Предположим, что на автоматической линии несколько станков параллельно выполняют одинаковую операцию. Для правильного планирования последующей обработки важно знать, насколько однотипны средние размеры деталей, получаемые на параллельно работающих станках. Здесь имеет место лишь один фактор, влияющий на размер деталей, это станки, на которых они изготовляются. Необходимо выяснить, насколько существенно влияние этого фактора на размеры деталей. Предположим, что совокупности размеров деталей, изготовленных на каждом станке, имеют нормальное распределение и равные дисперсии.
Имеем т станков, следовательно, т совокупностей или уровней, на которых произведено n 1 , n 2 ,..., п т наблюдений. Для простоты рассуждений предположим, что n 1 =n 2 =…= п т. Размеры деталей, составляющие n i наблюдений на i -м уровне, обозначим х i 1 ,х i 2 ,..., x in . Тогда все наблюдения можно представить в виде таблицы, которая называется матрицей наблюдений (табл. 3.1).
Таблица 3.1
| Уровни | Результаты наблюдений | |||||
| 1 | 2 | … | j | … | n | |
| x 11 | x 12 | … | x 1 j | … | x 1 n | |
| x 21 | x 22 | … | x 2 j | … | x 2 n | |
| x 31 | x 32 | … | x 3 j | … | x 3 n | |
| … | … | … | … | … | … | … |
| i | x i1 | x i2 | … | x i j | … | x i n |
| … | … | … | … | … | … | … |
| m | x m1 | x m2 | … | x mj | … | x mn |
Будем полагать, что для i -го уровня п наблюдений имеют среднюю β i , равную сумме общей средней µ и вариации ее, обусловленной i -м уровнем фактора, т.е. β i = µ + γ i . Тогда одно наблюдение можно представить в следующем виде:
x i j = µ + γ i . +ε ij = β i +ε ij (3.1)
где µ - общая средняя; γ i - эффект, обусловленный i -м уровнем фактора; ε ij - вариация результатов внутри отдельного уровня.
Член ε ij характеризует влияние всех не учтенных моделью (3.1) факторов. Согласно обшей задаче дисперсионного анализа нужно оценить существенность влияния фактора γ на размеры деталей. Общую вариацию переменной x i j можно разложить на части, одна из которых характеризует влияние фактора γ, другая - влияние неучтенных факторов. Для этого необходимо найти оценку общей средней µ и оценки средних по уровням β i . Очевидно, что оценкой β является средняя арифметическая п наблюдений i-го уровня, т.е.
Звездочка в индексе при х означает, что наблюдения фиксированы на i-м уровне. Средняя арифметическая всей совокупности наблюдений является оценкой общей средней µ, т.е.
Найдем сумму квадратов отклонений x i j от , т.е.
Представим ее в виде (3.2)
Причем =
Но 
= 0, так как это есть сумма отклонений переменных одной совокупности от средней арифметической этой же совокупности, т.е. вся сумма равна нулю. Второй член суммы (3.2) запишем в виде:
Или 
Слагаемое является суммой квадратов разностей между средними уровней и средней всей совокупности наблюдений. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений между группами и характеризует расхождение между уровнями. Величину , называют также рассеиванием по факторам, т.е. рассеиванием за счет исследуемого фактора.
Слагаемое является суммой квадратов разностей между отдельными наблюдениями и средней i-го уровня. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений внутри группы и характеризует расхождение между наблюдениями i-го уровня. Величину называют также остаточным рассеиванием, т.е. рассеиванием за счет неучтенных факторов.
Величину называется общей или полной суммой квадратов отклонений отдельных наблюдений от общей средней .
Зная суммы квадратов SS, SS 1 и SS 2 , можно оценить несмещенные оценки соответствующих дисперсий - общей, межгрупповой и внутригрупповой (таблица 3.2).
Если влияние всех уровней фактора γ одинаково, то и - оценки общей дисперсии.
Тогда для оценки существенности влияния фактора γ достаточно проверить нулевую гипотезу H 0: = .
Для этого вычисляют критерий Фишера F B = , с числом степеней свободы k 1 = т - 1 и k 2 = т(п - 1). Затем по таблице F-распределения (см. таблицу распределения критерия Фишера) для уровня значимости α находят критическое значение F кр.
Таблица 3.2
Если F B > F кр то нулевая гипотеза отвергается и делается заключение о существенном влиянии фактора γ.
При F B < F кр нет основания отвергать нулевую гипотезу и можно считать, что влияние фактора γ несущественно.
Сравнивая межгрупповую и остаточную дисперсии, по величине их отношения судят, насколько сильно проявляется влияние факторов.
Пример 3.1. Имеется четыре партии тканей для спецодежды. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены в табл. 3.3.
Таблица 3.3
| Номер партии, т | |||||
Требуется выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.
Решение.
В данном случае т = 4, п = 5. Среднюю арифметическую каждой строки вычисляем по формуле 
Имеем: =(200+140+170+145+165)/5=164; =170; =202; = 164.
Найдем среднюю арифметическую всей совокупности:
Вычислим величины, необходимые для построения табл. 3.4:
· сумму квадратов отклонений между группами SS 1 , с k 1 =т –1=
4-1=3 степенями свободы:
· сумму квадратов отклонений внутри группы SS 2 с k 2 = тп – т= =20-4=16 степенями свободы:
· полную сумму квадратов SS c k=mn-1=20-1=19 степенями свободы:
По найденным значениям оценим дисперсию, по формулам (табл. 3.2) составим (табл. 3.4) для рассматриваемого примера.
Таблица 3.4
Проведем статистический анализ по критерию Фишера. Вычислим F B = =(4980 1/3)/(7270 1/16) =1660/454,4= 3,65.
По таблице F-распределения (см. приложения) находим значение F Kp при k 2 = 16 и k 1 = 3 степенях свободы и уровне значимости α = 0,01. Имеем F Kp = 5,29.
Вычисленное значение F B меньше табличного, поэтому можно утверждать, что нулевая гипотеза не отвергается, а это значит, что различие между тканями в партиях не влияет на величину разрывной нагрузки.
В пакете Анализ данных инструмент Однофакторный дисперсионный анализ используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух или более выборок, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности. Рассмотрим работу пакета для проведения однофакторного дисперсионного анализа.
Решим пример 3.1, используя инструмент Однофакторный дисперсионный анализ.
Задание . Студентов 1-го курса опрашивали с целью выявления занятий, которым они посвящают свое свободное время. Проверьте, различаются ли распределение вербальных и невербальных предпочтений студентов.Решение
проводим с использованием калькулятора .
Находим групповые средние:
| N | П 1 | П 2 |
| 1 | 12 | 17 |
| 2 | 18 | 19 |
| 3 | 23 | 25 |
| 4 | 10 | 7 |
| 5 | 15 | 17 |
| x ср | 15.6 | 17 |
Обозначим р - количество уровней фактора (р=2). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=5.
В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое групповых средних:
(1)
На разброс групповых средних процента отказа относительно общей средней влияют как изменения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы.
Для того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной S 2 ф, а вторая - остаточной S 2 ост.
С целью учета этих составляющих вначале рассчитывается общая сумма квадратов отклонений вариант от общей средней:
и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая и характеризует влияние данного фактора:
Последнее выражение получено путем замены каждой варианты в выражении R общ групповой средней для данного фактора.
Остаточная сумма квадратов отклонений получается как разность:
R ост = R общ - R ф
Для определения общей выборочной дисперсии необходимо R общ разделить на число измерений pq:
а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на pq/(pq-1):
Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии:
где p-1 - число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии.
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина:
Так как отношение двух выборочных дисперсий S 2 ф и S 2 ост распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение f набл сравнивают со значением функции распределения
в критической точке f кр, соответствующей выбранному уровню значимости a.
Если f набл >f кр, то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь.
Для расчета R набл и R ф могут быть использованы также формулы:
(4)
(5)
Находим общую среднюю по формуле (1):
Для расчета Rобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:
| N | П 2 1 | П 2 2 |
| 1 | 144 | 289 |
| 2 | 324 | 361 |
| 3 | 529 | 625 |
| 4 | 100 | 49 |
| 5 | 225 | 289 |
| ∑ | 1322 | 1613 |
Общая средняя вычисляется по формуле (1):
R общ = 1322 + 1613 - 5 2 16.3 2 = 278.1
Находим R ф по формуле (5):
R ф = 5(15.6 2 + 17 2) - 2 16.3 2 = 4.9
Получаем R ост: R ост = R общ - R ф = 278.1 - 4.9 = 273.2
Определяем факторную и остаточную дисперсии :
Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно.
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований.
Оценка факторной дисперсии меньше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.
Иначе говоря, в данном примере фактор Ф не оказывает существенного влияния на случайную величину.
Проверим нулевую гипотезу H 0: равенство средних значений х.
Находим f набл
Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 1 и 8 находим f кр из таблицы распределения Фишера-Снедекора .
f кр (0.05; 1; 8) = 5.32
В связи с тем, что f набл < f кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов отклоняем.
Другим словами, распределение вербальных и невербальных предпочтений студентов различаются.
Задание . На заводе установлено четыре линии по выпуску облицовочной плитки. С каждой линии случайным образом в течение смены отобрано по 10 плиток и сделаны замеры их толщины (мм). Отклонения от номинального размера приведены в таблице. Требуется на уровне значимости a = 0,05 установить наличие зависимости выпуска качественных плиток от линии выпуска (фактор A).
Задание . На уровне значимости a = 0,05 исследовать влияние цвета краски на срок службы покрытия.
Пример №1 . Произведено 13 испытаний, из них – 4 на первом уровне фактора, 4 – на втором, 3 – на третьем и 2 на четвертом. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в таблице.
Решение
:
Находим групповые средние:
| N | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 |
| 1 | 1.38 | 1.41 | 1.32 | 1.31 |
| 2 | 1.38 | 1.42 | 1.33 | 1.33 |
| 3 | 1.42 | 1.44 | 1.34 | - |
| 4 | 1.42 | 1.45 | - | - |
| ∑ | 5.6 | 5.72 | 3.99 | 2.64 |
| x ср | 1.4 | 1.43 | 1.33 | 1.32 |
Обозначим р - количество уровней фактора (р=4). Число измерений на каждом уровне равно: 4,4,3,2
В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общая средняя вычисляется по формуле:
Для расчета Sобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:
| N | П 2 1 | П 2 2 | П 2 3 | П 2 4 |
| 1 | 1.9 | 1.99 | 1.74 | 1.72 |
| 2 | 1.9 | 2.02 | 1.77 | 1.77 |
| 3 | 2.02 | 2.07 | 1.8 | - |
| 4 | 2.02 | 2.1 | - | - |
| ∑ | 7.84 | 8.18 | 5.31 | 3.49 |
Общую сумму квадратов отклонений находят по формуле:
Находим S ф по формуле:
Получаем S ост: S ост = S общ - S ф = 0.0293 - 0.0263 = 0.003
Определяем факторную дисперсию:
и остаточную дисперсию:
Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно.
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований.
Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать не справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.
Иначе говоря, в данном примере фактор Ф оказывает существенное влияния на случайную величину.
Проверим нулевую гипотезу H 0: равенство средних значений х.
Находим f набл
Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 3 и 12 находим f кр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.
f кр (0.05; 3; 12) = 3.49
В связи с тем, что f набл > f кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов принимаем (нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем). Другими словами, групповые средние в целом различаются значимо.
Пример №2 . В школе 5 шестых классов. Психологу ставится задача, определить, одинаковый ли средний уровень ситуативной тревожности в классах. Для этого были приведены в таблице. Проверить уровень значимости α=0.05 предположение, что средняя ситуативная тревожность в классах не различается.
Пример №3 . Для изучения величины X произведено 4 испытания на каждом из пяти уровней фактора F. Результаты испытаний приведены в таблице. Выяснить, существенно ли влияние фактора F на величину X. Принять α = 0.05. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.
Пример №4
. Предположим, что в педагогическом эксперименте участвовали три группы студентов по 10 человек в каждой. В группах применили различные методы обучения: в первой - традиционный (F 1), во второй - основанный на компьютерных технологиях (F 2), в третьей - метод, широко использующий задания для самостоятельной работы (F 3). Знания оценивались по десятибалльной системе.
Требуется обработать полученные данные об экзаменах и сделать заключение о том, значимо ли влияние метода преподавания, приняв за уровень значимости α=0.05.
Результаты экзаменов заданы таблицей, F j - уровень фактора x ij - оценка i-го учащегося обучающегося по методике F j .
|
Уровень фактора |
|||||||||||
Пример №5
. Показаны результаты конкурсного сортоиспытания культур (урожайность в ц.с га). Каждый сорт испытывался на четырех участках. Методом дисперсионного анализа изучите влияние сорта на урожайность. Установите существенность влияния фактора (долю межгрупповой вариации в общей вариации) и значимость результатов опыта при уровне значимости 0,05.
Урожайность на сортоиспытательных участках
| Сорт | Урожайность по повторностям ц. с га | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 2 3 |
42,4 52,5 52,3 |
37,4 50,1 53,0 |
40,7 53,8 51,4 |
38,2 50,7 53,6 |
Дисперсионный анализ используется для выявления влияния на изучаемый показатель некоторых факторов, обычно не поддающихся количественному измерению. Суть метода состоит в разложении общей вариации изучаемого показателя на части, соответствующие раздельному и совместному влиянию факторов, и статистическом изучении этих частей с целью выяснения приемлемости гипотез об отсутствии этих влияний. Модели дисперсионного анализа в зависимости от числа факторов классифицируются на однофакторные , двухфакторные и т.д. По цели исследования выделяют следующие модели: детерминированная (Ml) - здесь уровни всех факторов заранее фиксированы, и проверяют именно их влияние, случайная (М2) - здесь уровни каждого фактора получены как случайная выборка из генеральной совокупности уровней фактора, и смешанная (М3) - здесь уровни одних факторов заранее фиксированы, а уровни других - случайная выборка.
Однофакторный дисперсионный анализ
В основе однофакторного дисперсионного анализа лежит следующая вероятностная модель:
где - значение случайной величины У, принимаемое при уровне Д (,) , / =
1,2,..., v, фактора Л в &-м наблюдении, к = 1,2, ..., п,;
О 1 " 1 - эффект влияния на УГ уровня Д®;
е® - независимые случайные величины, отражающие влияние на У/"* неконтролируемых остаточных факторов, причем все е* 1 ~ N(0, o R).
При этом в модели Ml все 0 (,) - детерминированные величины
и?е ("Ч = 0 ; а в модели М2 0 (,) - случайные величины (значения слу-
чайного эффекта 0), 0® = 0 где 0 - ;V(0, ст в), и все 0® и е* ’ - независимы.
Найдем общую вариацию S 2
результативного признака У и две ее составляющие - S 2 A
и S R
, отражающие соответственно влияние фактора А
и влияние остаточных факторов:
Нетрудно убедиться в том, что S 2 = S 2 A + . Разделив все части
этого равенства на я, получим:
Это правило читается так: «Общая дисперсия наблюдений равна сумме межгрупповой дисперсии (это дисперсия Су (0 групповых средних) и внутригрупповой дисперсии (это средняя а 2 из групповых дисперсий)».
Для выяснения того, влияет ли фактор А на результативный признак:
- ? в модели Ml проверяют гипотезу Н 0 : 0 (|) = 0 (2) = ... = 0 (v) =0 (если она будет принята, то для всех ink математическое ожидание МУ/"* = А/У [см. формулу (8.4.1)], а это означает, что при изменении уровня фактора групповая генеральная средняя не изменяется, т.е. рассматриваемые уровни фактора А не влияют на У;
- ? в модели М2 проверяют гипотезу Н 0 = 0 (ее принятие означает что эффект 0 - постоянная величина, а с учетом условия М0 = 0 получим, что 0 = 0, т.е. фактор А не влияет на У).
Критерии проверки этих и других гипотез, а также оценки параметров модели (8.4.1) приведены в табл. 8.5.
Задача 8.7. Исследователь хочет выяснить, отличаются ли четыре способа рекламирования товара по влиянию на объем его продажи. Для этого в каждом из четырех однотипных городов (в них использовались различные способы рекламы) были собраны сведения об объемах продажи товара (в денежных единицах) в четырех случайно отобранных магазинах и вычислены соответствующие выборочные характеристики:
Решение. Здесь фактором А является способ рекламы; зафиксированы четыре его уровня, и выясняется, различаются ли по своему влиянию именно эти уровни, - это модель Ml однофакторного анализа.
где е** независимый?** N(0,g r).
Так как MY и все 0 (,) - постоянные величины, то при выполнении (8.4.3) наблюдения независимы и все
Допустим, что независимость наблюдений гарантируется организацией эксперимента; условие же (8.4.4) означает, что объем продаж при г"-м способе рекламы имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием а, = MY + 0 (,) и с дисперсией, одинаковой для всех способов. Допустим, что нормальное распределение имеет место. Используя критерий Бартлетта (см. табл. 8.3), убедимся, что результаты испытаний позволяют принять гипотезу Н"п : о? =... = ol. Вычислим
по табл. П. 6.3 при k=v-l=3np=a= 0,05 найдем % 2 а = Ха = 7,82 ; так как 1,538 Н" 0 принимаем.
Теперь проверим ключевую гипотезу дисперсионного анализа Н 0
: 0 м =... = 0 S 2 A = 220,19, S 2 R
=39,27, S" 2 = 259,46; убедившись в справедливости равенства (8.4.2), найдем оценку (8.4.5) (см. табл. 8.5) s 2 =
39,27/12 = 3,27 дисперсии а 2 к
; проверим, выполняется ли неравенство (8.4.6) (см. табл. 8.5):
по табл. П. 6.4 при = 3, к 2 = 12 и р = а = 0,05 найдем F 2a = F a = 3,49 . Так как 22,43 > 3,49, неравенство (8.4.6) выполняется. Поэтому гипотезу
Условия и критерии проверки гипотез однофакторного дисперсионного анализа
Н 0: 0 (|) = ... = 0 (4) = 0 отклоняем: считаем, что зафиксированные способы рекламирования продукции влияют на объем продаж; при этом вли-
= 84,9% вариации объема продаж.
Изменим условие задачи. Предположим, что способы рекламирования товара заранее нс фиксированы, а выбраны случайным образом из всего набора способов. Тогда выяснение вопроса о том, влияет или нет способ рекламирования, сводится к проверке гипотезы Н 0: Og = 0 модели М2. Критерий ее проверки такой же, как и в модели Ml. Так как условие (8.4.6) отклонения гипотезы Н 0: о 2 в = 0 выполняется, гипотезу забраковываем, по крайней мере до получения дополнительных данных: считаем, что способ рекламирования товаров (во всем наборе этих способов) влияет на объем продаж.
Двухфакторный дисперсионный анализ
(с одинаковым числом т > 1 наблюдений при различных сочетаниях уровней факторов)
В основе двухфакторного дисперсионного анализа лежит следующая вероятностная модель:
где У/ 1 ’ 7) значение случайной величины У, принимаемое при уровне А (" i = 1,2, ..., v A , фактора А и уровне 5®, у =1,2, ..., v B , фактора В в к -м наблюдении, к = 1,2, ..., /и; 0^, 0 (й у) , 0^д у) - эффекты влияния на У/ 1 ’ соответственно уровней А (" 5® и взаимодействия А (0 и B ; - независимые случайные величины, отражающие влияние на У/ 1 ’ у) неконтролируемых остаточных факторов, причем е?’ л ~ /V((), а л).
Найдем общую вариацию S 2 признака У и ее четыре составляющие - S 2 a , S 2 B , S 2 ab , S 2 r , отражающие влияние соответственно факторов А, В, их взаимодействия и остаточных факторов:
Нетрудно убедится в том, что S 2 = + S 2 B + S 2 iB + S B .
Оценки параметров всех трех типов модели (8.4.9): Ml, М2 и М3, проверяемые гипотезы и критерии их проверки приведены в табл. 8.6. В моделях М2 и М3 предполагается, что все случайные эффекты независимы как между собой, так и с e^’ J) .
Все люди от природы стремятся к знанию. (Аристотель. Метафизика)
Дисперсионный анализ
Вводный обзор
В этом разделе мы рассмотрим основные методы, предположения и терминологию дисперсионного анализа.
Отметим, что в англоязычной литературе дисперсионный анализ обычно называется анализом вариации. Поэтому, для краткости, ниже мы иногда будем использовать термин ANOVA (An alysis o f va riation ) для обычного дисперсионного анализа и термин MANOVA для многомерного дисперсионного анализа. В этом разделе мы последовательно рассмотрим основные идеи дисперсионного анализа (ANOVA ), ковариационного анализа (ANCOVA ), многомерного дисперсионного анализа (MANOVA ) и многомерного ковариационного анализа (MANCOVA ). После краткого обсуждения достоинств анализа контрастов и апостериорных критериев рассмотрим предположения, на которых основаны методы дисперсионного анализа. Ближе к концу этого раздела поясняются преимущества многомерного подхода для анализа повторных измерений по сравнению с традиционным одномерным подходом.
Основные идеи
Цель дисперсионного анализа. Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними. Глава (глава 8) содержит краткое введение в исследование статистической значимости. Если вы просто сравниваете средние в двух выборках, дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный t - критерий для независимых выборок (если сравниваются две независимые группы объектов или наблюдений) или t - критерий для зависимых выборок (если сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов или наблюдений). Если вы не достаточно знакомы с этими критериями, рекомендуем обратиться к вводному обзору главы (глава 9).
Откуда произошло название Дисперсионный анализ ? Может показаться странным, что процедура сравнения средних называется дисперсионным анализом. В действительности, это связано с тем, что при исследовании статистической значимости различия между средними, мы на самом деле анализируем дисперсии.
Разбиение суммы квадратов
Для выборки объема n выборочная дисперсия вычисляется как сумма квадратов отклонений от выборочного среднего, деленная на n-1 (объем выборки минус единица). Таким образом, при фиксированном объеме выборки n дисперсия есть функция суммы квадратов (отклонений), обозначаемая, для краткости, SS (от английского Sum of Squares – Сумма Квадратов). В основе дисперсионного анализа лежит разделение (или разбиение) дисперсии на части. Рассмотрим следующий набор данных:
Средние двух групп существенно различны (2 и 6 соответственно). Сумма квадратов отклонений внутри каждой группы равна 2. Складывая их, получаем 4. Если теперь повторить эти вычисления без учета групповой принадлежности, то есть, если вычислить SS исходя из общего среднего этих двух выборок, то получим 28. Иными словами, дисперсия (сумма квадратов), основанная на внутригрупповой изменчивости, приводит к гораздо меньшим значениям, чем при вычислении на основе общей изменчивости (относительно общего среднего). Причина этого, очевидно, заключается в существенной разнице между средними значениями, и это различие между средними и объясняет существующее различии между суммами квадратов. В самом деле, если использовать для анализа приведенных данных модуль Дисперсионный анализ , будут получены следующие результаты:
Как видно из таблицы, общая сумма квадратов SS =28 разбита на сумму квадратов, обусловленную внутригрупповой изменчивостью (2+2=4 ; см. вторую строку таблицы) и сумму квадратов, обусловленную различием средних значений. (28-(2+2)=24; см первую строку таблицы).
SS ошибок и SS эффекта. Внутригрупповая изменчивость (SS ) обычно называется дисперсией ошибки. Это означает, что обычно при проведении эксперимента она не может быть предсказана или объяснена. С другой стороны, SS эффекта (или межгрупповую изменчивость) можно объяснить различием между средними значениями в изучаемых группах. Иными словами, принадлежность к некоторой группе объясняет межгрупповую изменчивость, т.к. нам известно, что эти группы обладают разными средними значениями.
Проверка значимости. Основные идеи проверки статистической значимости обсуждаются в главе Элементарные понятия статистики (глава 8). В этой же главе объясняются причины, по которым многие критерии используют отношение объясненной и необъясненной дисперсии. Примером такого использования является сам дисперсионный анализ. Проверка значимости в дисперсионном анализе основана на сравнении дисперсии, обусловленной межгрупповым разбросом (называемой средним квадратом эффекта или MS эффект ) и дисперсии, обусловленной внутригрупповым разбросом (называемой средним квадратом ошибки или MS ошибка ). Если верна нулевая гипотеза (равенство средних в двух популяциях), то можно ожидать сравнительно небольшое различие в выборочных средних из-за случайной изменчивости. Поэтому при нулевой гипотезе внутригрупповая дисперсия будет практически совпадать с общей дисперсией, подсчитанной без учета группой принадлежности. Полученные внутригрупповые дисперсии можно сравнить с помощью F - критерия, проверяющего, действительно ли отношение дисперсий значимо больше 1. В рассмотренном выше примере F - критерий показывает, что различие между средними статистически значимо.
Основная логика дисперсионного анализа. Подводя итоги, можно сказать, что целью дисперсионного анализа является проверка статистической значимости разницы между средними (для групп или переменных). Эта проверка проводится с помощью анализа дисперсии, т.е. с помощью разбиения общей дисперсии (вариации) на части, одна из которых обусловлена случайной ошибкой (то есть внутригрупповой изменчивостью), а вторая связана с различием средних значений. Последняя компонента дисперсии затем используется для анализа статистической значимости различия между средними значениями. Если это различие значимо, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза о существовании различия между средними.
Зависимые и независимые переменные. Переменные, значения которых определяется с помощью измерений в ходе эксперимента (например, балл, набранный при тестировании), называются зависимыми переменными. Переменные, которыми можно управлять при проведении эксперимента (например, методы обучения или другие критерии, позволяющие разделить наблюдения на группы) называются факторами или независимыми переменными. Более подробно эти понятия описаны в главе Элементарные понятия статистики (глава 8).
Многофакторный дисперсионный анализ
В рассмотренном выше простом примере вы могли бы сразу вычислить t-критерий для независимых выборок, используя соответствующую опцию модуля Основные статистики и таблицы. Полученные результаты, естественно, совпадут с результатами дисперсионного анализа. Однако дисперсионный анализ содержит гибкие и мощные технические средства, которые могут быть использованы для гораздо более сложных исследований.
Множество факторов. Мир по своей природе сложен и многомерен. Ситуации, когда некоторое явление полностью описывается одной переменной, чрезвычайно редки. Например, если мы пытаемся научиться выращивать большие помидоры, следует рассматривать факторы, связанные с генетической структурой растений, типом почвы, освещенностью, температурой и т.д. Таким образом, при проведении типичного эксперимента приходится иметь дело с большим количеством факторов. Основная причина, по которой использование дисперсионного анализа предпочтительнее повторного сравнения двух выборок при разных уровнях факторов с помощью t - критерия, заключается в том, что дисперсионный анализ более эффективен и, для малых выборок, более информативен.
Управление факторами. Предположим, что в рассмотренном выше примере анализа двух выборок мы добавим еще один фактор, например, Пол - Gender . Пусть каждая группа состоит из 3 мужчин и 3 женщин. План этого эксперимента можно представить в виде таблицы 2 на 2:
| Эксперимент. Группа 1 | Эксперимент. Группа 2 | |
|---|---|---|
| Мужчины | 2 | 6 |
| 3 | 7 | |
| 1 | 5 | |
| Среднее | 2 | 6 |
| Женщины | 4 | 8 |
| 5 | 9 | |
| 3 | 7 | |
| Среднее | 4 | 8 |
До проведения вычислений, можно заметить, что в этом примере общая дисперсия имеет, по крайней мере, три источника:
(1) случайная ошибка (внутригрупповая дисперсия),
(2) изменчивость, связанная с принадлежностью к экспериментальной группе, и
(3) изменчивость, обусловленная полом объектов наблюдения.
(Отметим, что существует еще один возможный источник изменчивости – взаимодействие факторов , который мы обсудим позднее). Что произойдет, если мы не будем включать пол –gender как фактор при проведении анализа и вычислим обычный t -критерий? Если мы будем вычислять суммы квадратов, игнорируя пол – gender (т.е., объединяя объекты разного пола в одну группу при вычислении внутригрупповой дисперсии, получив при этом сумму квадратов для каждой группы равную SS =10, и общую сумму квадратов SS = 10+10 = 20), то получим большее значение внутригрупповой дисперсии, чем при более точном анализе с дополнительным разбиением на подгруппы по полу - gender (при этом внутригрупповые средние будут равны 2, а общая внутригрупповая сумма квадратов равна SS = 2+2+2+2 = 8). Это различие связано с тем, что среднее значение для мужчин - males меньше, чем среднее значение для женщин – female , и это различие в средних значениях увеличивает суммарную внутригрупповую изменчивость, если фактор пола не учитывается. Управление дисперсией ошибки увеличивает чувствительность (мощность) критерия.
На этом примере видно еще одно преимущество дисперсионного анализа по сравнению с обычным t -критерием для двух выборок. Дисперсионный анализ позволяет изучать каждый фактор, управляя значениями остальных факторов. Это, в действительности, и является основной причиной его большей статистической мощности (для получения значимых результатов требуются меньшие объемы выборок). По этой причине дисперсионный анализ даже на небольших выборках дает статистически более значимые результаты, чем простой t - критерий.
Эффекты взаимодействия
Существует еще одно преимущество применения дисперсионного анализа по сравнению с обычным t - критерием: дисперсионный анализ позволяет обнаружить взаимодействие между факторами и, следовательно, позволяет изучать более сложные модели. Для иллюстрации рассмотрим еще один пример.
Главные эффекты, попарные (двухфакторные) взаимодействия. Предположим, что имеется две группы студентов, причем психологически студенты первой группы настроены на выполнение поставленных задач и более целеустремленны, чем студенты второй группы, состоящей из более ленивых студентов. Разобьем каждую группу случайным образом пополам и предложим одной половине в каждой группе сложное задание, а другой - легкое. После этого измерим, насколько напряженно студенты работают над этими заданиями. Средние значения для этого (вымышленного) исследования показаны в таблице:
Какой вывод можно сделать из этих результатов? Можно ли заключить, что: (1) над сложным заданием студенты трудятся более напряженно; (2) целеустремленные студенты работают упорнее, чем ленивые? Ни одно из этих утверждений не отражает сущность систематического характера средних, приведенных в таблице. Анализируя результаты, правильнее было бы сказать, что над сложными заданиями работают упорнее только целеустремленные студенты, в то время как над легкими заданиями только ленивые работают упорнее. Другими словами характер студентов и сложность задания взаимодействуя между собой влияют на затрачиваемое усилие. Это пример парного взаимодействия между характером студентов и сложностью задания. Отметим, что утверждения 1 и 2 описывают главные эффекты .
Взаимодействия высших порядков. В то время как объяснить попарные взаимодействия еще сравнительно легко, взаимодействия высших порядков объяснить значительно сложнее. Представим себе, что в рассматриваемый выше пример, введен еще один фактор пол -Gender и мы получили следующую таблицу средних значений:
Какие теперь выводы можно сделать из полученных результатов? Графики средних позволяют легко интерпретировать сложные эффекты. Модуль дисперсионного анализа позволяет строить эти графики практически одним щелчком мышки.
Изображение на графиках внизу представляет собой изучаемое трехфакторное взаимодействие.
Глядя на графики, можно сказать, что у женщин существует взаимодействие между характером и сложностью теста: целеустремленные женщины работают над трудным заданием более напряженно, чем над легким. У мужчин это же взаимодействие носит обратный характер. Видно, что описание взаимодействия между факторами становится более запутанным.
Общий способ описания взаимодействий. В общем случае взаимодействие между факторами описывается в виде изменения одного эффекта под воздействием другого. В рассмотренном выше примере двухфакторное взаимодействие можно описать как изменение главного эффекта фактора, характеризующего сложность задачи, под воздействием фактора, описывающего характер студента. Для взаимодействия трех факторов из предыдущего параграфа можно сказать, что взаимодействие двух факторов (сложности задачи и характера студента) изменяется под воздействием пола – Gender . Если изучается взаимодействие четырех факторов, можно сказать, что взаимодействие трех факторов, изменяется под воздействием четвертого фактора, т.е. существуют различные типы взаимодействий на разных уровнях четвертого фактора. Оказалось, что во многих областях взаимодействие пяти или даже большего количества факторов не является чем-то необычным.
Сложные планы
Межгрупповые и внутригрупповые планы (планы с повторными измерениями)
При сравнении двух различных групп обычно используется t - критерий для независимых выборок (из модуля Основные статистики и таблицы ). Когда сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов (наблюдений), используется t -критерий для зависимых выборок. Для дисперсионного анализа также важно зависимы или нет выборки. Если имеются повторные измерения одних и тех же переменных (при разных условиях или в разное время) для одних и тех же объектов , то говорят о наличии фактора повторных измерений (называемого также внутригрупповым фактором, поскольку для оценки его значимости вычисляется внутригрупповая сумма квадратов). Если сравниваются разные группы объектов (например, мужчины и женщины, три штамма бактерий и т.п.), то разница между группами описывается межгрупповым фактором. Способы вычисления критериев значимости для двух описанных типов факторов различны, но общая их логика и интерпретации совпадает.
Меж- и внутригрупповые планы. Во многих случаях эксперимент требует включение в план и межгруппового фактора, и фактора повторных измерений. Например, измеряются математические навыки студентов женского и мужского пола (где пол – Gender -межгрупповой фактор) в начале и в конце семестра. Два измерения навыковкаждого студента образуют внутригрупповой фактор (фактор повторных измерений). Интерпретация главных эффектов и взаимодействий для межгрупповых факторов и факторов повторных измерений совпадает, и оба типа факторов могут, очевидно, взаимодействовать между собой (например, женщины приобретают навыки в течение семестра, а мужчины их теряют).
Неполные (гнездовые) планы
Во многих случаях можно пренебречь эффектом взаимодействия. Это происходит или когда известно, что в популяции эффект взаимодействия отсутствует, или когда осуществление полного факторного плана невозможно. Например, изучается влияние четырех добавок к топливу на расход горючего. Выбираются четыре автомобиля и четыре водителя. Полный факторный эксперимент требует, чтобы каждая комбинация: добавка, водитель, автомобиль - появились хотя бы один раз. Для этого нужно не менее 4 x 4 x 4 = 64 групп испытаний, что требует слишком больших временных затрат. Кроме того, вряд ли существует взаимодействие между водителем и добавкой к топливу. Принимая это во внимание, можно использовать план Латинские квадраты, в котором содержится лишь16 групп испытаний (четыре добавки обозначаются буквами A, B, C и D):
Латинские квадраты описаны в большинстве книг по планированию экспериментов (например, Hays, 1988; Lindman, 1974; Milliken and Johnson, 1984; Winer, 1962), и здесь они не будут детально обсуждаться. Отметим, что латинские квадраты это не n олные планы, в которых участвуют не все комбинации уровней факторов. Например, водитель 1 управляет автомобилем 1 только с добавкой А, водитель 3 управляет автомобилем 1 только с добавкой С. Уровни фактора добавок (A, B, C и D) вложены в ячейки таблицы автомобиль x водитель – как яйца в гнезда. Это мнемоническое правило полезно для понимания природы гнездовых или вложенных планов. Модуль Дисперсионный анализ предоставляет простые способы анализ планов такого типа.
Ковариационный анализ
Основная идея
В разделе Основные идеи кратко обсуждалась идея управления факторами и то, каким образом включение аддитивных факторов позволяет уменьшать сумму квадратов ошибок и увеличивать статистическую мощность плана. Все это может быть распространено и на переменные с непрерывным множеством значений. Когда такие непрерывные переменные включаются в план в качестве факторов, они называются ковариатами .
Фиксированные ковариаты
Предположим, что сравниваются математические навыки двух групп студентов, которые обучались по двум различным учебникам. Предположим также, что имеются данные о коэффициенте интеллекта (IQ) для каждого студента. Можно предположить, что коэффициент интеллекта связан с математическими навыками, и использовать эту информацию. Для каждой из двух групп студентов можно вычислить коэффициент корреляции между IQ и математическими навыками. Используя этот коэффициент корреляции, можно выделить долю дисперсии в группах, объясняемую влиянием IQ и необъясняемую долю дисперсии (см. также Элементарные понятия статистики (глава 8) и Основные статистики и таблицы (глава 9)). Оставшаяся доля дисперсии используется при проведении анализа как дисперсия ошибки. Если имеется корреляция между IQ и математическими навыками, то можно существенно уменьшить дисперсии ошибки SS /(n -1) .
Влияние ковариат на F- критерий. F- критерий оценивает статистическую значимость различия средних значений в группах, при этом вычисляется отношение межгрупповой дисперсии (MS effect ) к дисперсии ошибок (MS error ) . Если MS error уменьшается, например, при учете фактора IQ, значение F увеличивается.
Множество ковариат. Рассуждения, использованные выше для одной ковариаты (IQ), легко распространяются на несколько ковариат. Например, кроме IQ, можно включить измерение мотивации, пространственного мышления и т.д. Вместо обычного коэффициента корреляции при этом используется множественный коэффициент корреляции.
Когда значение F -критерия уменьшается. Иногда введение ковариат в план эксперимента уменьшает значение F -критерия. Обычно это указывает на то, что ковариаты коррелированы не только с зависимой переменной (например, математическими навыками), но и с факторами (например, с разными учебниками). Предположим, что IQ измеряется в конце семестра, после почти годового обучения двух групп студентов по двум разным учебникам. Хотя студенты разбивались на группы случайным образом, может оказаться, что различие учебников настолько велико, что и IQ и математические навыки в разных группах будут сильно различаться. В этом случае, ковариаты не только уменьшают дисперсию ошибок, но и межгрупповую дисперсию. Другими словами, после контроля за разностью IQ в разных группах, разность в математических навыках уже будет несущественной. Можно сказать иначе. После “исключения” влияния IQ, неумышленно исключается и влияние учебника на развитие математических навыков.
Скорректированные средние. Когда ковариата влияет на межгрупповой фактор, следует вычислять скорректированные средние , т.е. такие средние, которые получаются после удаления всех оценок ковариат.
Взаимодействие между ковариатами и факторами. Также как исследуется взаимодействие между факторами, можно исследовать взаимодействие между ковариатами и между группами факторов. Предположим, что один из учебников особенно подходит для умных студентов. Второй учебник для умных студентов скушен, а для менее умных студентов этот же учебник труден. В результате имеется положительная корреляция между IQ и результатом обучения в первой группе (более умные студенты, лучше результат) и нулевая или небольшая отрицательная корреляция во второй группе (чем умнее студент, тем менее вероятно приобретение математических навыков из второго учебника). В некоторых исследованиях эта ситуация обсуждается как пример нарушения предположений ковариационного анализа. Однако так как в модуле Дисперсионный анализ используются самые общие способы ковариационного анализа, можно, в частности, оценить статистическую значимость взаимодействия между факторами и ковариатами.
Переменные ковариаты
В то время как фиксированные ковариаты обсуждаются в учебниках достаточно часто, переменные ковариаты упоминаются намного реже. Обычно, при проведении экспериментов с повторными измерениями, нас интересуют различия в измерениях одних и тех же величин в разные моменты времени. А именно, нас интересует значимость этих различий. Если одновременно с измерениями зависимых переменных проводится измерение ковариат, можно вычислить корреляцию между ковариатой и зависимой переменной.
Например, можно изучать интерес к математике и математические навыки в начале и в конце семестра. Интересно было бы проверить, коррелированы ли между собой изменения в интересе к математике с изменением математических навыков.
Модуль Дисперсионный анализ в STATISTICA автоматически оценивает статистическую значимость изменения ковариат в тех планах, где это возможно.
Многомерные планы: многомерный дисперсионный и ковариационный анализ
Межгрупповые планы
Все рассматриваемые ранее примеры включали только одну зависимую переменную. Когда одновременно имеется несколько зависимых переменных, возрастает лишь сложность вычислений, а содержание и основные принципы не меняются.
Например, проводится исследование двух различных учебников. При этом изучаются успехи студентов в изучении физики и математики. В этом случае имеются две зависимые переменные и нужно выяснить, как влияют на них одновременно два разных учебника. Для этого можно воспользоваться многомерным дисперсионным анализом (MANOVA). Вместо одномерного F критерия, используется многомерный F критерий (l-критерий Уилкса), основанный на сравнении ковариационной матрицы ошибок и межгрупповой ковариационной матрицы.
Если зависимые переменные коррелированы между собой, то эта корреляция должна учитываться при вычислении критерия значимости. Очевидно, если одно и то же измерение повторяется дважды, то ничего нового получить при этом нельзя. Если к имеющемуся измерению добавляется коррелированное с ним измерение, то получается некоторая новая информация, но при этом новая переменная содержит избыточную информацию, которая отражается в ковариации между переменными.
Интерпретация результатов. Если общий многомерный критерий значим, можно заключить, что соответствующий эффект (например, тип учебника) значим. Однако встают следующие вопросы. Влияет ли тип учебника на улучшение только математических навыков, только физических навыков, или одновременно на улучшение тех и других навыков. В действительности, после получения значимого многомерного критерия, для отдельного главного эффекта или взаимодействия исследуется одномерный F критерий. Другими словами, отдельно исследуются зависимые переменные, которые вносят вклад в значимость многомерного критерия.
Планы с повторными измерениями
Если измеряются математические и физические навыки студентов в начале семестра и в конце, то это и есть повторные измерения. Изучение критерия значимости в таких планах это логическое развитие одномерного случая. Заметим, что методы многомерного дисперсионного анализа обычно также используются для исследования значимости одномерных факторов повторных измерений, имеющих более чем два уровня. Соответствующие применения будут рассмотрены позднее в этой части.
Суммирование значений переменных и многомерный дисперсионный анализ
Даже опытные пользователи одномерного и многомерного дисперсионного анализа часто приходят в затруднение, получая разные результаты при применении многомерного дисперсионного анализа, например, для трех переменных, и при применении одномерного дисперсионного анализа к сумме этих трех переменных, как к одной переменной.
Идея суммирования переменных состоит в том, что каждая переменная содержит в себе некоторую истинную переменную, которая и исследуется, а также случайную ошибку измерения. Поэтому при усреднении значений переменных, ошибка измерения будет ближе к 0 для всех измерений и усредненное значений будет более надежным. На самом деле, в этом случае применение дисперсионного анализа к сумме переменных разумно и является мощным методом. Однако если зависимые переменные по своей природе многомерны, суммирование значений переменных неуместно.
Например, пусть зависимые переменные состоят из четырех показателей успеха в обществе . Каждый показатель характеризует совершенно независимую сторону человеческой деятельности (например, профессиональный успех, преуспеваемость в бизнесе, семейное благополучие и т.д.). Сложение этих переменных подобно сложению яблока и апельсина. Сумма этих переменных не будет подходящим одномерным показателем. Поэтому с такими данными нужно обходится как с многомерными показателями в многомерном дисперсионном анализе .
Анализ контрастов и апостериорные критерии
Почему сравниваются отдельные множества средних?
Обычно гипотезы относительно экспериментальных данных формулируются не просто в терминах главных эффектов или взаимодействий. Примером может служить такая гипотеза: некоторый учебник повышает математические навыки только у студентов мужского пола, в то время как другой учебник примерно одинаково эффективен для обоих полов, но все же менее эффективен для мужчин. Можно предсказать, что эффективность учебника взаимодействует с полом студента. Однако этот прогноз касается также природы взаимодействия. Ожидается значительное различие между полами для обучающихся по одной книге и практически не зависимые от пола результаты для обучающихся по другой книге. Такой тип гипотез обычно исследуется с помощью анализа контрастов.
Анализ контрастов
Если говорить коротко, то анализ контрастов позволяет оценивать статистическую значимость некоторых линейных комбинаций эффектов сложного плана. Анализ контрастов главный и обязательный элемент любого сложного плана дисперсионного анализа. Модуль Дисперсионный анализ имеет достаточно разнообразные возможности анализа контрастов, которые позволяют выделять и анализировать любые типы сравнений средних.
Апостериорные сравнения
Иногда в результате обработки эксперимента обнаруживается неожиданный эффект. Хотя в большинстве случаев творческий исследователь сможет объяснить любой результат, это не дает возможностей для дальнейшего анализа и получения оценок для прогноза. Эта проблема является одной из тех, для которых используются апостериорные критерии , то есть критерии, не использующие априорные гипотезы. Для иллюстрации рассмотрим следующий эксперимент. Предположим, что на 100 карточках записаны числа от 1 до 10. Опустив все эти карточки в шапку, мы случайным образом выбираем 20 раз по 5 карточек, и вычисляем для каждой выборки среднее значение (среднее чисел, записанных на карточки). Можно ли ожидать, что найдутся две выборки, у которых средние значения значимо отличаются? Это очень правдоподобно! Выбирая две выборки с максимальным и минимальным средним, можно получить разность средних, сильно отличающуюся от разности средних, например, первых двух выборок. Эту разность можно исследовать, например, с помощью анализа контрастов. Если не вдаваться в детали, то существует несколько, так называемых апостериорных критериев, которые основаны в точности на первом сценарии (взятие экстремальных средних из 20 выборок), т. е. эти критерии основаны на выборе наиболее отличающихся средних для сравнения всехсредних значений в плане. Эти критерии применяются для того, чтобы чисто случайно не получить искусственный эффект, например, обнаружить значимое различие между средними, когда его нет. Модуль Дисперсионный анализ предлагает широкий выбор таких критериев. Когда в эксперименте, связанном с несколькими группами, встречаются неожиданные результаты, то используются апостериорные процедуры для исследования статистической значимости полученных результатов.
Сумма квадратов типа I, II, III и IV
Многомерная регрессия и дисперсионный анализ
Существует тесная взаимосвязь между методом многомерной регрессии и дисперсионным анализом (анализом вариаций). И в том и в другом методе исследуется линейная модель. Если говорить коротко, то практически все планы эксперимента можно исследовать с помощью многомерной регрессии. Рассмотрим следующий простой межгрупповой 2 x 2 план.
| DV | A | B | AxB |
|---|---|---|---|
| 3 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | -1 | -1 |
| 5 | 1 | -1 | -1 |
| 6 | -1 | 1 | -1 |
| 6 | -1 | 1 | -1 |
| 3 | -1 | -1 | 1 |
| 2 | -1 | -1 | 1 |
Столбцы А и В содержат коды, характеризующие уровни факторов А и В, столбец АxВ содержит произведение двух столбцов А и В. Мы можем анализировать эти данные с помощью многомерной регрессии. Переменная DV определяется как зависимая переменная, переменные от A до AxB как независимые переменные. Исследование значимости для коэффициентов регрессии будет совпадать с вычислениями в дисперсионном анализе значимости главных эффектов факторов A и B и эффекта взаимодействия AxB .
Несбалансированные и сбалансированные планы
При вычислении корреляционной матрицы для всех переменных, например, для данных, изображенных выше, можно заметить, что главные эффекты факторов A и B и эффект взаимодействия AxB некоррелированы. Это свойство эффектов называют также ортогональностью. Говорят, что эффекты A и B - ортогональны или независимы друг от друга. Если все эффекты в плане ортогональны друг другу, как в приведенном выше примере, то говорят, что план сбалансирован .
Сбалансированные планы обладают “хорошим свойством”. Вычисления при анализе таких планов очень просты. Все вычисления сводятся к вычислению корреляции между эффектами и зависимыми переменными. Так как эффекты ортогональны, частные корреляции (как в полной многомерной регрессии) не вычисляются. Однако в реальной жизни планы не всегда сбалансированы.
Рассмотрим реальные данные с неравным числом наблюдений в ячейках.
| Фактор A | Фактор B | |
|---|---|---|
| B1 | B2 | |
| A1 | 3 | 4, 5 |
| A2 | 6, 6, 7 | 2 |
Если закодировать эти данные как выше и вычислить корреляционную матрицу для всех переменных, то окажется, что факторы плана коррелированы друг с другом. Факторы в плане теперь не ортогональны и такие планы называются несбалансированными. Заметим, что в рассматриваемом примере, корреляция между факторами полностью связана с различием частот 1 и -1 в столбцах матрицы данных. Другими словами, планы экспериментов с неравными объемами ячеек (точнее, непропорциональными объемами) будут несбалансированными, это означает, что главные эффекты и взаимодействия будут смешиваться. В этом случае для вычисления статистической значимости эффектов нужно полностью вычислять многомерную регрессию. Здесь имеется несколько стратегий.
Сумма квадратов типа I, II, III и IV
Сумма квадратов типа I и III . Для изучения значимости каждого фактора в многомерной модели можно вычислять частную корреляцию каждого фактора, при условии, что все другие факторы уже учтены в модели. Можно также вводить факторы в модель пошаговым способом, фиксируя все факторы, уже введенные в модель и игнорируя все остальные факторы. Вообще, в этом и состоит различие между типом III и типом I суммы квадратов (эта терминология была введена в SAS, см. например, SAS, 1982; подробное обсуждение можно также найти в Searle, 1987, стр. 461; Woodward, Bonett, and Brecht, 1990, стр. 216; или Milliken and Johnson, 1984, стр. 138).
Сумма квадратов типа II. Следующая “промежуточная” стратегия формирования модели состоит: в контроле всех главных эффектов при исследовании значимости отдельного главного эффекта; в контроле всех главных эффектов и всех попарных взаимодействий, когда исследуется значимость отдельного попарного взаимодействия; в контроле всех главных эффектов всех попарных взаимодействий и всех взаимодействий трех факторов; при исследовании отдельного взаимодействия трех факторов и т.д. Суммы квадратов для эффектов, вычисляемые таким способом, называются типом II суммы квадратов. Итак, тип II суммы квадратов контролирует все эффекты того же порядка и ниже, игнорируя все эффекты более высокого порядка.
Сумма квадратов типа IV . Наконец, для некоторых специальных планов с пропущенными ячейками (неполными планами) можно вычислять, так называемые, типа IV суммы квадратов. Этот метод будет обсуждаться позднее в связи с неполными планами (планами с пропущенными ячейками).
Интерпретация гипотезы о сумме квадратов типа I, II, и III
Сумму квадратов типа III легче всего интерпретировать. Напомним, что суммы квадратов типа III исследуют эффекты после контроля всех других эффектов. Например, после нахождения статистически значимого типа III эффекта для фактора A в модуле Дисперсионный анализ , можно сказать, что существует единственный значимый эффект фактора A , после введения всех других эффектов (факторов) и соответственно интерпретировать этот эффект. Вероятно в 99% всех приложений дисперсионного анализа именно этот тип критерия интересует исследователя. Этот тип суммы квадратов обычно вычисляется в модуле Дисперсионный анализ по умолчанию, независимо от того выбрана опция Регрессионный подход или нет (стандартные подходы принятые в модуле Дисперсионный анализ обсуждаются ниже).
Значимые эффекты, полученные с помощью сумм квадратов типа или типа II суммы квадратов интерпретировать не так легко. Лучше всего их интерпретировать в контексте пошаговой многомерной регрессии. Если при использовании суммы квадратов типа I главный эффект фактора В оказался значим (после включения в модель фактора А, но перед добавлением взаимодействия между А и В), можно заключить, что существует значимый главный эффект фактора В, при условии, что нет взаимодействия между факторами А и В. (Если при использовании критерия типа III , фактор В также оказался значимым, то можно заключить, что существует значимый главный эффект фактора B, после введения в модель всех других факторов и их взаимодействий).
В терминах маргинальных средних гипотезы типа I и типа II обычно не имеют простой интерпретации. В этих случаях говорят, что нельзя интерпретировать значимость эффектов, рассматривая только маргинальные средние. Скорее представленные p значений средних имеют отношение к сложной гипотезе, которая комбинирует средние и объем выборки. Например, тип II гипотезы для фактора А в простом примере плана 2 x 2, рассматриваемом ранее будут (см. Woodward, Bonett, and Brecht, 1990, стр. 219):
nij - число наблюдений в ячейке
uij - среднее значение в ячейке
n . j - маргинальное среднее
Если не вдаваться в детали (более подробно см. Milliken and Johnson, 1984, глава 10), то ясно, что это не простые гипотезы и в большинстве случаев ни одна из них не представляет особенного интереса у исследователя. Однако существуют случаи, когда гипотезы типа I могут быть интересны.
Принимаемый по умолчанию вычислительный подход в модуле Дисперсионный анализ
По умолчанию, если не отмечена опция Регрессионный подход , модуль Дисперсионный анализ использует модель средних по ячейкам . Для этой модели характерно, что суммы квадратов для разных эффектов вычисляются для линейных комбинаций средних значений по ячейкам. В полном факторном эксперименте это приводит к суммам квадратов, которые совпадают с суммами квадратов, обсуждаемыми ранее как тип III . Однако в опции Спланированные сравнения (в окне Результаты дисперсионного анализа ), пользователь может проверять гипотезу относительно любой линейной комбинации взвешенных или невзвешенных средних по ячейкам. Таким образом, пользователь может проверять не только гипотезы типа III , но гипотезы любого типа (включая тип IV ). Этот общий подход особенно полезен, когда исследуются планы с пропущенными ячейками (так называемые неполные планы).
Для полных факторных планов этот подход полезно также использовать в тех случаях, когда хотят анализировать взвешенные маргинальные средние. Например, предположим, что в рассматриваемом ранее простом 2 x 2 плане, нужно сравнить взвешенные (по уровням фактора B ) маргинальные средние для фактора А. Это бывает полезным, когда распределение наблюдений по ячейкам не готовилось экспериментатором, а строилось случайно, и эта случайность отражается в распределении числа наблюдений по уровням фактора B в совокупности.
Например, имеется фактор - возраст вдов. Возможная выборка респондентов разбита на две группы: моложе 40 лет и старше 40 (фактор В). Второй фактор (фактор А) в плане - получали или нет социальную поддержку вдовы в некотором агентстве (при этом одни вдовы были выбраны случайно, другие служили в качестве контроля). В этом случае распределение вдов по возрастам в выборке отражает действительное распределение вдов по возрастам в совокупности. Оценке эффективности группы социальной поддержки вдов по всем возрастам будет соответствовать взвешенное среднее для двух возрастных групп (с весами соответствующими числу наблюдений в группе).
Спланированные сравнения
Заметим, что сумма введенных коэффициентов контрастов не обязательно равна 0 (нулю). Вместо этого программа будет автоматически вносить поправки, чтобы соответствующие гипотезы не смешивались с общим средним.
Для иллюстрации этого вернемся опять к простому 2 x 2 плану, рассмотренному ранее. Напомним, что числа наблюдений в ячейках этого несбалансированного плана -1, 2, 3, и 1. Предположим, что мы хотим сравнить взвешенные маргинальные средние для фактора А (взвешенные с частотой уровней фактора В). Можно ввести коэффициенты контраста:
Заметим, что эти коэффициенты не дают в сумме 0. Программа будет устанавливать коэффициенты так, что в сумме они будут давать 0, и при этом будут сохраняться их относительные значения, т. е.:
1/3 2/3 -3/4 -1/4
Эти контрасты будут сравнивать взвешенные средние для фактора А.
Гипотезы о главном среднем. Гипотеза, о том, что не взвешенное главное среднее равно 0 может исследоваться с помощью коэффициентов:
Гипотеза о том, что взвешенное главное среднее равно 0 проверяется с помощью:
Ни в одном случае программа не производит корректировки коэффициентов контрастов.
Анализ планов с пропущенными ячейками (неполные планы)
Факторные планы, содержащие пустые ячейки (обработка комбинаций ячеек, в которых нет наблюдений) называются неполными. В таких планах некоторые факторы обычно не ортогональны и некоторые взаимодействия не могут быть вычислены. Вообще не существует лучшего метода анализа таких планов.
Регрессионный подход
В некоторых старых программах, которые основаны на анализе планов дисперсионного анализа с помощью многомерной регрессии, факторы в неполных планах по умолчанию задаются обычным образом (как будто план полный). Затем производится многомерный регрессионный анализ для этих фиктивно закодированных факторов. К несчастью, этот метод приводит к результатам, которые очень трудно, или даже невозможно, интерпретировать, так как неясно, как каждый эффект участвует в линейной комбинации средних значений. Рассмотрим следующий простой пример.
| Фактор A | Фактор B | |
|---|---|---|
| B1 | B2 | |
| A1 | 3 | 4, 5 |
| A2 | 6, 6, 7 | Пропущено |
Если будет выполняться многомерная регрессия вида Зависимая переменная = Константа + Фактор A + Фактор B , то гипотеза о значимости факторов A и B в терминах линейных комбинаций средних выглядит так:
Фактор A: Ячейка A1,B1 = Ячейка A2,B1
Фактор B: Ячейка A1,B1 = Ячейка A1,B2
Этот случай прост. В более сложных планах невозможно фактически определить, что точно будет исследоваться.
Средние ячеек, подход дисперсионного анализа, гипотезы типа IV
Подход, который рекомендуется в литературе и который кажется предпочтительнее - исследование осмысленных (с точки зрения исследовательских задач) априорных гипотез о средних, наблюдаемых в ячейках плана. Подробное обсуждение этого подхода можно найти в Dodge (1985), Heiberger (1989), Milliken and Johnson (1984), Searle (1987), или Woodward, Bonett, and Brecht (1990). Суммы квадратов, ассоциированные с гипотезами о линейной комбинации средних в неполных планах, исследующие оценки части эффектов, называются также суммами квадратов IV .
Автоматическая генерация гипотез типа IV . Когда многофакторные планы имеют сложный характер пропущенных ячеек, желательно определить ортогональные (независимые) гипотезы, исследование которых эквивалентно исследованию главных эффектов или взаимодействий. Были развиты алгоритмические (вычислительные) стратегии (основанные на псевдообратной матрице плана) для генерирования подходящих весов для таких сравнений. К сожалению, окончательные гипотезы определяются не единственным образом. Конечно, они зависят от порядка, в котором эффекты были определены и редко допускают простую интерпретацию. Поэтому рекомендуется внимательно изучить характер пропущенных ячеек, затем формулировать гипотезы типа IV , которые наиболее содержательно соответствуют целям исследования. Затем исследовать эти гипотезы, используя опцию Спланированные сравнения в окне Результаты . Самый легкий путь задать сравнения в этом случае - требовать введения вектора контрастов для всех факторов вместе в окне Спланированные сравнения. После вызова диалогового окна Спланированные сравнения будут показаны все группы текущего плана и помечены те, которые пропущены.
Пропущенные ячейки и проверка специфического эффекта
Существует несколько типов планов, в которых расположение пропущенных ячеек не случайно, но тщательно спланировано, что позволяет проводить простой анализ главных эффектов не затрагивая другие эффекты. Например, когда необходимое число ячеек в плане недоступно, часто используются планы Латинские квадраты для оценивания главных эффектов нескольких факторов с большим числом уровней. Например, 4 x 4 x 4 x 4 факторный план требует 256 ячеек. В то же время можно использовать Греко-латинский квадрат для оценки главных эффектов, имея только 16 ячеек в плане (глава Планирование эксперимента , том IV, содержит детальное описание таких планов). Неполные планы, в которых главные эффекты (и некоторые взаимодействия) могут быть оценены с помощью простых линейных комбинаций средних, называются сбалансированными неполными планами .
В сбалансированных планах стандартный (по умолчанию) метод генерирования контрастов (весов) для главных эффектов и взаимодействий будет затем производить анализ таблицы дисперсий, в которой суммы квадратов для соответствующих эффектов не смешиваются друг с другом. Опция Специфический эффекты окна Результаты будет генерировать пропущенные контрасты, записывая ноль в пропущенные ячейки плана. Сразу после того, как будет запрошена опция Специфический эффекты для пользователя, изучающего некоторую гипотезу, появляется таблица результатов с фактическими весами. Заметим, что в сбалансированном плане, суммы квадратов соответствующих эффектов вычисляются только, если эти эффекты ортогональны (независимы) всем другим главным эффектам и взаимодействиям. В противном случае нужно воспользоваться опцией Спланированные сравнения для изучения содержательных сравнений между средними.
Пропущенные ячейки и объединенные эффекты/члены ошибки
Если опция Регрессионное подход в стартовой панели модуля Дисперсионный анализ не выбрана, то при вычислении суммы квадратов для эффектов будет использоваться модель средних по ячейкам (установка по умолчанию). Если план не сбалансирован, то при объединении неортогональных эффектов (см. выше обсуждение опции Пропущенные ячейки и специфический эффект ) можно получить сумму квадратов, состоящую из неортогональных (или перекрывающихся) компонент. Полученные при этом результаты, обычно не интерпретируемы. Поэтому нужно быть очень осторожным при выборе и реализации сложных неполных экспериментальных планов.
Существует много книг с детальным обсуждением планов разного типа. (Dodge, 1985; Heiberger, 1989; Lindman, 1974; Milliken and Johnson, 1984; Searle, 1987; Woodward and Bonett, 1990), но такого рода информация лежит вне границ этого учебника. Тем не менее, позднее в этом разделе будет продемонстрирован анализ различного типа планов.
Предположения и эффекты нарушения предположений
Отклонение от предположения о нормальности распределений
Предположим, что зависимая переменная измерена в числовой шкале. Предположим также, что зависимая переменная имеет нормальное распределение внутри каждой группы. Дисперсионный анализ содержит широкий набор графиков и статистик для обоснования этого предположения.
Эффекты нарушения. Вообще F критерий очень устойчив к отклонению от нормальности (подробные результаты см. в работе Lindman, 1974). Если эксцесс больше 0, то значение статистики F может стать очень маленьким. Нулевая гипотеза при этом принимается, хотя она может быть и не верна. Ситуация меняется на противоположную, когда эксцесс меньше 0. Асимметрия распределения обычно незначительно влияет на F статистику. Если число наблюдений в ячейке достаточно большое, то отклонение от нормальности не имеет особого значения в силу центральной предельной теоремы , в соответствии с которой, распределение среднего значения близко к нормальному, независимо от начального распределения. Подробное обсуждение устойчивости F статистики можно найти в Box and Anderson (1955), или Lindman (1974).
Однородность дисперсии
Предположения. Предполагается, что дисперсии разных групп плана одинаковы. Это предположение называется предположением об однородности дисперсии. Вспомним, что в начале этого раздела, описывая вычисление суммы квадратов ошибок, мы производили суммирование внутри каждой группы. Если дисперсии в двух группах отличаются друг от друга, то сложение их не очень естественно и не дает оценки общей внутригрупповой дисперсии (так как в этом случае общей дисперсии вообще не существует). Модуль Дисперсионный анализ - ANOVA /MANOVA содержит большой набор статистических критериев обнаружения отклонения от предположений однородности дисперсии.
Эффекты нарушения. Линдман (Lindman 1974, стр. 33) показывает, что F критерий вполне устойчив относительно нарушения предположений однородности дисперсии (неоднородность дисперсии, см. также Box, 1954a, 1954b; Hsu, 1938).
Специальный случай: коррелированность средних и дисперсий. Бывают случаи, когда F статистика может вводить в заблуждение. Это бывает, когда в ячейках плана средние значения коррелированы с дисперсией. Модуль Дисперсионный анализ позволяет строить диаграммы рассеяния дисперсии или стандартного отклонения относительно средних для обнаружения такой корреляции. Причина, по которой такая корреляция опасна, состоит в следующем. Представим себе, что имеется 8 ячеек в плане, 7 из которых имеют почти одинаковое среднее, а в одной ячейке среднее намного больше остальных. Тогда F критерий может обнаружить статистически значимый эффект. Но предположим, что в ячейке с большим средним значением и дисперсия значительно больше остальных, т.е. среднее значение и дисперсия в ячейках зависимы (чем больше среднее, тем больше дисперсия). В этом случае большое среднее значение ненадежно, так как оно может быть вызвано большой дисперсией данных. Однако F статистика, основанная на объединенной дисперсии внутри ячеек, будет фиксировать большое среднее, хотя критерии, основанные на дисперсии в каждой ячейке, не все различия в средних будут считать значимыми.
Такой характер данных (большое среднее и большая дисперсия) - часто встречается, когда имеются резко выделяющиеся наблюдения. Одно или два резко выделяющихся наблюдений сильно смещают среднее значение и очень увеличивают дисперсию.
Однородность дисперсии и ковариаций
Предположения. В многомерных планах, с многомерными зависимыми измерениями, также применяются предположение об однородности дисперсии, описанные ранее. Однако так как существуют многомерные зависимые переменные, то требуется так же чтобы их взаимные корреляции (ковариации) были однородны по всем ячейкам плана. Модуль Дисперсионный анализ предлагает разные способы проверки этих предположений.
Эффекты нарушения . Многомерный аналог F - критерия - λ-критерий Уилкса. Не так много известно об устойчивости (робастности) λ-критерия Уилкса относительно нарушения указанных выше предположений. Тем не менее, так как интерпретация результатов модуля Дисперсионный анализ основывается обычно на значимости одномерных эффектов (после установления значимости общего критерия), обсуждение робастности касается, в основном, одномерного дисперсионного анализа. Поэтому должна быть внимательно исследована значимость одномерных эффектов.
Специальный случай: ковариационный анализ. Особенно серьезные нарушения однородности дисперсии/ковариаций могут происходить, когда в план включаются ковариаты. В частности, если корреляция между ковариатами и зависимыми измерениями различна в разных ячейках плана, может последовать неверное истолкование результатов. Следует помнить, что в ковариационном анализе, в сущности, проводится регрессионный анализ внутри каждой ячейки для того, чтобы выделить ту часть дисперсии, которая соответствует ковариате. Предположение об однородности дисперсии/ковариации предполагает, что этот регрессионный анализ проводится при следующем ограничении: все регрессионные уравнения (наклоны) для всех ячеек одинаковы. Если это не предполагается, то могут появиться большие ошибки. Модуль Дисперсионный анализ имеет несколько специальных критериев для проверки этого предположения. Можно посоветовать использовать эти критерии, для того, чтобы убедиться, что регрессионные уравнения для различных ячеек примерно одинаковы.
Сферичность и сложная симметрия: причины использования многомерного подхода к повторным измерениям в дисперсионном анализе
В планах, содержащих факторы повторных измерений с более чем двумя уровнями, применение одномерного дисперсионного анализа требует дополнительных предположений: предположения о сложной симметрии и предположения о сферичности. Эти предположения редко выполняются (см. ниже). Поэтому в последние годы многомерный дисперсионный анализ завоевал популярность в таких планах (оба подхода совмещены в модуле Дисперсионный анализ ).
Предположение о сложной симметрии Предположение о сложной симметрии состоит в том, что дисперсии (общие внутригрупповые) и ковариации (по группам) для различных повторных измерений однородны (одинаковы). Это достаточное условие для того, чтобы одномерный F критерий для повторных измерений был обоснованным (т.е. выданные F-значения в среднем соответствовали F-распределению). Однако в данном случае это условие не является необходимым.
Предположение о сферичности. Предположение о сферичности является необходимым и достаточным условием того, чтобы F-критерий был обоснованным. Оно состоит в том, что внутри групп все наблюдения независимы и одинаково распределены. Природа этих предположений, а также влияние их нарушений обычно не очень хорошо описаны в книгах по дисперсионному анализу - эта будет описано в следующих параграфах. Там же будет показано, что результаты одномерного подхода могут отличаться от результатов многомерного подхода, и будет объяснено, что это означает.
Необходимость независимости гипотез. Общий способ анализа данных в дисперсионном анализе – это подгонка модели . Если относительно модели, соответствующей данным, имеются некоторые априорные гипотезы, то дисперсия разбивается для проверки этих гипотез (критерии главных эффектов, взаимодействий). С точки зрения вычислений, этот подход генерирует некоторое множество контрастов (множество сравнений средних в плане). Однако если контрасты не независимы друг от друга, разбиение дисперсий становится бессодержательным. Например, если два контраста A и B тождественны и выделяется соответствующая им часть из дисперсии, то одна и та же часть выделяется дважды. Например, глупо и бессмысленно выделять две гипотезы: “среднее в ячейке 1 выше среднего в ячейке 2” и “среднее в ячейке 1 выше среднего в ячейке 2”. Итак, гипотезы должны быть независимы или ортогональны.
Независимые гипотезы при повторных измерениях. Общий алгоритм, реализованный в модуле Дисперсионный анализ , будет пытаться для каждого эффекта генерировать независимые (ортогональные) контрасты. Для фактора повторных измерений эти контрасты задают множество гипотез относительно разностей между уровнями рассматриваемого фактора. Однако если эти разности коррелированы внутри групп, то результирующие контрасты не являются больше независимыми. Например, в обучении, где обучающиеся измеряются три раза за один семестр, может случиться, что изменения между 1 и 2 измерением отрицательно коррелируют с изменением между 2 и 3 измерениями субъектов. Те, кто большую часть материала освоил между 1 и 2 измерениями, осваивают меньшую часть в течение того времени, которое прошло между 2 и 3 измерением. В действительности, для большинства случаев, где дисперсионный анализ используются при повторных измерениях, можно предположить, что изменения по уровням коррелированы по субъектам. Однако когда это случается, предположение о сложной симметрии и предположения о сферичности не выполняются и независимые контрасты не могут быть вычислены.
Влияние нарушений и способы их исправления. Когда предположения о сложной симметрии или о сферичности не выполняются, дисперсионный анализ может выдать ошибочные результаты. До того, как были достаточно разработаны многомерные процедуры, было предложено несколько предположений для компенсации нарушений этих предположений. (см., например, работы Greenhouse & Geisser, 1959 и Huynh & Feldt, 1970). Эти методы до сих пор широко используются (поэтому они представлены в модуле Дисперсионный анализ ).
Подход многомерного дисперсионного анализа к повторным измерениям. В целом проблемы сложной симметрии и сферичности относятся к тому факту, что множества контрастов, включенных в исследование эффектов факторов повторных измерений (с числом уровней большим, чем 2) не независимы друг от друга. Однако им не обязательно быть независимыми, если используется многомерный критерий для одновременной проверки статистического значимости двух или более контрастов фактора повторных измерений. Это является причиной того, что методы многомерного дисперсионного анализа стали чаще использоваться для проверки значимости факторов одномерных повторных измерений с более чем 2 уровнями. Этот подход широко распространен, так как он, в общем случае, не требует предположения о сложной симметрии и предположения о сферичности.
Случаи, в которых подходмногомерного дисперсионного анализа не может быть использован. Существуют примеры (планы), когда подход многомерного дисперсионного анализа не может быть применен. Обычно это случаи, когда имеется небольшое количество субъектов в плане и много уровней в факторе повторных измерений. Тогда для проведения многомерного анализа может быть слишком мало наблюдений. Например, если имеется 12 субъектов, p = 4 фактора повторных измерений, и каждый фактор имеет k = 3 уровней. Тогда взаимодействие 4-х факторов будет “расходовать”(k -1)P = 2 4 = 16 степеней свободы. Однако имеется лишь 12 субъектов, следовательно, в этом примере многомерный тест не может быть проведен. Модуль Дисперсионный анализ самостоятельно обнаружит эти наблюдения и вычислит только одномерные критерии.
Различия в одномерных и многомерных результатах. Если исследование включает большое количество повторных измерений, могут возникнуть случаи, когда одномерный подход дисперсионного анализа к повторным измерениям дает результаты, сильно отличающиеся от тех, которые были получены при многомерном подходе. Это означает, что разности между уровнями соответствующих повторных измерений коррелированы по субъектам. Иногда этот факт представляет некоторый самостоятельный интерес.
Многомерный дисперсионный анализ и структурное моделирование уравнений
В последние годы моделирование структурных уравнений стало популярным, как альтернатива многомерному анализу дисперсии (см. например, Bagozzi and Yi, 1989; Bagozzi, Yi, and Singh, 1991; Cole, Maxwell, Arvey, and Salas, 1993). Этот подход позволяет проверять гипотезы не только о средних в разных группах, но так же и о корреляционных матрицах зависимых переменных. Например, можно ослабить предположения об однородности дисперсии и ковариаций и явно включить в модель для каждой группы дисперсии и ковариации ошибки. Модуль STATISTICA Моделирование структурными уравнениями (SEPATH ) (см. том III) позволяет проводить такой анализ.
Дисперсионный анализ позволяет исследовать различие между группами данных, определять, носят ли эти расхождения случайный характер или вызваны конкретными обстоятельствами. Например, если продажи фирмы в одном из регионов снизились, то с помощью дисперсионного анализа можно выяснить, случайно ли снижение оборотов в этом регионе по сравнению с остальными, и при необходимости произвести организационные изменения. При выполнении эксперимента в разных условиях дисперсионный анализ поможет определить, насколько влияют внешние факторы на измерения, или отклонения носят случайный характер. Если на производстве для улучшения качества продукции изменяют режим процессов, то дисперсионный анализ позволяет оценить результаты воздействия данного фактора.
На этом примере мы покажем, как выполнять дисперсионный анализ экспериментальных данных.
Задание 1 . Имеются четыре партии сырья для текстильной промышленности. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены в таблице.
71" height="29" bgcolor="white" style="border:.75pt solid black; vertical-align:top;background:white">
Рис.1 |
> Откройте табличный процессор Microsoft Excel. Щелкните мышью на ярлыке Лист2 (Sheet2), чтобы перейти на другой рабочий лист.
> Введите данные для дисперсионного анализа, изображенные на рис.1.
> Преобразуйте данные в числовой формат. Для этого выберите команду меню Формат Ячейки. На экранe появится окно формат ячеек (Рис.2). Выберите Числовой формат и введенные данные преобразуются к виду, показанному на рис. 3
> Выберите команду меню Сервис Анализ данных (Тоо1s * Dаtа Апа1уsis). На экранe появится окно Анализ данных (Dаtа Апа1уsis) (Рис.4).
> Щелкните мышью на строке Однофакторный дисперсионный анализ (Аnоvа: Single Factor) в списке Инструменты анализа (Апа1уsis Тоо1s).
> Нажмите кнопку ОК, чтобы закрыть окно Анализ данных (Dаtа Апа1уsis). На экране появится окно Однофакторный дисперсионный анализ для проведения дисперсионного анализа данных (Рис.5).
https://pandia.ru/text/78/446/images/image006_46.jpg" width="311" height="214 src=">
|
> Установите флажок Метки в первой строке (Labels in Firts Rom) в группе элементов управления Входные данные (Input), если первый столбец выделенного диапазона данных содержит названия строк.
> В поле ввода Альфа (А1рhа) группы элементов управления Входные данные по умолчанию отображается величина 0,05, которая связана с вероятностью возникновения ошибки в дисперсионном анализе.
> Если в группе элементов управления Параметры вывода (Input options) не установлен переключатель Новый рабочий лист (Nev Worksheet Ply), то установите его, чтобы результаты дисперсионного анализа были помещены на новый рабочий лист
> Нажмите кнопку ОК, чтобы закрыть окно Однофакторный дисперсионный анализ (Аnоvа: Single Factor). На новом рабочем листе появятся результаты дисперсионного анализа (Рис. 6).
|
В диапазоне ячеек А4:Е6 расположены результаты описательной статистики. В строке 4 находятся названия параметров, в строках статистические значения, вычисленные по партиям.
В столбце Счет (Соunt) расположены количества измерений, в столбце Сумма - суммы величин, в столбце Среднее (Аvегаgе) - средние арифметические значения, в столбце Дисперсия (Vаriаnсе) - дисперсии.
Полученные результаты показывают, что наибольшая средняя разрывная нагрузка в партии №3, а наибольшая дисперсия разрывной нагрузки –в партии №1.
В диапазоне ячеек А11: G 16 отображается информация, касающаяся существенности расхождений между группами данных. В строке 12 находятся названия параметров дисперсионного анализа, в строке 13 - результаты межгрупповой обработки, в строке 14 - результаты внутригрупповой обработки, а в строке 16 – суммы значений упоминавшихся двух строк.
В столбце SS (Qi ) расположены величины варьирования, т. е. суммы квадратов по всем отклонениям. Варьирование, как и дисперсия, характеризует разброс данных. По таблице можно заметить, что межгрупповой разброс разрывной нагрузки существенно выше величины внутригруппового варьирования.
В столбце df (k ) находятся значения чисел степеней свободы. Данные числа указывают на количество независимых отклонений, по которым будет вычисляться дисперсия. Например, межгрупповое число степеней свободы равняется разности количеству групп данных и единицы. Чем больше число степеней свободы, тем выше надежность дисперсионных параметров. Данные степеней свобод в таблице показывают, что для внутригрупповых результатов надежность выше, чем для межгрупповых параметров.
В столбце MS (S 2 ) расположены величины дисперсии, которые определяются отношением варьирования и числа степеней свобод. Дисперсия характеризует степень разброса данных, но в отличие от величины варьирования, не имеет прямой тенденции увеличиваться с ростом числа степеней свобод. Из таблицы видно, что межгрупповая дисперсия значительно больше внутригрупповой дисперсии.
В столбце F находится, значение F -статистики , вычисляемое отношением межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.
В столбце F критическое (F crit) расположено F-критическое значение, рассчитываемое по числу степеней свободы и величине Альфа (А1рhа). F-статистика и F-критическое значение используют критерий Фишера -Снедекора.
Если F-статистика больше F-критического значения, то можно утверждать, что различия между группами данных носят неслучайный характер. т. е. на уровне значимости α = 0,05 (с надежностью 0,95) нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная: различие между партиями сырья оказывает существенное влияние на величину разрывной нагрузки.
В столбце Р-значение (Р-value) находится значение вероятности того, что расхождение между группами случайно. Так как в таблице данная вероятность очень мала, то отклонение между группами носит неслучайный характер.
2. Решение задач двухфакторного дисперсионного анализ без повторений
Microsoft Excel располагает функцией Anova: (Two-Factor Without Replication), которая используется для выявления факта влияния контролируемых факторов А и В на результативный признак на основе выборочных данных, причем каждому уровню факторов А и В соответствует только одна выборка. Для вызова этой функции необходимо на панели меню выбрать команду Сервис –Анализ данных . На экране раскроется окно Анализ данных , в котором следует выбрать значение Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений и щелкнуть на кнопке ОК. В результате на экране раскроется диалоговое окно, показанное на рисунке 1.
78" height="42" bgcolor="white" style="border:.75pt solid black; vertical-align:top;background:white">
3. В поле Aльфа вводится принятый уровень значимости α , соответствующий вероятности возникновения ошибки первого рода.
4. Переключатель в группе Output options может быть установлен в одно из трех положений: Output Range (Выходной диапазон), New Worksheet Ply (Новый рабочий лист) или New Workbook (Новая рабочая книга).
Пример.
Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений (Anova: Two-Factor Without Replication) на следующем примере.
На рисунке. 2 представлены данные об урожайности (ц/га) четырех сортов пшеницы (четыре уровня фактора А), достигнутой при использовании пяти типов удобрений (пять уровней фактора В). Данные получены на 20 участках одинакового размера и аналогичного почвенного покрова. Необходимо определить , влияет ли сорт и тип удобрения на урожайность пшеницы.
Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений представлены на рисунке 3.
Как видно по результатам, расчетное значение величины F-статистики для фактора А (тип удобрения) F
А
=
l
,67
, а критическая область образуется правосторонним интервалом (3,49; +∞). Так как F
А
=
l
,67
не попадает в критическую область, гипотезу НА: a
1
= a
2
+ = ak
принимаем
, т. е. считаем, что в этом эксперименте тип удобрения не оказал влияния на урожайность.
Так как F В =2,03 не попадает в критическую область, гипотезу НВ : b 1 = b 2 = ... = bm
также принимаем, т. е. считаем, что в данном эксперименте сорт пшеницы также не оказал влияния на урожайность.
2. Двухфакторный дисперсионный анализ c повторениями
Microsoft Excel располагает функцией Anova: Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями (Two-Factor With Replication), которая также используется для выявления факта влияния контролируемых факторов А и В на результативный признак на основе выборочных данных, однако каждому уровню одного из факторов А (или В) соответствует более одной выборки данных .
Рассмотрим использование функции Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями на следующем примере.
Пример 2 . В таблице. 6 приведены суточные привесы (г) собранных для исследования 18 поросят в зависимости от метода удержания поросят (фактор А) и качества их кормления (фактор В).
75" height="33" bgcolor="white" style="border:.75pt solid black; vertical-align:top;background:white">
В этом диалоговом окне задаются следующие параметры.
1. В поле Входной интервал (Input Range) вводится ссылка на диапазон ячеек, содержащий анализируемые данные. Необходимо выделить ячейки от G 4 до I 13.
2. В поле Число строк для выборки (Rows per sample) определяется число выборок, которое приходится на каждый уровень одного из факторов. Каждый уровень фактора должен содержать одно и то же количество выборок (строк таблицы). В нашем случае число строк равно трем.
3. В поле Альфа (Alpha) вводится принятое значение уровня значимости α , которое равно вероятности возникновения ошибки первого рода.
4. Переключатель в группе Output options может быть установлен в одно из трех положений: Output Range (Выходной интервал), New Worksheet Ply (Новый рабочий лист) или New Workbook (Новая рабочая книга).
Результаты двухфакторного дисперсионного анализа с помощью функции Двухфакторный дисперсионный анализ сповторениями
существенным.
В силу того что 
взаимодействие указанных факторов незначимо (на 5%-ном уровне).
Задание на дом
1. В течение шести лет использовались пять различных технологий по выращиванию сельскохозяйственной культуры. Данные по эксперименту (в ц/га) приведены в таблице:
https://pandia.ru/text/78/446/images/image024_11.jpg" width="642" height="190 src=">
Требуется на уровне значимости α = 0,05 установить зависимость выпуска качественных плиток от линии выпуска (фактора А).
3. Имеются следующие данные об урожайности четырех сортов пшеницы на выделенных пяти участках земли (блоках):
https://pandia.ru/text/78/446/images/image026_9.jpg" width="598" height="165 src=">
Требуется на уровне значимости α = 0,05 установить влияние на производительность труда технологий (фактора А) и предприятий (фактора В).