и в случае, если обследуемая совокупность недостаточно полно воспроизводит генеральную совокупность. Они могут быть случайными и систематическими. Случайные ошибки репрезентативности – это отклонения, возникающие при несплошном наблюдении из-за того, что совокупность отобранных единиц наблюдения (выборка) неполно воспроизводит всю совокупность в целом. Систематические ошибки репрезентативности – это отклонения, возникающие вследствие нарушения принципов случайного отбора единиц. Ошибки репрезентативности органически присущи выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Избежать ошибок репрезентативности нельзя, однако, пользуясь методами теории вероятностей, основанными на использовании предельных теорем закона больших чисел, эти ошибки можно свести к минимальным значениям, границы которых устанавливаются с достаточно большой точностью.
Ошибки выборки – разность между характеристиками выборочной и генеральной совокупности. Для среднего значения ошибка будет определяться по формуле
где
Величина
называетсяпредельной ошибкой
выборки.
Предельная ошибка выборки – величина случайная. Исследованию закономерностей случайных ошибок выборки посвящены предельные теоремы закона больших чисел. Наиболее полно эти закономерности раскрыты в теоремах П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова.
Теорему П.
Л. Чебышева
применительно к
рассматриваемому методу можно
сформулировать следующим образом: при
достаточно большом числе независимых
наблюдений можно с вероятностью, близкой
к единице (т. е. почти с достоверностью),
утверждать, что отклонение выборочной
средней от генеральной будет сколько
угодно малым. В теореме П. Л. Чебышева
доказано, что величина ошибки не должна
превышать
.
В свою очередь величина
,
выражающая среднее квадратическое
отклонение выборочной средней от
генеральной средней, зависит от
колеблемости признака в генеральной
совокупности
и числа отобранных единицn
. Эта
зависимость выражается формулой
,
(7.2)
где
зависит также от способа производства
выборки.
Величину
=
называютсредней ошибкой выборки.
В
этом выражении
– генеральная дисперсия,n
– объем
выборочной совокупности.
Рассмотрим, как влияет на величину средней ошибки число отбираемых единиц n . Логически нетрудно убедиться, что при отборе большого числа единиц расхождения между средними будут меньше, т. е. существует обратная связь между средней ошибкой выборки и числом отобранных единиц. При этом здесь образуется не просто обратная математическая зависимость, а такая зависимость, которая показывает, что квадрат расхождения между средними обратно пропорционален числу отобранных единиц.
Увеличение колеблемости признака влечет за собой увеличение среднего квадратического отклонения, а следовательно, и ошибки. Если предположить, что все единицы будут иметь одинаковую величину признака, то среднее квадратическое отклонение станет равно нулю и ошибка выборки также исчезнет. Тогда нет необходимости применять выборку. Однако следует иметь в виду, что величина колеблемости признака в генеральной совокупности неизвестна, поскольку неизвестны размеры единиц в ней. Можно рассчитать лишь колеблемость признака в выборочной совокупности. Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупности выражается формулой
Поскольку
величина
при достаточно большихn
близка к
единице, можно приближенно считать, что
выборочная дисперсия равна генеральной
дисперсии, т. е.
Следовательно,
средняя ошибка выборки показывает,
какие возможны отклонения характеристик
выборочной совокупности от соответствующих
характеристик генеральной совокупности.
Однако о величине этой ошибки можно
судить с определенной вероятностью. На
величину вероятности указывает множитель
Теорема А. М. Ляпунова . А. М. Ляпунов доказал, что распределение выборочных средних (следовательно, и их отклонений от генеральной средней) при достаточно большом числе независимых наблюдений приближенно нормально при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.
Математически теорему Ляпунова можно записать так:
(7.3)
где
,
(7.4)
где 
– математическая постоянная;
–предельная ошибка выборки
,
которая дает возможность выяснить, в
каких пределах находится величина
генеральной средней.
Значения этого интеграла для различных значений коэффициента доверия t вычислены и приводятся в специальных математических таблицах. В частности, при:
Поскольку t
указывает на вероятность расхождения
,
т. е. на вероятность того, на какую
величину генеральная средняя будет
отличаться от выборочной средней, то
это может быть прочитано так: с вероятностью
0,683 можно утверждать, что разность между
выборочной и генеральной средними не
превышает одной величины средней ошибки
выборки. Другими словами, в 68,3 % случаев
ошибка репрезентативности не выйдет
за пределы
С вероятностью 0,954 можно утверждать,
что ошибка репрезентативности не
превышает
(т. е. в 95 % случаев). С вероятностью
0,997, т. е. довольно близкой к единице,
можно ожидать, что разность между
выборочной и генеральной средней не
превзойдет трехкратной средней ошибки
выборки и т. д.
Логически связь здесь выглядит довольно ясно: чем больше пределы, в которых допускается возможная ошибка, тем с большей вероятностью судят о ее величине.
Зная выборочную
среднюю величину признака
и предельную ошибку выборки
,
можно определить границы (пределы),
в которых заключена генеральная
средняя
1 . Собственно-случайная выборка – этот способ ориентирован на выборку единиц из генеральной совокупности без всякого расчленения на части или группы. При этом для соблюдения основного принципа выборки – равной возможности всем единицам генеральной совокупности быть отобранным – используются схема случайного извлечения единиц путем жеребьевки (лотереи) или таблицы случайных чисел. Возможен повторный и бесповторный отбор единиц
Средняя ошибка собственно-случайной выборкипредставляет собойсреднеквадратическое отклонение возможных значений выборочной средней от генеральной средней. Средние ошибки выборки при собственно-случайном методе отбора представлены в табл. 7.2.
Таблица 7.2
|
Средняя ошибка выборки μ |
При отборе |
|
|
повторном |
бесповторном |
|
|
Для средней |
|
|
|
|
|
|
В таблице использованы следующие обозначения:
– дисперсия выборочной совокупности;
– численность выборки;
– численность генеральной совокупности;
– выборочная доля единиц, обладающих
изучаемым признаком;
– число единиц, обладающих изучаемым
признаком;
– численность выборки.
Для увеличения
точности вместо множителя
следует
брать множитель
,
но при большой численностиN
различие
между этими выражениями практического
значения не имеет.
Предельная
ошибка собственно-случайной выборки
рассчитывается по формуле
,
(7.6)
где t – коэффициент доверия зависит от значения вероятности.
Пример. При обследовании ста образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, 20 оказалось нестандартными. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.
Решение
.
Вычислим генеральную долю (Р
):
.
Доля нестандартной
продукции:
.
Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 рассчитывается по формуле (7.6) с применением формулы табл. 7.2 для доли:
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля нестандартной продукции в партии товара находится в пределах 12 % ≤ P ≤ 28 %.
В практике
проектирования выборочного наблюдения
возникает потребность определения
численности выборки, которая необходима
для обеспечения определенной точности
расчета генеральных средних. Предельная
ошибка выборки и ее вероятность при
этом являются заданными. Из формулы
и формул средних ошибок выборки
устанавливается необходимая численность
выборки. Формулы для определения
численности выборки (n
) зависят от
способа отбора. Расчет численности
выборки для собственно-случайной выборки
приведен в табл. 7.3.
Таблица 7.3
|
Предполагаемый отбор | ||
|
для средней | ||
|
Повторный |
|
|
|
Бесповторный |
|
|
2
.
Механическая выборка
– при этом
методе исходят из учета некоторых
особенностей расположения объектов в
генеральной совокупности, их упорядоченности
(по списку, номеру, алфавиту). Механическая
выборка осуществляется путем отбора
отдельных объектов генеральной
совокупности через определенный интервал
(каждый 10-й или 20-й). Интервал рассчитывается
по отношению
,
гдеn
– численность выборки,N
–
численность генеральной совокупности.
Так, если из совокупности в 500 000 единиц
предполагается получить 2 %-ную выборку,
т. е. отобрать 10 000
единиц, то пропорция отбора составит
Отбор
единиц осуществляется в соответствии
с установленной пропорцией через равные
интервалы. Если расположение объектов
в генеральной совокупности носит
случайный характер, то механическая
выборка по содержанию аналогична
случайному отбору. При механическом
отборе применяется только бесповторная
выборка .
Средняя ошибка и численность выборки при механическом отборе подсчитывается по формулам собственно-случайной выборки (см. табл. 7.2 и 7.3).
3
.
Типическая выборка
, при котрой
генеральная совокупность делится по
некоторым существенным признакам на
типические группы; отбор единиц
производится из типических групп. При
этом способе отбора генеральная
совокупность расчленяется на однородные
в некотором отношении группы, которые
имеют свои характеристики, и вопрос
сводится к определению объема выборок
из каждой группы. Может бытьравномерная
выборка
– при этом способе из каждой
типической группы отбирается одинаковое
число единиц
Такой подход оправдан лишь при равенстве
численностей исходных типических групп.
При типическом отборе, непропорциональном
объему групп, общее число отбираемых
единиц делится на число типических
групп, полученная величина дает
численность отбора из каждой типической
группы.
Более совершенной формой отбора является пропорциональная выборка . Пропорциональной называется такая схема формирования выборочной совокупности, когда численность выборок, взятых из каждой типической группы в генеральной совокупности, пропорциональна численностям, дисперсиям (или комбинированно и численностям, и дисперсиям). Условно определяем численность выборки в 100 единиц и отбираем единицы из групп:
– пропорционально численности их генеральной совокупности (табл. 7.4). В таблице обозначено:
N i – численность типической группы;
d j – доля (N i /N );
N – численность генеральной совокупности;
n i – численность выборки из типической группы вычисляется:
, (7.7)
n – численность выборки из генеральной совокупности.
Таблица 7.4
|
N i |
d j |
n i |
|
– пропорционально среднему квадратическому отклонению (табл. 7.5).
здесь i – среднее квадратическое отклонение типических групп;
n i – численность выборки из типической группы вычисляется по формуле
(7.8)
Таблица 7.5
|
N i |
|
n i |
|
– комбинированно (табл. 7.6).
Численность выборки вычисляется по формуле
. (7.9)
Таблица 7.6
|
|
i N i |
|
|
|
При проведении типической выборки непосредственный отбор из каждой группы проводится методом случайного отбора.
Средние ошибки выборки рассчитываются по формулам табл. 7.7 в зависимости от способа отбора из типических групп.
Таблица 7.7
|
Способ отбора |
Повторный |
Бесповторный |
||
|
для средней |
для доли |
для средней |
для доли |
|
|
Непропорциональный объему групп |
|
|
|
|
|
Пропорциональный объему групп |
|
|
|
|
|
Пропорциональный колеблемости в группах (является наивыгоднейшим) |
|
|
|
|
здесь
– средняя из внутригрупповых дисперсий
типических групп;
– доля единиц, обладающих изучаемым
признаком;
– средняя из внутригрупповых дисперсий
для доли;
– среднее квадратическое отклонение
в выборке изi
-й типической группы;
– объем выборки из типической группы;
– общий объем выборки;
–
объем типической группы;
– объем генеральной совокупности.
Численность
выборки из каждой типической группы
должна быть пропорциональна среднему
квадратическому отклонению в этой
группе
.Расчет численности
производится по формулам, приведенным
в табл. 7.8.
Таблица 7.8
4 . Серийная выборка – удобена в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. При серийной выборке генеральную совокупность делят на одинаковые по объему группы – серии. В выборочную совокупность отбираются серии. Сущность серийной выборки заключается в случайном или механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц. Средняя ошибка серийной выборки с равновеликими сериями зависит от величины только межгрупповой дисперсии. Средние ошибки сведены в табл. 7.9.
Таблица 7.9
|
Способ отбора серии | ||
|
для средней |
для доли |
|
|
Повторный |
|
|
|
Бесповторный |
|
|
Здесь R – число серий в генеральной совокупности;
r – число отобранных серий;
– межсерийная (межгрупповая) дисперсия
средних;
– межсерийная (межгрупповая) дисперсия
доли.
При серийном отборе необходимую численность отбираемых серий определяют так же, как и при собственно-случайном методе отбора.
Расчет численности серийной выборки производится по формулам, приведенным в табл. 7.10.
Таблица 7.10
Пример. В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20 %-ная серийная бесповторная выборка, в которую вошли две бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:
|
Разряды рабочих в бригаде 1 |
Разряды рабочих в бригаде 2 |
Разряды рабочих в бригаде 1 |
Разряды рабочих в бригаде 2 |
||
Необходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.
Решение. Определим выборочные средние по бригадам и общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:
Определим межсерийную дисперсию по формулам (5.25):
Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле табл. 7.9:
Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997:
С вероятностью
0,997 можно утверждать, что средний разряд
рабочих механического цеха находится
в пределах
Между показателями выборочной совокупности и искомыми показателями (параметрами) генеральной совокупности, как правило, существуют некоторые разногласия, которые называют ошибками выборки. Общая ошибка выборочной характеристики состоит из ошибок двух родов: ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.
Ошибки регистрации свойственны любому статистическому наблюдению и появление их может быть вызвано невнимательностью регистратора, неточностью подсчетов, несовершенством измерительных приборов и т.д.
Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению и обусловлены самой его природой поскольку как бы тщательно и правильно не проводился отбор единиц средние и относительные показатели выборочной совокупности всегда будут в какой-то степени отличаться от соответствующих показателей генеральной совокупности.
Различают систематические и случайные ошибки репрезентативности. Систематические ошибки репрезентативности - это неточности, которые возникают вследствие несоблюдения условий отбора единиц в выборочную совокупность, не предоставление равной возможности каждой единице генеральной совокупности попасть в выборку. Случайные ошибки репрезентативности - это погрешности, которые возникают вследствие того, что выборочная совокупность точно не воспроизводит характеристики генеральной совокупности (среднее, долю, дисперсию и др.) в силу несплошного характера обследования.
При соблюдении принципа случайного отбора размер ошибки выборки прежде всего зависит от численности выборки. Чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем меньше величина ошибки выборки. При большой численности выборки отчетливее проявляется действие закона больших чисел, согласно которому: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии выборочные характеристики (средняя доля) будут сколь угодно мало отличаться от соответствующих генеральных характеристик.
Размеры ошибки выборки также непосредственно связаны со степенью варьирования изучаемого признака, а степень варьирования, как отмечалось выше, в статистике характеризуется размером дисперсии (рассеяния): чем меньше дисперсия, тем меньше ошибка выборки, тем более надежные статистические выводы. Поэтому на практике дисперсию отождествляют с ошибкой выборки.
Поскольку параметр генеральной совокупности есть искомая величина и он неизвестен, нужно ориентироваться не на конкретную ошибку, а среднюю из всех возможных выборок.
Если из генеральной совокупности отобрать несколько выборочных совокупностей, то каждая из полученных выборок даст разное значение конкретной ошибки.
Средняя квадратическая величина /и исчисленная из всех возможных значений конкретных ошибок (;) составит:
где *и - выборочные средние; х - генеральная средняя;)] - численность выборок по величине є1 = ~си - х.
Среднее квадратическое отклонение выборочных средних от генеральной средней называют средней ошибкой выборки.
Зависимость величины ошибки выборки от ее численности и от степени варьирования признака находит выражение в формуле средней ошибки выборки /и.
Квадрат средней ошибки (дисперсия выборочных средних) прямо пропорционален дисперсии Сто и обратно пропорционален численности выборки п:
где - дисперсия признака в генеральной совокупности.
Отсюда среднюю ошибку в общем виде определяют по формуле:
Итак, определив по выборке среднее квадратичное отклонение, можно установить значение средней ошибки выборки, величина которой, как следует из формулы, тем больше, чем больше вариация случайной величины и тем меньше, чем больше численность выборки.
Поэтому по мере роста объема выборки размер средней ошибки уменьшается. Если, например, нужно уменьшить среднюю ошибку выборки в два раза, то численность выборки следует увеличить в четыре раза, если надо уменьшить ошибку выборки в три раза, то объем выборки следует увеличить в девять раз и т. д.
В практических расчетах применяются две формулы средней ошибки выборки для средней и для доли.
При выборочном изучении средних показателей формула средней ошибки такая:
При изучении относительных показателей (частных признаков) формула средней ошибки имеет вид:
где г - доля признака в генеральной совокупности.
Применение приведенных формул средней ошибки предполагает, что известны генеральная дисперсия и генеральная доля. Однако в действительности эти показатели неизвестны и вычислить их невозможно из-за отсутствия данных относительно генеральной совокупности. Поэтому возникает потребность замены генеральной дисперсии и генеральной доли другими, близкими к ним, величинами.
В математической статистике доказано, что такими величинами могут быть выборочная дисперсия(ст) и выборочная доля (со).
С учетом сказанного формулы средней ошибки могут быть записаны так:
Эти формулы дают возможность определить среднюю ошибку при повторной выборке. Применения простой случайной повторной выборки в практике является ограниченным. Прежде всего практически нецелесообразно, а иногда невозможно повторное обследование тех же единиц. Применение бесповторного отбора вместо повторного диктуется также требованием повышения степени точности и надежности выборки. Поэтому на практике чаще используют способ бесповторного случайного отбора. По этому способу отбора единица совокупности, отобранная в выборку, в дальнейшем отборе не участвует. Единицы отбирают из генеральной совокупности, уменьшенной на количество ранее отобранных единиц. Поэтому в связи с изменением численности генеральной совокупности после каждого отбора и вероятности отбора для единиц, что остались, в формулы средней ошибки выборки вводится поправочный множитель
где N - численность генеральной совокупности; п - численность выборки. При достаточно большом значении N можно единицей в знаменателе пренебречь. Тогда
Следовательно, формулы средней ошибки выборки для бесповторного отбора для средней и для доли соответственно имеют вид:
Поскольку п всегда меньше М, то дополнительный множитель всегда меньше единицы. Следовательно, абсолютное значение ошибки выборки при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном.
Если численность выборки достаточно велика, то величина 1 ^ близка к единице, а потому ею можно пренебречь. Тогда среднюю ошибку случайного бесповторного отбора определяют по формуле собственно-случайной повторной выборки.
Рассчитаем для нашего примера среднюю ошибку для урожайности и доли участков с урожайностью 25 ц/га и более.
Средняя ошибка выборки
а) средней урожайности ячменя
Средняя урожайность ячменя в генеральной совокупности х -Г^ = 25,1 ± 0,12 ц/га, то есть находится в пределах от 24,98 до 25,22 ц/га.
Доля участков с урожайностью 25 ц/га и более в генеральной совокупности р
Т-^Г = 0,80 ± 0,07, т.е. находится в пределах от 73 до 87%.
Средняя ошибка выборки показывает возможные отклонения характеристик выборочной совокупности от характеристик генеральной совокупности. Вместе с тем при проведении выборочного наблюдения перед исследователями часто стоит задача расчета не только средней ошибки, но и определение предельной возможной ошибки выборки. Зная среднюю ошибку, можно определить границы, за которые не выйдет величина ошибки выборки. Однако утверждать, что эти отклонения не превысят заданной величины, можно не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности. Уровень вероятности, что принимается при определении возможных пределов, в которых содержатся значения параметров генеральной совокупности, называется доверительным уровнем вероятности.
Доверительная вероятность - это довольно высокая и, такая, что практически считается осуществленной в каждом конкретном случае, вероятность, что гарантирует получение надежных статистических выводов. Обозначим ее через Г а вероятность превысить этот уровень - а. Итак, а =1 - Р Вероятность а называют уровнем значимости (существенности), который характеризует относительное число ошибочных выводов в общем числе выводов и определяется как разница между единицей и доверительной вероятностью, что принимается.
Уровень доверительной вероятности устанавливает исследователь исходя из степени ответственности и характера задач, которые решаются. В статистических исследованиях в экономике чаще всего принимается уровень доверительной вероятности Г = 0,95; Р = 0,99 (соответственно уровень значимости а = 0,05; а = 0,01) реже Г = 0,999. Например, доверительная вероятность Г = 0,99 означает, что ошибка оценки в 99 случаях из 100 не превысит установленной величины и только в одном случае из 100 может достичь вычисленного значения, или превысить его.
Ошибка выборки, исчисленная с заданной степенью надежной вероятности, называется предельной ошибкой выборки Ер.
Рассмотрим, как устанавливается величина возможной предельной ошибки выборки. Величина ер связана с нормированным отклонением и, которое определяется как отношение предельной ошибки выборки ер к средней ошибки и:
Для удобства расчетов отклонения случайной величины от ее среднего значения обычно выражают в единицах среднего квадратического отклонения. Выражение
называют нормированным отклонением. в В статистической литературе и называют коэффициентом доверия, или коэффициентом кратности средней ошибки выборки.
Так, нормированное отклонение выборочной средней можно определить по формуле:
и _є_р_
Из выражения 1 можно найти возможную предельную ошибку выборки
ер = и/л.
Подставив вместо г. в ее значение, приведем формулы предельных ошибок выборки для средней и для доли при бесповторном случайном отборе:
Следовательно, предельная ошибка выборки зависит от величины средней ошибки и нормированного отклонения и равна ± кратному числу средних ошибок выборки.
Средняя и предельная ошибки выборки - именованные величины и выражаются в тех же единицах, что и средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонения.
Нормированное отклонение функционально связано с вероятностью. Для нахождения значений и составлены специальные таблицы (доб.2), по которым можно найти значение и при заданном уровне доверительной вероятности и значения вероятности при известном и.
Приведем значения и и соответствующие им вероятности для выборок с численностью п > 30, что чаще всего используется в практических расчетах:
Следовательно, при и = 1 вероятность отклонения выборочных характеристик от генеральных на величину однократной средней ошибки выборки равна 0,6827. Это означает, что в среднем с каждой 1000 выборок 683 дадут обобщенные характеристики, которые будут отличаться от генеральных обобщенных характеристик не более, чем на величину однократной средней ошибки. При и = 2 вероятность равна 0,9545. в Это означает, что с каждого 1000 выборок 954 дадут обобщенные характеристики, которые будут отличаться от генеральных обобщенных характеристик не более чем на двукратную среднюю ошибку выборки и т.д.
Однако в связи с тем, что, как правило, проводится только одна выборка, то мы говорим, что, например, с вероятностью 0,9545 можно гарантировать, что размеры предельной ошибки не превысят двукратную среднюю ошибку выборки.
Математически доказано, что отношение ошибки выборки к средней ошибки, как правило, не превышает ± 3д при достаточно большой численности п, несмотря на то, что ошибка выборки может приобретать любые значения. Другими словами можно сказать, что при достаточно высокой вероятности суждения (Р = 0,9973) предельная ошибка выборки, как правило, не превышает трех средних ошибок выборки. Поэтому величину Ер = 3д можно принять за предел возможной ошибки выборки.
Определим для нашего примера предельную ошибку выборки для средней урожайности и доли участков с урожайностью 25 ц/га и более. Доверительный уровень вероятности примем равным Р = 0,9545. в По таблице (прил .2) найдем значения и = 2. Средние ошибки выборки для урожайности и доли участков с урожайностью 25 ц/га и больше были найдены ранее и соответственно составляли: Ц~ = ±0,12 ц/га; МР = ± 0,07.
Предельная ошибка средней урожайности ячменя:
Итак, разница между выборочной средней урожайностью и генеральной средней будет не больше 0,24 ц/га. Пределы средней урожайности в генеральной совокупности: х = х ±есть~ = 25,1 + 0,24, то есть от 24,86 до 25,34 ц/га.
Предельная ошибка доли участков с урожайностью 25 ц/га и более:
Следовательно, предельная ошибка в определении доли участков с урожайностью 25 ц/га и больше не превысит 14%, то есть удельный вес участков с указанной урожайностью в генеральной совокупности находится в пределах: г = а> ± ер = 0,80 ± 0,14, то есть от 66 до 94%.
Ошибка выборки - это объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методом отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня достоверности результата исследования.
Для репрезентативности выборки важно обеспечить случайность отбора, с тем, чтобы все объекты генеральной совокупности имели равные вероятности попасть в выборку. Для обеспечения репрезентативности выборки применяют следующие способы отбора:
· собственно-случайная (простая случайная) выборка (последовательно отбирается первый случайно попавшийся объект);
· механическая (систематическая) выборка;
· типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка (объекты отбираются пропорционально представительству различных типов объектов в генеральной совокупности);
· серийная (гнездовая) выборка.
Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или бесповторным. При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. При бесповторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует
Выборочное наблюдение всегда связано с ошибкой, поскольку число отобранных единиц не равно исходной (генеральной) совокупности. Случайные ошибки выборки обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характеристики будут несколько различаться. Поэтому получаемые случайные ошибки должны быть статистически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка таких ошибок и является основной задачей, решаемой в теории выборочного наблюдения. Обратной задачей является определение такой минимально необходимой численности выборочной совокупности, при которой ошибка не превысит заданной величины. На выработку навыков в решении этих задач и направлен материал данного раздела.
Собственно-случайная выборка . Ее суть заключается в отборе единиц из генеральной совокупности в целом, без разделения ее на группы, подгруппы или серии отдельных единиц. При этом единицы отбираются в случайном порядке, не зависящем ни от последовательности расположения единиц в совокупности, ни от значений их признаков.
После проведения отбора с использованием одного из алгоритмов, реализующих принцип случайности, или на основе таблицы случайных чисел, определяются границы генеральных характеристик. Для этого рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.
Средняя ошибка повторной собственно-случайной выборки определяется по формуле
где σ - среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;
n - объем (число единиц) выборочной совокупности.
Предельная ошибка выборки связана с заданным уровнем вероятности. При решении представленных ниже задач требуемая вероятность составляет 0,954 (t = 2) или 0,997 (t = 3). С учетом выбранного уровня вероятности и соответствующего ему значения t предельная ошибка выборки составит:
Тогда можно утверждать, что при заданной вероятности генеральная средняя будет находиться в следующих границах:
При определении границ генеральной доли при расчете средней ошибки выборки используется дисперсия альтернативного признака, которая вычисляется по следующей формуле:
где w - выборочная доля, т. е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака.
При решении отдельных задач необходимо учитывать, что при неизвестной дисперсии альтернативного признака можно использовать ее максимально возможную величину, равную 0,25.
Пример . В результате выборочного обследования незанятого населения, ищущего работу, проведенного на основе собственно-случайной повторной выборки были получены данные, приведенные в табл. 1.14.
Таблица 1.14
Результаты выборочного обследования незанятого населения
С вероятностью 0,954 определите границы:
а) среднего возраста незанятого населения;
б) доли (удельного веса) лиц, моложе 25 лет, в общей численности незанятого населения.
Решение. Для определения средней ошибки выборки необходимо, прежде всего, определить выборочную среднюю величину и дисперсию изучаемого признака. Для этого, при ручном способе расчета целесообразно построить таблицу 1.15.
Таблица 1.15
Расчет среднего возраста незанятого населения и дисперсии
На основании данных таблицы рассчитываются необходимые показатели:
· выборочная средняя величина:
;
· дисперсия:
· среднеквадратичное отклонение:
.
Средняя ошибка выборки составит:
года.
Определим с вероятностью 0,954 (t = 2) предельную ошибку выборки:
года.
Установим границы генеральной средней: (41,2 - 1,6) (41,2+1,6) или:
Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно заключить, что средний возраст незанятого населения, ищущего работу, лежит в пределах от 40 до 43 лет.
Для ответа на вопрос, поставленный в пункте «б» данного примера, по выборочным данным определим долю лиц в возрасте до 25 лет и рассчитаем дисперсию доли:
Рассчитаем среднюю ошибку выборки:
Предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит:
Определим границы генеральной доли:
Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля лиц в возрасте до 25 лет в общей численности незанятого населения находится в пределах от 3,9 до 1 1,9%.
При расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки необходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:
где N - объем (число единиц) генеральной совокупности/
Необходимый объем собственно-случайной повторной выборки определяется по формуле:
Если отбор бесповторный, то формула приобретает следующий вид:
Полученный на основе использования этих формул результат всегда округляется в большую сторону до целого значения.
Пример. Необходимо определить, сколько учащихся первых классов школ района необходимо отобрать в порядке собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,997 определить границы среднего роста первоклассников с предельной ошибкой 2 см. Известно, что всего в первых классах школ района обучается 1100 учеников, а дисперсия роста по результатам аналогичного обследования в другом районе составила 24.
Решение. Необходимый объем выборки при уровне вероятности 0,997 (t = 3) составит:
Таким образом, для получения данных о среднем росте первоклассников с заданной точностью необходимо обследовать 52 школьника.
Механическая выборка . Данная выборка заключается в отборе единиц из общего списка единиц генеральной совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процентом отбора. При решении задач на определение средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, следует использовать приведенные выше формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе.
Так, при 2%-ной выборке отбирается каждая 50-я единица (1:0,02), при 5%-ной выборке - каждая 20-я единица (1:0,05) и т.д.
Таким образом, в соответствии с принятой долей отбора, генеральная совокупность как бы механически разбивается на равновеликие группы. Из каждой группы в выборку отбирается лишь одна единица.
Важной особенностью механической выборки является то, что формирование выборочной совокупности можно осуществить, не прибегая к составлению списков. На практике часто используют тот порядок, в котором фактически размещаются единицы генеральной совокупности. Например, последовательность выхода готовых изделий с конвейера или поточной линии, порядок размещения единиц партии товара при хранении, транспортировке, реализации и т.д.
Типическая выборка. Эта выборка применяется в тех случаях, когда единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типичных групп. Отбор единиц в выборку производится внутри этих групп пропорционально их объему на основе использования собственно-случайной или механической выборки (при наличии необходимой информации отбор также может производиться пропорционально вариации изучаемого признака в группах).
Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Например, при выборочном обследовании производительности труда работников торговли, состоящих из отдельных групп по квалификации.
Важной особенностью типической выборки является то, что она дает более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность.
Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:
(повторный отбор);
(бесповторный отбор),
где - средняя из внутригрупповых дисперсией.
Пример . В целях изучения доходов населения по трем районам области сформирована 2%-ная выборка, пропорциональная численности населения этих районов. Полученные результаты представлены в табл. 16.
Таблица 16
Результаты выборочного обследования доходов населения
Необходимо определить границы среднедушевых доходов населения по области в целом при уровне вероятности 0,997.
Решение. Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:
где N i - объем i -и группы;
n, - объем выборки из /-и группы.
Серийная выборка . Эта выборка используется в тех случаях, когда единицы изучаемой совокупности объединены в небольшие равновеликие группы или серии. Единицей отбора в этом случае является серия. Серии отбираются с использованием собственно-случайной либо механической выборки, а внутри отобранных серий обследуются все без исключения единицы.
В основе расчета средней ошибки серийной выборки лежит межгрупповая дисперсия:
(повторный отбор);
(бесповторный отбор),
где x i - число отобранных i - серий;
R - общее число серий.
Межгрупповую дисперсию при равновеликих группах вычисляют следующим образом:
где х i - средняя i-и серии;
х - общая средняя по всей выборочной совокупности.
Пример . В целях контроля качества комплектующих из партии изделий, упакованных в 50 ящиков по 20 изделий в каждом, была произведена 10%-ная серийная выборка. По попавшим в выборку ящикам среднее отклонение параметров изделия от нормы соответственно составило 9 мм, 11, 12, 8 и 14 мм. С вероятностью 0,954 определите среднее отклонение параметров по всей партии в целом.
Решение. Выборочная средняя:
мм.
Величина межгрупповой дисперсии:
С учетом установленной вероятности Р = 0,954 (t = 2) предельная ошибка выборки составит:
мм.
Произведенные расчеты позволяют заключить, что среднее отклонение параметров всех изделий от нормы находится в следующих границах:
Для определения необходимого объема серийной выборки при заданной предельной ошибке используются следующие формулы:
(повторный отбор);
(безповторный отбор).