Информатика и математика - Теоретические материалы для первого коллоквиума

1. Предмет математической статистики, её основные разделы. Понятие о статистическом распределении. Нормальное распределение. В каких условиях случайная величина распределена нормально?

Статистика – наука, узучающая совокупн. масс. явл-я с целью выявления закономерн. и изуч-я их с помощью обобщенных показателей.

Все методы математической статистики можно отнести к двум основным ее разделам: теории статистического оценивания параметров и теории проверки статистических гипотез .

Разделы :

1. дескриптивная статистика

2. выборочный метод, доверительные интервалы

3. корреляционный анализ

4. регрессионный анализ

5. анализ качественных признаков

6. многомерный статистический анализ:

а) кластерный

б) факторный

7. анализ временных рядов

8. дифференциальные уравнения

9. математическое моделирование исторических процессов

Распределение:

Теоретическое (бесконечно много объектов и они ведут себя идеально)

Эмпирическое (реальные данные, которые можно выстроить в гистограмму)

Нормальное распределение – когда характер распределения влияют много факторов, и ни один из них не является определяющим. Особенно часто используется на практике.

2. Нормальное распределение можно изобразить графически в виде симметричной одновершинной кривой, напоминающей по форме колокол. Высота (ордината) каждой точки этой кривой показывает, как часто встречается соответствующее значение. Дескриптивная статистика. Средние значения - среднее арифметическое, медиана, мода. В каких ситуациях эти три меры дают близкие значения, а в каких они сильно различаются?

Дескриптивная статистика - Это описательная статистика.

среднее арифметическое, медиана, мода – меры среднего – коэф-ты, которые могут охарактеризовать совокупность объектов

· среднее (арифметическое) значение ‑ сумма всех значений, отнесенная к общему числу наблюдений (принятые обозначения: Mean или ), т.е. средним арифметическим значением признака называется величина

где - значение признака у i -го объекта, n - число объектов в совокупности.

· мода – наиболее часто встречающееся значение переменной (M)

· медиана – среднее по порядку значение (принятые обозначения: Median, m). Медиана - это "серединное" значение признака в том смысле, что у половины объектов совокупности значения этого признака меньше, а у другой половины - больше медианы. Приближенно вычислить медиану можно, упорядочив все значения признака по возрастанию (убыванию) и найдя число в этом вариационном ряду, которое либо имеет номер (n +1)/2 - в случае нечетного n , либо находится посередине между числами с номерами n /2 и (n +1)/2 - в случае четного n .

Не все из перечисленных характеристик можно вычислять для качественных признаков. Если признак качественный и номинальный, то для него можно найти только моду (ее значением будет название наиболее часто встречающейся категории номинального признака). Если признак ранговый, то кроме моды для него можно найти еще и медиану. Среднее арифметическое значение можно вычислять только для количественных признаков.

В случае количественных данных все характеристики среднего уровня измеряются в тех же единицах, что и сам исходный признак.

Значения коэф-тов совпадают, если график распределения симметричен.

3. Показатели неоднородности - дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, коэффициент вариации. В каких единицах они измеряются? Зачем вводится понятие коэффициента вариации?

· среднее квадратическое или стандартное отклонение ‑ мера разброса значений признака около среднего арифметического значения (принятые обозначения: Std.Dev. (standard deviation ), s или s). Величина этого отклонения вычисляется по формуле

.

· дисперсия признака ( s 2 или s 2 )

· коэффициент вариации ‑ отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах (обозначается в статистике буквой V ). Коэффициент вычисляется по формуле: .

Все эти меры можно вычислять только для количественных признаков. Все они показывают, насколько сильно варьируют значения признака (а точнее - их отклонения от среднего) в данной совокупности. Чем меньше значение меры разброса, тем ближе значения признака у всех объектов к своему среднему значению, а значит, и друг к другу. Если величина меры разброса равна нулю, значения признака у всех объектов одинаковы.

Наиболее часто используется среднее квадратическое (или стандартное) отклонение s. Оно измеряется, как и среднее арифметическое, в тех же единицах, что и сам исходный признак. При изменении всех значений признака в несколько раз, точно так же изменится и стандартное отклонение, однако если все значения признака увеличить (уменьшить) на некоторую величину, его стандартное отклонение не изменится . Наряду со стандартным отклонением часто пользуются дисперсией (=его квадрату), однако на практике она является менее удобной мерой, т.к. единицы измерения дисперсии не соответствуют единицам измерения.

Смысл коэффициента вариации состоит в том, что он, в отличие от s, измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности.

Чем больше V , тем совокупность менее однородна.

Однородная Переходная Неоднородная

V =0 – 30% V =30 – 50% V =50 – 100%

Может быть »100% (слишком неоднородная совокупность).

4. Понятие о выборочном методе. Репрезентативная выборка, методы её формированияю Два вида ошибок выборки. Доверительная вероятность.

Выборка:

Репрезентативная

Случайная

Механическая выборка – сходна со случайной выборкой (кажд. 10й, 20й и т.п.).

Естественная(то, что осталось от ГС с течением времени) выборки.

Репрезентативная выборка – точно отражает свойства генеральной совокупности.

Чтобы выборка правильно отражала основные свойства, присущие генеральной совокупности, она должна быть случайной , т.е. все объекты генеральной совокупности должны иметь равные шансы попасть в выборку

Выборки формируются с помощью спец. методик. Наиболее простым является случайный отбор, например, при помощи обычной жеребьевки (для небольших совокупностей) или с использованием таблиц случайных чисел. Для более обширных, но достаточно однородных совокупностей используется механический отбор (применявшийся еще в земской статистике). Для неоднородных совокупностей с определенной структурой чаще применяется типический отбор. Существуют и другие методы, в том числе - комбинации разных способов отбора на нескольких этапах построения выборочной совокупности.

В выборочных результатах всегда присутствуют ошибки. Эти ошибки можно разделить на два класса: случайные и систематические. К первым относятся случайные отклонения выборочных характеристик от генеральных, обусловленные самой природой выборочного метода. Величина случайной ошибки поддается вычислению (оценке). Систематические ошибки, наоборот, не носят случайного характера; они связаны с отклонением структуры выборки от реальной структуры генеральной совокупности. Систематические ошибки появляются тогда, когда нарушается основное правило случайного отбора - обеспечение для всех объектов равных шансов поапсть в выборку. Ошибки этого рода статистика не умеет оценивать.

Основными источниками систематических ошибок являются: а) неадекватность сформированной выборки задачам исследования; б) незнание характера распределения в генеральной совокупности и, как следствие, нарушение в выборке структуры генеральной совокупности; в) сознательный отбор наиболее удобных и выигрышных элементов генеральной совокупности.

Доверительная вероятность –

5. Доверительная вероятность. Средняя (стандартная) и предельная ошибки выборки. Доверительный интервал для оценки среднего значения в генеральной совокупности. Проверка гипотезы о статистической значимости различия двух выборочных средних.

Доверительный интервал - тот значений рассчитываемого коэф-та, в к-й, мы считаем,должно попасть это значение для ген. Совокуп-ти.

Доверительная вероятность – вероятность того, что значение рассчитываемого коэф-та для ген. Совокупности попадет в доверительный интервал. Чеи больше ДВ, тем больше ДИ.

Неизбежный разброс выборочных средних вокруг генеральной средней (т.е. стандартное отклонение выборочных средних) называется стандартной ошибкой выборки m , которая выражается формулой (s - среднее квадратическое отклонение, n - объем выборки). стандартная ошибка выборки тем меньше, чем меньше величина s (которая характеризует разброс значений признака) и чем больше объем выборки n .

Если выборочный метод используется для работы с неколичественными данными, то роль среднего арифметического значения в совокупности играет доля или частота q признака. Доля вычисляется как отношение числа объектов, обладающих данным признаком (), к числу объектов во всей совокупности: . Роль меры разброса играет величина .

В этом случае стандарная ошибка выборки m вычисляется по формуле:

Точность и надежность оценки параметров генеральной совокупности по выборке находятся в обратной зависимости: чем больше точность (т.е. чем меньше предельная ошибка и чем уже доверительный интервал), тем меньше надежность такой оценки (степень уверенности). И наоборот - чем ниже точность оценки, тем выше ее надежность. Часто доверительный интервал строят для надежности 95%, соответственно предельная ошибка выборки обычно равна удвоенной средней ошибке m ..

Доверительный интервал для оценки среднего значения в генеральной совокупности:

X (г.с.) = x (выб.) +-Δ = x (выб.) +- tμ = X (выб.) +- σ(г.с.)/√ n

Критерий для разности средних значений

Часто возникает задача сравнения двух выборочных средних с целью проверки гипотезы о том, что эти выборки получены из одной и той же генеральной совокупности, а реальные расхождения в значениях выборочных средних объясняются случайностями выборок.

Испытуемую гипотезу можно сформулировать следующим образом: различие между выборочными средними случайно, т.е. генеральные средние в обоих случаях равны. В качестве статистической характеристики снова используется величина t , предсталяющая собой разность выборочных средних, деленную на усредненную стандартную ошибку среднего по обеим выборкам.

Фактическое значение статистической характеристики сравнивается с критическим значением, соответсвующим выбранному уровню значимости. Если фактическое значение больше, чем критическое, испытуемая гипотеза отклоняется, т.е. различие между средними считается значимым (существенным).

7. Корреляционная связь. Линейный коэффициент корреляции, его формула, пределы его значений. Коэффициент детерминации, его содержательный смысл. Понятие о статистической значимости коеффициента корреляции.

Коэффициент корреляции показывает, насколько тесно две переменных связаны между собой .

Коэффициент корреляции r принимает значения в диапазоне от -1 до +1. Если r = 1, то между двумя переменными существует функциональная положительная линейная связь, т.е. на диаграмме рассеяния соответствующие точки лежат на одной прямой с положительным наклоном. Если r = -1, то между двумя переменными существует функциональная отрицательная зависимость. Если r = 0, то рассматриваемые переменные линейно независимы , т.е. на диаграмме рассеяния облако точек "вытянуто по горизонтали".

Уравнение регрессии и коэффициент корреляции целесообразно вычислять лишь в том случае, когда зависимость между переменными может хотя бы приближенно считаться линейной. В противном случае результаты могут быть совершенно неверными, в частности коэффициент корреляции может оказаться близким к нулю при наличии сильной взаимосвязи. В особенности это характерно для случаев, когда зависимость имеет явно нелинейный характер (например, зависимость между переменными приблизительно описывается синусоидой или параболой). Во многих случаях эту проблему можно обойти, преобразовав исходные переменные. Однако, чтобы догадаться о необходимости подобного преобразования, т.е. для того чтобы узнать, что данные могут содержать сложные формы зависимости, их желательно “увидеть”. Именно поэтому исследование взаимосвязей между количественными переменными обычно должно включать просмотр диаграмм рассеяния.

Коэффициенты корреляции можно вычислять и без предварительного построения линии регрессии. В этом случае вопрос о интерпретации признаков как результативных и факторных, т.е. зависимых и независимых, не ставится, а корреляции понимается как согласованность или синхронность одновременного изменения значений признаков при переходе от объекта к объекту.

Если объекты характеризуются целым набором количественных признаков, можно сразу построить т.н. матрицу корреляции, т.е. квадратную таблицу, число строк и столбцов которой равно числу признаков, а на пересечении каждых строки и столбца стоит коэффициент корреляции соответствующей пары признаков.

Коэффициент корреляции не имеет содержательной интерпретации. Однако его квадрат, называемый коэффициентом детерминации (R 2 ), имеет.

коэффициентом детерминации (R 2) – это показатель того, насколько изменения зависимого признака объясняются изменениями независимого. Более точно, это доля дисперсии независимого признака, объясняемая влиянием зависимого .

Если две переменные функционально линейно зависимы (точки на диаграмме рассеяния лежат на одной прямой), то можно сказать, что изменение переменной y полностью объясняется изменением переменной x, а это как раз тот случай, когда коэффициент детерминации равен единице (при этом коэффициент корреляции может быть равен как 1, так и -1). Если две переменные линейно независимы (метод наименьших квадратов дает горизонтальную прямую), то переменная y своими вариациями никоим образом "не обязана" переменной x – в этом случае коэффициент детерминации равен нулю. В промежуточных случаях коэффициент детерминации указывает, какая часть изменений переменной y объясняется изменением переменной x (иногда удобно представлять эту величину в процентах).

8. Парная и множественная линейная регрессия. Коэффициент множественной корреляции. Содержательный смысл коэффициента регрессии, его значимость, понятие о t -статистике. Содержательный смысл коэффициента детерминации R 2.

Регрессионный анализ - Статистический метод, позволяющий строить объясняющие модели на основе взаимодействия признаков.

Самым простым случаем взаимосвязи является парная взаимосвязь , т.е. связь между двумя признаками. При этом предполагается, что взаимосвязь двух переменных носит, как правило, причинный характер т.е. одна из них зависит от другой. Первая (зависимая) называется в регрессионном анализе результирующей, вторая (независимая) - факторной . Следует заметить, что не всегда можно однозначно определить, какая из двух переменных является независимой, а какая - зависимой. Часто связь может рассматриваться как двунаправленная.

Уравнение парной регрессии : y = kx + b .

Чаще всего на зависимую переменную действуют сразу несколько факторов, среди которых трудно выделить единственный или главный Так, к примеру, доход предприятия зависит одновременно от двух факторов производства - числа рабочих и энерговооруженности. Причем оба этих фактора сами не являются независимыми друг от друга.

Уравнение множественной регрессии : y = k 1 · x 1 + k 2 · x 2 + … + b,

где x 1 , x 2 , . . . – независимые переменные, от которых в той или иной степени зависит исследуемая (результирующая) переменная y;

k 1 , k 2 . . . – коэффициенты при соответствующих переменных (коэффициенты регрессии ), показывающие, насколько изменится значение результирующей переменной при изменении отдельной независимой переменной на единицу.

Уравнение множественной регрессии задает регрессионную модель , объясняющую поведение зависимой переменной. Никакая регрессионная модель не в состоянии указать, какая переменная является зависимой (следствием), а какие – независимыми (причинами).

R – множественный коэф. корреляции, измеряет совокупность воздействия независимых признаков, тесноту связи результирующего признака со всей совокупностью независимых признаков, выраженных в %.

Показывает какова доля учтенных признаков в отделении результата, т.е. на сколько % вариация признака у объясняется вариациями учтенных признаков Х1, Х2, Х3.

T -статистика показывает уровень стат. значимости кажд. ккоэф-та регресии, т.е. его устойчивость по отношению к выборке.

T = b / Δb

Статистически значимыми явл-ся t >2. Чем больше коэф-т, тем лучше.

через R ² мы делаем заключение о том, на сколько % учтенные признаки объясняют результат.

9.Методы многомерного статистического анализа. Кластер-анализ. Понятие об иерархическом методе и о методе К-средних. Многомерная классификация с использованием нечетких множеств.

МСА :

Кластерный анализ

Факторный анализ

Многомерное шкалирование

Кластерный анализ – объединение объектов в группу с единой целью (признаков много).

Способы кластерного анализа:

1. иерархический (дерево иерархического анализа):

основная идея иерархического метода заключается в последовательном объединении группируемых объектов - сначала самых близких, а затем все более удаленных друг от друга. Процедура построения классификации состоит из последовательных шагов, на каждом из которых производится объединение двух ближайших групп объектов (кластеров ).

2. метод К-средних .

Требует заранее заданных классов (кластеров). Подчеркивает внутриклассовую дисперсию. основан на гипотезе о наиболее вероятном количестве классов. Задачей метода является построение заданного числа кластеров, которые должны максимально отличаться друг от друга.

Процедура классификации начинается с построения заданного числа кластеров, полученных путем случайной группировки объектов. Каждый кластер должен состоять из максимально "похожих" объектов, причем сами кластеры должны быть максимально "непохожими" друг на друга.

Результаты этого метода позволяют получить центры всех классов (а также и другие параметры дескриптивной статистики) по каждому из исходных признаков, а также увидеть графическое представление о том, насколько и по каким параметрам различаются полученные классы.

Если рез-ты классификаций, полученные разными методами совпадают, то это подтверждает реальн. Сущ-е групп (надежность, достоверность).

10. Методы многомерного статистического анализа. Факторный анализ, цели его использования. Понятие о факторных весах, пределы их значений; доля суммарной дисперсии, объясняемой факторами.

Многомерный статистический анализ. Его цель: построение упрощенного укрупненного ряда объектов.

МСА :

Кластерный анализ

Факторный анализ

Многомерное шкалирование

В основе факторного анализа лежит идея о том, что за сложными взаимосвязями явно заданных признаков стоит относительно более простая структура, отражающая наиболее существенные черты изучаемого явления, а "внешние" признаки являются функциями скрытых общих факторов, определяющих эту структуру.

Цель: переход от большего числа признаков к небольшому числу факторов.

в факторном анализе все величины, входящие в факторную модель, стандартизированы, т.е. являются безразмерными величинами со средним арифметическим значением 0 и средним квадратическим отклонением 1.

Коэффициент взаимосвязи между некоторым признаком и общим фактором, выражающий меру влияния фактора на признак, называется факторной нагрузкой данного признака по данному общему фактору . Это число в интервале от -1 до 1. Чем дальше от 0, тем более сильная связь. Значение факторной нагрузки по некоторому фактору, близкое к нулю, говорит о том, что этот фактор практически на данный признак не влияет.

Значение (мера проявления) фактора у отдельного объекта называется факторным весом объекта по данному фактору. Факторные веса позволяют ранжировать, упорядочить объекты по каждому фактору. Чем больше факторный вес некоторого объекта, тем больше в нем проявляется та сторона явления или та закономерность, которая отражается данным фактором. Факторы являются стандартизованными величинами, не могут быть = нулю. Факторные веса, близкие к нулю, говорят о средней степени проявления фактора, положительные – о том, что эта степень выше средней, отрицательные – о том. что она ниже средней.

Таблица факторных весов имеет n строк по числу объектов и k столбцов по числу общих факторов. Положение объектов на оси каждого фактора показывает, с одной стороны, тот порядок, в котором они ранжированы по этому фактору, а с другой стороны, равномерность или же неравномерность в их расположении, наличие скоплений точек, изображающих объекты, что дает возможность визуально выделять более или менее однородные группы.

11. Виды качественных признаков. Номинальные признаки, примеры из исторических источников. Таблица сопряженности. Коэффициент связи номинальных признаков, пределы его значений.

Номинальные данные представлены категориями, для которых порядок абсолютно не важен. Для них не определен никакой другой способ сравнения, кроме как на буквальное совпадение/несовпадение.

Примеры номинальных переменных:

· Национальность: англичанин, белорус, немец, русский, японец и пр.

· Род занятий: служащий, врач, военный, учитель и т.д.

· Профиль образования: гуманитарное, техническое, медицинское, юридическое и т.д.

Если в случае с уровнем образования мы еще могли сравнивать людей в терминах "лучше-хуже" или "выше-ниже", то теперь мы лишены даже этой возможности; единственный корректный способ сравнения ‑ это говорить, что данные персоналии "все являются историками", или "все не являются юристами".

Таблицы сопряженности

Таблицей сопряженности называется прямоугольная таблица, по строкам которой указываются категории одного признака (например, разные социальные группы), а по столбцам - категории другого (например, партийная принадлежность). Каждый объект совокупности попадает в какую-либо из клеток этой таблицы в соответствии с тем, в какую категорию он попадает по каждому из двух признаков. Таким образом, в клетках таблицы стоят числа, представляющие собой частоты совместной встречаемости категорий двух признаков (число людей, принадлежащих конкретной социальной группе и входящих в определенную партию). В зависимости от характера распределения этих частот внутри таблицы можно судить о том, существует ли связь между признаками. Что означает связь между социальным статусом и партийной принадлежностью? В данном случае о наличии связи свидетельствовало бы наличии определенных политических пристрастий у членов разных социальных групп. Формально говоря, эта связь понимается как более частая (или наоборот, редкая) совместная встречаемость отдельных комбинаций категорий по сравнению с ожидаемой встречаемостью - ситуацией чисто случайного попадания объектов туда (например, более высокая доля крестьян в партии трудовиков, а дворян - в партии кадетов, чем доли этих социальных групп во всей совокупности депутатов Думы).

12. Виды качественных признаков. Ранговые признаки, примеры из исторических источников. В каких пределах находятся значения коэффициента ранговой корреляции? Какие коэффициенты следует использовать для оценки связи рангового и номинального признаков?

качественные (или категориальные) данные делятся на два типа: ранговые и номинальные.

Ранговые данные представлены категориями, для которых можно указать порядок, т.е. категории сравнимы по принципу "больше-меньше" или "лучше-хуже".

Примеры ранговых переменных:

· Оценки на экзаменах имеют явно выраженную ранговую природу и выражаются категориями типа: "отлично", "хорошо", "удовлетворительно" и т.д.

· Уровень образования может быть представлен как набор категорий: "высшее", "среднее" и т.п.

Несомненно, мы можем ввести ранговую шкалу и с ее помощью упорядочить всех людей, для которых мы знаем их уровень образования или балл на экзамене. Однако, верно ли, что оценка "хорошо" на столько же хуже, чем "отлично", насколько оценка "удовлетворительно" хуже, чем "хорошо"? Несмотря на то, что формально, в случае с оценками, можно получить разницу в баллах, вряд ли корректно измерять расстояние от "отличника" до "хорошиста" пользуясь теми же правилами, что для расстояния от Москвы до Петербурга. В случае с уровнем образования особенно отчетливо видно, что простые вычисления невозможны, поскольку не существует единого правила вычитания "среднего" уровня образования из "высшего", даже, если мы присвоим высшему образованию код "3", а среднему – код "2".

Своеобразие качественных данных не означает, что их нельзя анализировать с помощью математических и статистических методов.

Ряд объектов, упорядоченных в соответствии со степенью проявления некоторого свойства, называют ранжированным, каждому числу такого ряда присваивается ранг .

Меры взаимосвязи между парой признаков, каждый из которых ранжирует изучаемую совокупность объектов, называются в статистике коэффициентами ранговой корреляции .

Эти коэффициенты строятся на основе следующих трех свойств:

· если ранжированные ряды по обоим признакам полностью совпадают (т.е. каждый объект занимает одно и то же место в обоих рядах), то коэффициент ранговой корреляции должен быть равен +1, что означает полную положительную корреляцию:

· если объекты в одном ряду расположены в обратном порядке по сравнению со вторым, коэффициент равен -1, что означает полную отрицательную корреляцию;

· в остальных ситуациях значения коэффициента заключены в интервале [-1, +1]; возрастание модуля коэффициента от 0 до 1 характеризует увеличение соответствия между двумя ранжированными рядами.

Указанными свойствами обладают коэффициенты ранговой корреляции Спирмена r и Кедалла t .

Коэффициент Кедалла дает более осторожную оценку корреляции, чем коэффициент Спирмена (числовое значение t всегда меньше, чем r ).

Коэффициенты взаимосвязи качественных признаков

Для оценки связи качественных признаков необходим коэффициент, к-й имел бы определенный максимум в случае максимальной связи и позволял бы сравнивать между собой разные таблицы по силе связи между признаками. В данном случае нам подходит коэффициент Крамера V .

Базируясь на значении критерия хи-квадрат, коэффициент Крамера позволяет измерять силу связи между двумя категоризованными переменными - измерить ее числом, принимающим значения от 0 до 1, т.е. от полного отсутствия связи до максимальной сильной связи. Коэффициент позволяет сравнить зависимости разных признаков, с тем, чтобы выявить более и менее сильные связи.

13. Математическое моделирование исторических процессов и явлений. Определение понятия «модель». Три типа моделей, примеры их использования в исторических исследованиях.

14. Дифференциальные уравнения как основной инструмент построения математических моделей теоретического типа. Их особенности в сравнении с моделями иммитационного и статистического типа. Пример такой модели.

Метод группировок позволяет изучить состояние и взаимосвязи экономических явлений, если группы будут охарактеризованы показателями, раскрывающими наиболее существенные стороны изучаемого явления.

При анализе и планировании необходимо опираться не на случайные факты, а на показатели, выражающие основное, типичное, коренное. Такую характеристику дают различные виды средних величин, а также мода и медиана.

Вопрос об однородности совокупности не должен решаться формально по форме ее распределения. Его, как и вопрос о типичной средней, нужно решать, исходя из причин и условий, формирующих совокупность. Однородной является такая совокупность, единицы которой формируются под воздействием общих главных причин и условий, определяющих общий уровень данного признака, характерный для всей совокупности.

Согласно теории типологических группировок, решающее значение в оценке однородности совокупности принадлежит не форме распределения, а размеру вариации и условиям ее формирования. Для качественно однородной совокупности характерна вариация в определенных пределах, после чего начинается новое качество. Вместе с тем к этим границам для оценки качественной однородности совокупности надо подходить с точки зрения существа дела, а не формально, так как одно и то же количество в разных условиях выражает новое качество. Например, при одной и той же численности рабочих предприятия одних отраслей промышленности являются крупными, а других – мелкими.

Для всестороннего и углубленного изучения явлений, для объективной характеристики типов явлений, их взаимоотношений и процессов, обусловленных развитием системы как целого, необходимо сочетать групповые средние с общими средними. Сочетание таких средних и является одним из основных элементов анализа сложных систем. Это сочетание связывает в одно целое два органически дополняющих друг друга статистических метода: метод средних величин и метод группировки. При расчете средней индивидуальные варьирующие по группе значения заменяются одним средним значением. При этом случайные отклонения значения признака по отдельным единицам в сторону увеличения или уменьшения взаимно уравновешиваются и погашают друг друга, а в величине средней проявляется типичный размер признака, свойственный данной группе. Средняя величина служит характеристикой совокупности и в то же время относится к отдельному ее элементу – носителю качественных особенностей явления. Значение средней вполне конкретно, но одновременно и абстрактно; оно получено путем абстрагирования от случайного индивидуального по каждой единице с целью выявления того общего, типичного, что свойственно всем единицам и что формирует данную совокупность. При расчете средней величины численность единиц совокупности должна быть достаточно большой. Величина средней определяется как отношение общего объема явлений к числу единиц совокупности в группе. Для несгруппированных данных это будет средняя арифметическая простая:

а для сгруппированных данных, где каждое значение признака имеет свою частоту, – средняя арифметическая взвешенная:

где X i – значение признака; f i – частота этих значений признака.

Поскольку средняя арифметическая рассчитывается как отношение суммы значений признака к общей численности, она никогда не выходит за пределы этих значений. Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые широко используются в целях упорядочения расчетов.

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины всегда равна нулю:

Доказательство. n

Разделив левую и правую часть на

2. Если значения признака (X i) изменить в k раз, то средняя арифметическая также изменится в x раз.

Доказательство.

Среднюю арифметическую из новых значений признака обозначим X, тогда:

Постоянную величину 1/k можно вынести за знак суммы, и тогда получим:

3. Если из всех значений признака X i вычесть или прибавить одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на эту величину.

Доказательство.

Средняя из отклонений значений признака от постоянного числа будет равна:

Точно так же доказывается это и в случае прибавления постоянного числа.

4. Если частоты всех значений признака уменьшить или увеличить в n раз, то средняя не изменится:

При наличии данных об общем объеме и известных значениях признака, но неизвестных частотах для определения среднего показателя используют формулу среднеарифметической взвешенной.

Например, имеются данные о ценах реализации капусты и общей выручке за различные сроки реализации (табл. 1).

Таблица 1.

Цена реализации капусты и общая выручка за различные сроки реализации

Так как средняя цена представляет отношение общей выручки к общему объему реализованной капусты, то вначале следует определить количество реализованной капусты по разным срокам реализации как отношение выручки к цене, а затем уже определить среднюю цену реализованной капусты.

В нашем примере средняя цена будет:

Если рассчитать в данном случае среднюю цену реализации по средней арифметической простой, то получим иной результат, который исказит истинное положение и завысит среднюю цену реализации, так как не будет учтен тот факт, что большая доля в реализации приходится на позднюю капусту с более низкой ценой.

Иногда требуется определить среднюю величину, когда значения признака даются в виде дробных чисел, т. е. обратных целым числам (например, при изучении производительности труда через обратный его показатель, трудоемкость). В таких случаях целесообразно использовать формулу средней гармонической:

Так, среднее время, необходимое для изготовления единицы продукции, есть средняя гармоническая. Если Х 1 = 1/4 часа, Х 2 = 1/2 часа, Х 3 = 1/3 часа, то средняя гармоническая этих чисел есть:

Для расчета средней величины из отношений двух одноименных показателей, например темпов роста, применяется средняя геометрическая, рассчитанная по формуле:

где Х 1 x Х 2 … x … Х 4 – отношение двух одноименных величин, например цепных темпов роста; n – численность совокупности отношений темпов роста.

Рассмотренные средние величины обладают свойством маорантности:

Пусть, например, имеем следующие значения Х (20; 40), тогда рассмотренные ранее виды средних величин будут равны:

При изучении состава совокупности о типичном размере признака можно судить по так называемым структурным средним – моде и медиане.

Модой называется наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В интервальных вариационных рядах сначала находят модальный интервал. В найденном модальном интервале мода рассчитывается по формуле:

где Х 0 – нижняя граница модального интервала; d – величина интервала; f 1 , f 2 , f 3 – частоты предмодального, модального и послемодаль-ного интервалов.

Значение моды в интервальном ряду довольно просто можно отыскать на основе графика. Для этого в самом высоком столбце гистограммы от границ двух смежных столбцов проводят две линии. Из точки пересечения этих линий опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс и будет модой (рис. 2).

Рис. 2

Для решения практических задач наибольший интерес представляет обычно мода, выраженная в виде интервала, а не дискретным числом. Объясняется это назначением моды, которая должна выявить наиболее распространенные размеры явления.

Средняя – величина, типичная для всех единиц однородной совокупности. Мода – тоже типичная величина, но она определяет непосредственно размер признака, свойственный хотя и значительной части, но все же не всей совокупности. Она имеет большое значение для решения некоторых задач, например для прогнозирования того, какие размеры обуви, одежды должны быть предназначены для массового производства, и т. д.

Медиана – значение признака, находящееся посредине ранжированного ряда. Она указывает на центр распределения единиц совокупности и делит ее на две равные части.

Медиана является лучшей характеристикой центральной тенденции, когда границы крайних интервалов открыты. Медиана является более приемлемой характеристикой уровня распределения и в том случае, если в ряду распределения имеются чрезмерно большие или чрезмерно малые значения, которые оказывают сильное влияние на среднюю величину, а на медиану – нет. Медиана, кроме того, обладает свойством линейного минимума: сумма абсолютных значений отклонений величины признака у всех единиц совокупности от медианы минимальная, т. е.

Это свойство имеет большое значение для решения некоторых практических задач – например, для расчета самого короткого из всех возможных расстояний для разных видов транспорта, для размещения станций техобслуживания таким образом, чтобы расстояние до всех обслуживаемых данной станцией машин было минимальным, и т. п.

При отыскании медианы сначала определяется ее порядковый номер в ряду распределения:

Далее, соответственно порядковому номеру, по накопленным частотам ряда находят саму медиану. В дискретном ряду – без всякого расчета, а в интервальном ряду, зная порядковый номер медианы, по накопленным частотам отыскивается медианный интервал, в котором путем простейшего приема интерполяции определяется уже значение медианы. Расчет медианы осуществляется по формуле:

где Х 0 – нижняя граница медианного интервала; d – величина интервала; f _ 1 – частота, накопленная до медианного интервала; f – частота медианного интервала.

Рассчитаем среднюю величину, моду и медиану на примере интервального распределения. Данные приведены в табл. 2.

Таким образом, в качестве центра распределения могут быть использованы различные показатели: средняя величина, мода и медиана,

и каждая из этих характеристик имеет свои особенности. Так, для средней величины характерно то, что все отклонения от нее отдельных значений признака взаимно погашаются, т. е.

Для медианы характерно то, что сумма отклонений индивидуальных значений признака от нее (без учета знаков) является минимальной. Мода же характеризует наиболее часто встречающееся значение признака. Поэтому в зависимости от того, какая из особенностей интересует исследователя, и должна выбираться одна из рассмотренных характеристик. В отдельных случаях рассчитываются все характеристики.

Их сравнение и выявление соотношений между ними помогает выяснить особенности распределения того или иного вариационного ряда. Так, в симметричных рядах, как в нашем случае, все три характеристики (средняя, мода и медиана) примерно совпадают. Чем больше расхождение между модой и средней величиной, тем более асимметричен ряд. Установлено, что для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней арифметической примерно в три раза превышает разность между медианой и средней арифметической:

Это соотношение можно использовать для определения одного показателя по двум известным. Из этого следует, что сочетание моды, медианы и средней важно и для характеристики типа распределения.

В процессе обработки и обобщения статистических данных существует необходимость определения средних величин. Каждая однородная статистическая совокупность состоит из достаточно большого числа единиц, которые отличаются размерами количественных признаков. Вместе с тем, каждая единица совокупности по определению несет черты, свойственные всей совокупности. Расчёт средних величин позволяет выявить типичный уровень признаков и черт изучаемой совокупности.

Средними величинами называются обобщающие показатели, характеризующие типичный уровень варьирующего признака в расчёте на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Правильное понимание сущности средней величины определяет её особую значимость в условиях рыночной экономики, когда среднее через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития. В условиях реальной экономической, в том числе коммерческой, деятельности постоянные причины (факторы) действуют одинаково на каждое изучаемое явление и именно они делают эти явления похожими друг на друга и создают общие для всех закономерности. Результатом учения об общих и индивидуальных причинах явлений стало выделение средних величин в качестве основного приёма статистического анализа, базирующегося на утверждении, что статистические средние величины представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. В статистической теории типическая реально существующая средняя величина отожествляется с истинной для данной совокупности величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.

Например, выработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, воспитания, здоровья и т.д. А средняя выработка (продажа) на одного продавца отражает общее типичное свойство всей совокупности продавцов. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Таким образом, средние величины – обобщающие показатели, в которых находит выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

В практике статистической обработки данных возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные средние.

По уровню обобществления данных изучаемой совокупности средние могут быть общими и групповыми. Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, а средние, исчисленные для каждой группы, - групповыми средними.

Различают степенные и структурные средние.

Степенные средние выводятся из общей формулы вида:

С изменением показателя степени приходим к определенному виду средней:

при - средняя гармоническая ;

при - средняя геометрическая ;

при - средняя арифметическая ;

при - средняя квадратическая .

Вопрос о том, какой вид средней необходимо применять в отдельном случае, решается путём конкретного анализа изучаемой совокупности, материальным содержанием изучаемого явления, осмыслением результатов осреднения. Только тогда средняя величина применена правильно, когда в результате осреднения получают величины, имеющие реальный смысл.

Вводятся следующие обозначения:

– количественный признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком;

– среднее значение признака (с чертой сверху), представляющее результат осреднения;

Индивидуальные значения признака у единиц совокупности называемые вариантами;

– общее число единиц совокупности;

- частота или повторяемость индивидуального значения признака (его вес);

Усредняющий признак (индекс).

В зависимости от наличия исходных данных средние можно рассчитать различным образом. В случае, если индивидуальные значения осредняемого признака (варианты) не повторяются при конкретных значениях усредняющего признака применяются формулы простых степенных средних. Однако, когда в практических исследованиях отдельные значения изучаемого признака встречаются несколько раз у единиц исследуемой совокупности, тогда частота повторения индивидуальных значений признака (- вес признака) присутствует в формулах степенных средних. В этом случае они называются формулами взвешенных степенных средних. В формулах взвешенных средних вместо частот может содержаться частость

определяемая как отношение частоты признака к сумме частот.

В табл.9 приведены формулы расчёта различных видов степенных простых и взвешенных средних величин.

Табл.9. Формулы расчёта степенных средних величин

Значение	Название средней	Формула средней
простая	взвешенная
- 1	Средняя гармоническая
	Средняя геометрическая
	Средняя арифметическая
	Средняя квадратическая

Средняя арифметическая – наиболее распространённый вид средней. Она исчисляется в случаях, когда объём осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц совокупности. Например, требуется вычислить средний стаж десяти работников предприятия, причём дан ряд одиночных значений признака 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 4. Тогда объём осредняемого признака

а среднее значение вычисляется по формуле простой средней

Если те же данные сгруппированы по величине признака, то среднее значение вычисляется по формуле взвешенной средней

Средняя гармоническая величина чаще всего вычисляется, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а имеются данные по объёмам осредняемого признака, относящимся к отдельным вариантам совокупности. Например, необходимо вычислить среднюю цену единицы товара, причём даны объёмы реализации по каждому виду товара в виде ряда 600, 1000, 850 (тыс. руб.) и соответствующие цены по каждому виду товара в виде ряда 20, 40, 50 (тыс. руб./шт.). Тогда средняя цена вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной

Можно видеть, что средняя гармоническая является превращённой (обратной) формой средней арифметической. Вместо средней гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака.

При использовании формулы средней геометрической индивидуальные значения признака, как правило, представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин (как отношения последующих уровней показателя к предыдущим уровням в ряду динамики), причём временные отрезки ряда динамики одинаковы (сутки, месяц, год). Средняя геометрическая величина характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Например, для данных ряда динамики, представленных в табл.10,

Табл.10. Ряд динамики роста доходов населения

средний темп роста доходов населения вычисляется по формуле средней геометрической простой

Формула средней квадратической величины используется для измерения средней степени колеблемости значений признака около среднего арифметического значения в рядах распределения. Так, например, при расчёте такого показателя вариации, как дисперсия, среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины (см. в главе 6).

Степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения, причём чем больше показатель степени тем больше и величина соответствующей средней

Это свойство степенных средних называется мажорантностью средних.

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые называют структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Модой называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.

Например, выборочное обследование 8 пунктов обмена валюты позволило зафиксировать различные цены за доллар (табл.11). В этом случае модальной ценой за доллар является величина поскольку в обследованной совокупности пунктов обмена валюты она встречается наиболее часто (3 раза).

№ пункта
Цена за 1 $

Медиана – это величина признака, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части.

Для примера возьмём данные табл.10 и расположим индивидуальные значения признака в возрастающем порядке.

2150 2155 2155 2155 2160 21652165 2175

Порядковый номер медианы определяется по формуле

а) В случае чётного числа номер медианы имеет не целое значение (в нашем случае 4,5). Медиана будет равна средней арифметической из соседних значении и

б) В случае нечётного числа индивидуальных признаков (допустим, )

Следовательно, в этом случае

В рассмотренном примере нахождение таких средних, как мода и медиана, было целесообразно, поскольку исследователь не располагал объёмом продаж по каждому пункту и не мог поэтому с хорошей точностью провести расчёт средней арифметической цены за доллар. Также рассмотренный пример иллюстрирует положение о том, что выбор вида соответствующей средней всегда зависит от имеющихся в наличии данных.

4.3. Свойства и методы расчёта средних величин

Наиболее часто используемая в экономико-статистической практике средняя арифметическая величина обладает рядом математических свойств, которые иногда упрощают её расчёт. Эти свойства следующие:

1. Если варианты уменьшить или увеличить на некоторое постоянное число, то

средняя арифметическая величина соответственно уменьшится или увеличится на это

2. Если варианты изменить в постоянное число раз то средняя тоже изменится во

столько же раз

3. Если частоты разделить или умножить на некоторое постоянное число, то средняя не изменится

4. Произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты

5. Алгебраическая сумма отклонения вариантов от средней величины равна нулю

Все перечисленные свойства следуют из определения средней арифметической взвешенной (см.раздел 4.2).

Иногда расчёт средней арифметической величины удобно упростить, используя её математические свойства. Для этого нужно из всех вариант вычесть произвольную постоянную величину, полученную разность разделить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю величину умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную. В результате формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид.

где – соответственно максимальное и минимальное значение признака в совокупности;

– число групп.

Наглядно ряды распределения можно представить при помощи их графического изображения. Для этой цели строят полигон, гистограмму, кумулятивную кривую, огиву.

ТЕМА 4. Абсолютные и относительные величины

Понятие статистического показателя и его виды

Статистический показатель – это количественно-качественная обобщающая характеристика, какого-то свойства группы единиц или совокупности в целом в конкретных условиях места и времени. В отличие от признака, статистический показатель получается расчетным путем. Это может быть простой подсчет единиц совокупности, суммирование значений признака, сравнение двух и нескольких величин, более сложные сравнения.

1. По охвату единиц совокупности статистические показатели подразделяются:

2. По способу расчета статистические показатели подразделяются:

3. По пространственной определенности статистические показатели подразделяются:

По форме выражения статистические показатели подразделяются:

Абсолютные величины

Абсолютная величина (показатель) – это число, которое выражает размер, объем явления в конкретных условиях места и времени. Абсолютные величины всегда являются именованными величинами, т. е. имеют какую-либо единицу измерения. В зависимости от выбранной единицы измерения различают следующие виды абсолютных величин:

1. Натуральные – характеризуют объем и размер явления в мерах длины, веса, объема, количеством единиц, числом событий. Натуральные показатели используются для характеристики объема, размера отдельных одноименных видов продукции, в связи, с чем их использование ограничено.

2. Условно-натуральные – используются в том случае, если необходимо перевести разные виды продукции, но одинакового значения в один условный показатель. Условно-натуральный показатель рассчитывают путем перемножения натурального показателя на коэффициент перевода (пересчета). Коэффициенты перевода пересчета берутся из справочников или рассчитываются самостоятельно. Условно-натуральные показатели используются для характеристики объема, размера однородной продукции, в связи, с чем их использование ограничено.

3. Трудовые – имеют такие единицы измерения, как чел.-час., чел.-день. Используются для определения затрат рабочего времени, для расчета заработной платы и производительности труда.

4. Стоимостные (универсальные) измеряются в денежных единицах соответствующей страны. Стоимостные показатели = количество продукции в натуральном выражении * цена единицы продукции. Стоимостные показатели являются универсальными, так как позволяют определить объем, размер разного вида продукции.

Недостатки абсолютных показателей: нельзя охарактеризовать качественные особенности и структуру изучаемого явления, для этого используются относительные показатели, которые рассчитываются на основе абсолютных показателей.

Относительные величины

Относительный показатель – это показатель, который представляет собой частное от деления одного абсолютного показателя на другой и дает числовую меру соотношения между ними.

Неименованные О. П.

1. Коэффициент получается в том случае, если база сравнения равна 1. Если коэффициент больше 1, то он показывает во сколько раз сравниваемая величина больше, базы сравнения . Если коэффициент меньше 1 , то он показывает какую часть базы сравнения составляет сравниваемая величина .

2. Процент, получатся в том случае, если база сравнения равна 100. Процент получают умножением коэффициента на 100.

3. Промилле (‰) – если база сравнения равна 1000. Получают умножением коэффициента на 1000. Промилле используются для того, чтобы избежать дробных значений показателей. Они широко используются в демографической статистике, где показатели смертности, рождаемости, браков определяются на 1000 человек.

4. Продецимилле (‰0) – если база сравнения равна 10000. Получают умножением коэффициента на 10000. Например, сколько приходится врачей, больничных коек на 10000 человек.

Виды относительных величин (показателей):

1. Относительный показатель структуры:

Данный показатель рассчитывается по группированным данным и показывает долю отдельных частей в общем объеме совокупности. Может выражаться в форме коэффициента (доли) или процента (удельные веса). Пример, 0,4 – доля, 40% – удельный вес. Сумма всех долей равна 1, а удельных весов 100%.

2. Относительный показатель динамики:

.

Данный показатель показывает изменение явления во времени. Выражается в форме коэффициента – коэффициент роста, и форме процента – темп роста.

3. Относительный показатель выполнения плана:

Данный показатель показывает степень выполнения плана и выражается в форме %.

Относительный показатель планового задания:

Данный показатель показывает, какое планируется изменение показателя в будущем по сравнению с предшествующем периодом и выражается в форме процента.

Взаимосвязь между показателями: .

5. Относительный показатель координации:

Данный показатель может рассчитываться на 1, 10, 100 единиц и показывает, сколько единиц одной части приходится в среднем на 1, 10, 100 единиц другой части. Например, численность городского населения на 1, 10, 100 жителей села

6. Относительный показатель интенсивности:

Данный показатель рассчитывается путем сравнения разноименных показателей, находящихся в определенной взаимосвязи между собой. Данный показатель может рассчитываться на 1, 10, 100 единиц и является именованным показателем. Например, плотность населения – чел./1, 10, 100 км2.

7. Относительный показатель сравнения:

Данный показатель рассчитывается путем сравнения одноименных показателей относящихся к одному и тому же периоду времени, но к разным объектам или территориям. Выражается в форме коэффициента и процента.

ТЕМА 5. Средние величины и показатели вариации

1. Средняя величина: понятие и виды

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.

Условия расчета средней величины:

1. Совокупность, по которой рассчитывается средняя величина, должна быть достаточно большой, иначе случайные отклонения в величине признака не будут погашаться и средняя не проявит закономерности, свойственной данному процессу.

2. Совокупность, по которой рассчитывается средняя величина, должна быть качественно однородной, иначе они не только не будут иметь научной ценности, но и могут принести вред, искажая истинный характер изучаемого явления.

3. Общая средняя величина должна дополняться групповыми средними. Общая средняя показывает типический размер всей совокупности, а групповые средние − отдельных ее частей со специфическими свойствами.

4. Для всесторонней характеристики явления должна быть рассчитана система средних показателей, по наиболее существенным признакам.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и усредняемый признак.

Виды средних величин:

1. Степенные средние (к ним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая);

2. Структурные средние (мода и медиана).

Степенные средние рассчитываются по формуле (корень в степени R из средних всех вариантов взятых в какой-то степени):

где − степенная средняя величина исследуемого признака;

− индивидуальное значение усредняемого признака;

− показатель степени средней;

− число признаков (единичной совокупности);

− сумма.

В зависимости от степени получают различные виды простых средних.

Значение		Наименование простой средней
		простая гармоническая
	где П – произведение	простая геометрическая
		простая арифметическая
		простая квадратическая

Чем выше показатель степени () в степенной средней, тем больше величина самой средней. Если рассчитать все эти средние по одним и тем же данным получим следующее соотношение:

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется правилом мажорантности средних.

Из этих видов средних наиболее часто используется средняя арифметическая и средняя гармоническая. Выбор вида средней зависит от исходной информации.

Средняя арифметическая: способы расчета и ее свойства

Средняя арифметическая – это частное от деления суммы индивидуальных значений признака всех единиц совокупности на число единиц совокупности.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

где − среднее значение признака;

− индивидуальные значения признака (варианты);

− число единиц совокупности (вариант).

Средняя арифметическая простая применяется в двух случаях:

· когда каждая варианта встречается только один раз в ряду распределения;

· когда все частоты равны между собой.

Средняя арифметическая взвешенная используется, когда частоты не равны между собой:

где − частоты или веса (числа, показывающие, сколько

раз встречаются индивидуальные значения

признака).

Свойства средней арифметической (без доказательств):

1. Средняя величина от постоянной величины равна ей самой: .

2. Произведение средней величины на сумму частот равно сумме произведения вариантов на их частоты: .

3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то средняя величина увеличится или уменьшится на эту же величину: .

4. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя величина увеличится или уменьшится в то же число раз: .

5. Если все частоты увеличить или уменьшить в одинаковое число раз, средняя величина не изменится: .

6. Средняя величина суммы равна сумме средних величин: .

7. Сумма отклонений всех значений признака от средней величины рана нулю.

3. Способы расчета средней гармонической

В некоторых случаях характер исходных данных такой, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателей может быть средняя гармоническая.

Виды средней гармонической:

1. Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле:

Средняя гармоническая простая используется очень редко, только для расчета средних затрат времени на изготовление единицы продукции при условии, если частоты всех вариант равны.

2. Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле:

.

где – весь объем явления.

Средняя гармоническая взвешенная используется, если известен весь объем явления, но не известны частоты. Эта гармоническая используется для расчета средних качественных показателей: средней заработной платы, средней цены, средней себестоимости, средней урожайности, средней производительности труда.

4. Структурные средние: мода и медиана

Структурные средние (мода, медиана) применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

Мода − наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. В ряду распределения, где каждая варианта встречается один раз, мода не рассчитывается. В дискретном ряду модой является варианта с наибольшей частотой . Для интервального ряда с равными интервалами мода рассчитывается по формуле:

.

где − начальная (нижняя) граница модального интервала;

− величина соответственно модального, до – и послемодального интервалов

− частота модального, до – и послемодального интервалов соответственно.

Модальный интервал – это интервал, который имеет наибольшую частоту.

Медиана – это значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные части по числу единиц: одна часть имеет значения признака меньше медианы, а другая больше медианы.

Ранжированный ряд – это расположение значений признака в порядке возрастания или убывания.

В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается один раз, а число вариант не четное номер медианы определяется по формуле:

где – число членов ряда.

В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается один раз и число вариант четное медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ранжированного ряда.

В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается несколько раз, номер медианы определяется по формуле:

Затем, начиная с первой варианты, последовательно суммируются частоты, до тех пор пока не получите .

Для интервального ряда медиана рассчитывается по формуле:

,

где − нижняя граница медианного интервала;

− величина медианного интервала;

−общее число единиц совокупности;

− накопленная частота до медианного интервала;

− частота медианного интервала.

Медианный интервал – это такой интервал, в котором его накопленная частота равна или превышает полусумму всех частот ряда.

5. Показатели вариации

Вариация признака – это различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности. Вариация признака характеризуется показателями вариации. Показатели вариации дополняют средние величины, характеризуют степень однородности статистической совокупности по данному признаку, границы вариации признака. Соотношение показателей вариации определяет взаимосвязь между признаками.

Показатели вариации подразделяются на:

1) Абсолютные: размах вариации; среднее линейное отклонение; среднее квадратическое отклонение; дисперсия. Они имеют те же единицы измерения, что и значения признака

2) Относительные: коэффициент осцилляции, коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Размах вариации показывает, на какую величину изменяется значение признака:

где – максимальное значение признака;

– минимальное значение признака.

Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения.

Среднее линейное отклонение определяется:

– простое; – взвешенное.

Дисперсия определяются:

– простая; – взвешенная;

– простое; – взвешенное.

Если средняя величина признака рассчитывалась по простой арифметической, тогда рассчитываются по простой формуле, если средняя рассчитывалась по взвешенной, тогда рассчитываются по взвешенной формуле.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение также могут рассчитываться по другой формуле:

– простая; – взвешенная.

Для сравнения вариации различных признаков в одной и той же совокупности или же одного и того же признака в разных совокупностях рассчитывается относительный показатель вариации, именуемый коэффициентом вариации :

Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

6. Виды дисперсий и закон (правило) сложения дисперсий

Если изучаемая совокупность состоит из нескольких групп, образованных на основе какого-либо признака, то помимо общей дисперсии определяют также межгрупповую дисперсию

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю, обусловленную вариацией группировочного признака, в общей вариации изучаемого признака:

Эмпирическое корреляционное отношение показывает влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака:

Эмпирическое корреляционное отношение варьирует в пределах от 0 до 1. При связи нет, при – связь полная. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.

ТЕМА 6. Ряды динамики

1. Ряды динамики: понятие и виды

Ряд динамики (хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд) – это ряд числовых значений статистического показателя расположенных в хронологической последовательности. Ряд динамики состоит из двух элементов (граф):

1. время (t) – это моменты (даты) или периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки) времени, к которым относятся статистические показатели (уровни ряда).

2. уровень ряда (y) – значения статистического показателя, характеризующие состояние явления на указанный момент времени или за период времени.

Уровень ряда y

Виды рядов динамики:

1. По времени:

А) интервальные – ряды, уровни которых характеризуют размер явления за период времени (сутки, месяц, квартал, год). Примером такого ряда могут служить данные о динамике производства продукции, количества отработанных человеко-дней и т. д. Абсолютные уровни интервального ряда суммировать можно, сумма имеет смысла, что позволяет получать ряды динамики более укрупненных периодов.

Б) моментные – ряды, уровни которых характеризуют размер явления на дату (момент) времени. Примером такого ряда могут служить данные о динамике численности населения, численности скота, величины запаса, стоимости основных средств, оборотных активов и т. д. Уровни моментного ряда суммировать нельзя, сумма не имеет смысла, так как последующий уровень полностью или частично включает в себя предыдущий уровень.

2. По форме представления (способу выражения) уровней:

А) ряды абсолютных величин.

Б) ряды относительных величин. Относительными величинами характеризуются, например, динамика доли городского и сельского населения (%) и уровня безработицы.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

В некотором регионе в текущем году было совершено 12 390 преступлений, а в предыдущем году - 11 800 преступлений. Вычислите (в %) темп роста и темп прироста количества преступлений, зарегистрированных в текущем году по отношению к предыдущему. Рассчитайте также коэффициенты преступности за каждый год, если численность населения региона в конце предыдущего года составляла 1 475 000, а в конце текущего года - 1 770 000 чел. Сделайте выводы о динамике преступности в регионе.

Решение: Для получения точной картины преступности огромное значение имеет такой показатель преступности, как динамика, то есть изменение во времени. Динамика преступности характеризуется понятиями абсолютный рост (или снижение) и темпы роста и прироста преступности, для определения которых производится вычисление этих характеристик согласно определенным формулам.

Темпы роста преступности рассчитываются на основе базисных показателей динамики, что предполагает сопоставление данных за ряд лет (а иногда десятилетий, если нужен широкий охват материала) с постоянным базисом, под которым понимается уровень преступности в начальном для анализа периоде. Такой расчет позволяет криминологам в значительной мере гарантировать сопоставимость относительных показателей, вычисляемых в процентах, которые показывают, каким образом соотносится преступность последующих периодов с предыдущим.

В расчете за 100 % принимаются данные исходного года; показатели, полученные за последующие годы, отражают только процент прироста, что делает расчет точным, а картину более объективной; при оперировании относительными данными удается исключить влияние на снижение или рост преступности увеличения или снижения численности жителей, достигших возраста уголовной ответственности.

Темп прироста преступности вычисляется в процентах. Темп прироста преступности показывает, насколько увеличился или уменьшился последующий уровень преступности по сравнению с предыдущим периодом. Принято условное обозначение вектора темпа прироста: если процентное соотношение возрастает, ставится знак "плюс", если снижается - ставится знак "минус".

Применительно к условиям нашей задаче следует применить соответствующие формулы и вычислить рост и прирост преступности.

1) Темп роста преступности исчисляется по формуле^

Тр=U/U2 * 100 %,

где U - показатель уровня преступности, а U2 - показатель уровня преступности предшествующего периода. Так темп роста преступности по условиям задачи составит - 12390/11800*100 %=1,05 %.

2) Темп прироста преступности рассчитывается по следующей формуле:

Тпр=Тр-100 %.

Так темп прироста по условиям задачи составит 1,05 %-100 %= 98,95 %.

Коэффициент преступности - это конкретный обобщающий показатель общего количества учтенных преступлений, соотнесенного с численностью населения. Он расшифровывается как число преступлений на 100 тыс., 10 тыс. или 1 тыс. населения и является объективным измерителем преступности, позволяющим сопоставлять ее уровни в разных регионах и в разные годы.

Коэффициент преступности помогает более адекватно оценить и динамику уровня преступности, рассчитанного на душу населения.

Коэффициент преступности рассчитывается по формуле:

КП = (П х 100000): Н,

где П - абсолютное число учтенных преступлений; а Н - абсолютная численность всего населения.

Оба показателя берутся в одном и том же территориальном и временном объеме. Число преступлений обычно рассчитывается на 100 тыс. населения. Но при малых числах преступлений и населения (в городе, районе, на предприятии) коэффициент преступности может рассчитываться на 10 тыс. или на 1 тыс. жителей. в любом случае эти числа означают размерность рассматриваемого коэффициента, которая обязательно указывается: число преступлений на 100 тыс. или 10 тыс. населения.

Рассчитаем коэффициент преступности применительно к условиям нашей задачи:

1) КП= (12390*100000): 1 770 000 чел. = 700 (в текущем году).

2) КП= (11800*100000): 1 475 000 = 800 (в предыдущем году).

Преступность в регионе снижается, поскольку, анализируя коэффициент преступности, можно сделать вывод, что при увеличении населения в регионе (на 16,6 %), и незначительном увеличении количества преступлений на 1,05 %, в целом прирост преступности снижается (-98,95 %).

Задача 2

Возраст 11 молодых специалистов учреждения, принятых на службу, в текущем году составил соответственно 19,25,21,23,23,23,25,20,18,20,21 лет. Произведите сводку и группировку данных в виде статистической таблицы частот. Для наглядности постройте полигон частот, а также найдите модальное, медианное и среднее значение возраста принятых сотрудников.

Решение: Группировка - это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. С точки зрения отдельных единиц совокупности группировка - это объединение отдельных единиц совокупности в группы, однородные по каким-либо признакам.

Метод группировки основывается на следующих категориях - это группировочный признак, интервал группировки и число групп.

Группировочный признак - это признак, по которому происходит объединение отдельных единиц совокупности в однородные группы.

Интервал очерчивает количественные границы групп. Как правило, он представляет собой промежуток между максимальными и минимальными значениями признака в группе.

Определение числа групп .

Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса:

n = 1 + 3,2log n = 1 + 3,2log(11) = 4.

Ширина интервала составит:

Xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности. Xmin - минимальное значение группировочного признака. Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

	№ совокупности	Частота fi

Полигон частоты - это график плотности и вероятности случайной величины, представляет собой ломанную соединяющую точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки частотам этих интервалов.

Среднее значение :

Мода льное значение. Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x 0 - начало модального интервала; h - величина интервала; f 2 - частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 - предмодальная частота; f 3 - послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 19.75, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда - 20.92.

Медиана . Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина - больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 19.75-21.5, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50 % единиц совокупности будут меньше по величине 21.28.

Задача 3

Определите требуемый объем выборки для исследования среднего возраста аттестованных сотрудников ФСИН России при условии, что среднее квадратическое отклонение составляет 10 лет, а максимально допустимая ошибка выборки не должна превышать 5 %.

Решение ищем по формуле определения численности выборки для повторного отбора.

Ф(t) = г/2 = 0.95/2 = 0.475 и этому значению по таблице Лапласа соответствует t=1.96.

Оценка среднеквадратического отклонения s = 10; ошибка выборки е = 5.

Задача 4

В следующей таблице даны официальные ведомственные статистические сведения о распределении осужденных по срокам заключения (наказания) за 2002-2011 годы, размещенные на официальном сайте ФСИН России: www.fsin.su. Найдите размах и коэффициент вариации количества осужденных за каждый календарный год и сделайте выводы об однородности структуры данного статистического признака.

Основным показателем, характеризующим однородность данных, является коэффициент вариации. В статистике принято считать, что, если значение коэффициента менее 33 %, то совокупность данных является однородной, если более 33 %, то - неоднородной.

Коэффициент вариации

Поскольку v ? 30 %, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

Срок наказания
От 1 до 3 лет
От 3 до 5 лет
От 5 до 10 лет
От 10 до 15 лет
Свыше 15 лет
Максимальное значение (функция МАКС)
Минимальное значение (функция МИН)
Размах вариации
Среднее значение (функция СРЗНАЧ)
Среднее квадратическое отклонение (функция СТАНДАР ЛОНА)
Коэффициент вариации

Простая средняя :

Мода льное значение

Медиана

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 70580. Следовательно, медиана Me = 70580.

Показатели вариации . .

R = X max - X min .

R = 295916-2250 = 293666.

Среднее линейное отклонение

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 90895.71.

Дисперсия

(средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 103008 в среднем на 107169.83.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>

или

Коэффициент осцилляции

Простая средняя :

Мода

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 76186. Следовательно, медиана Me = 76186.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min

R = 291112-3101 = 288011.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 83422.69.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 97334.29 в среднем на 100750.25.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя :

Мода льное значение. Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 71093. Следовательно, медиана Me = 71093.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min

R = 243852-3856 = 239996.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 68998.08.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 85765.57 в среднем на 82541.55.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

:

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 74588. Следовательно, медиана Me = 74588.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min ,

R = 242984-5304 = 237680.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 73148.73.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 92104.14 в среднем на 82873.1.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 76678. Следовательно, медиана Me = 76678

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 249346-6536 = 242810.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 79680.53.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 99551.71 в среднем на 87389.04.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 76461. Следовательно, медиана Me = 76461.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 254722-6704 = 248018.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 82302.82.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 102346.71 в среднем на 89787.88.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 78959. Следовательно, медиана Me = 78959.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 261334-7635 = 253699.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 83791.55.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 104898.86 в среднем на 91616.15.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 75916. Следовательно, медиана Me = 75916.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 263863-8145 = 255718.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 82767.96.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 103440.71 в среднем на 91207.92.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 78019. Следовательно, медиана Me = 78019.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min

R = 260094-7798 = 252296.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 77827.76.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 99212.29 в среднем на 88081.39.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Простая средняя арифметическая :

Мода . Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Мода отсутствует (все значения ряда индивидуальные).

Медиана . Медиана - значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда.

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1) / 2 = (7+1) / 2 = 4. Этому номеру соответствует значение ряда 72248. Следовательно, медиана Me = 72248.

Показатели вариации . Абсолютные показатели вариации .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X max - X min .

R = 242137-7173 = 234964.

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 70459.02.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 91375.14 в среднем на 80674.43.

Относительные показатели вариации . К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70 %, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Задача 5

В условиях предыдущей задачи произведите перегруппировку заданных интервалов сроков наказания с целью улучшения относительных показателей вариации признака в 2010 году. Постройте гистограммы распределения осужденных по срокам заключения (наказания) за 2010 год до и после произведенной группировки данных и сделайте выводы об однородности структуры исследуемого статистического признака.

Решение:

Поскольку v>30 %, но v<70 %, то вариация умеренная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична.

Совершим перегруппировку данных следующим образом:

В группу 1) входит группы: до года, год, от 1-3 лет соответственно 156978.

В группу 2) входит от группы свыше 3 до 5 лет полностью и 1\5 от группы свыше 5 до 10 лет получаем 1\5*260094+168651=220669,8.

В группу 3) входит 3\5 группы от 5 до 10 т.е. 3\5*260094=156056,4.

Группа 4) (1\5*260094)+(1\5*78019)=67622,6.

Группа 5) 3\5*78019=46811,4.

Группа 6 30744+(1\5*78019)=46347,8.

Гистограмма. Для получения вывода о однородности исследуемого статистического признака Вычислим коэффициент вариации:

Поскольку v>30 %, но v<70 %, то вариация умеренная.

Коэффициент вариации значительно больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична.

Задача 6

Изложить в краткой форме (тезисно, на 1-2 страницах) содержание и результаты недавнего официального статистического исследования в социально-правовой сфере (тематика - на Ваш выбор, ссылки на Интернет-ресурсы - обязательны), сделать выводы и выдвинуть соответствующие статистические гипотезы на краткосрочную перспективу.

В качестве официального статистического исследования было взято исследование о просроченной задолженности по заработной плате на 1 декабря 2015 года.

На 1 декабря 2015 г., по сведениям организаций (не относящихся к субъектам малого предпринимательства), суммарная задолженность по заработной плате по кругу наблюдаемых видов экономической деятельности составила3900 млн. рубл ей и по сравнению с 1 ноября 2015 г. увеличилась на 395 млн. рублей (на 11,3 %).

Просроченная задолженность по заработной плате из-за отсутствия у организаций собственных средств на 1 декабря 2015г. составила3818 млн. рубл ей , или 97,9 % общей суммы просроченной задолженности. По сравнению с 1 ноября 2015г. она увеличилась на 389 млн. рублей (на 11,3 %). Задолженность из-за несвоевременного получения денежных средств из бюджетов всех уровней составила82 млн. рубл ей и увеличилась по сравнению с 1 ноября 2015г. на 6 млн. рублей (на 7,7 %), в том числе задолженность из федерального бюджета составила 62 млн. рублей и снизилась по сравнению с 1 ноября 2015г. на 6 млн. рублей (на 8,6 %),бюджетов субъектов Российской Федерации составила 1,1 млн. рублей (увеличение на 0,2 млн. рублей или на 20,7 %), местных бюджетов - 19 млн. рублей (увеличение на 12 млн. рублей, или в 2,5 раза).

В добыче полезных ископаемых, обрабатывающих производствах, здравоохранении и предоставлении социальных услуг, рыболовстве и рыбоводстве 100 % просроченной задолженности по заработной плате образовано из-за нехватки у организаций собственных средств.

В общем объеме просроченной задолженности по заработной плате 37 % приходится на обрабатывающие производства, 29 % - на строительство, 9 % - на производство и распределение электроэнергии, газа и воды, 7 % - на транспорт, 6 % - на добычу полезных ископаемых, 5 % - на сельское хозяйство, охоту и предоставление услуг в этих областях, лесозаготовки.

Объем просроченной задолженности по заработной плате на 1 декабря 2015г. составил менее 1 % месячного фонда заработной платы работников наблюдаемых видов экономической деятельности.

Задолженность по заработной плате за последний месяц , за который производились начисления, в общем объеме просроченной задолженности составила в среднем 29 %: производстве и распределении электроэнергии, газа и воды - 75 %, деятельности в области образования - 37 %, здравоохранения и предоставления социальных услуг - 35 %, научных исследований и разработок - 32 %, строительства - 29 %, транспорта - 23 %, обрабатывающих производствах - 22 %.

Из общей суммы невыплаченной заработной платы на долги, образовавшиеся в 2014г.,приходится 457 млн. рублей (11,7 %), в 2013г. и ранее - 657 млн. рублей (16,8 %).

В целом наблюдая картину задолженности по заработной плате в динамике (http://www.gks.ru/bgd/free/B04_03/IssWWW.exe/Stg/d06/Image 5258.gif), можно сделать вывод что значительный спад придется на январь, февраль 2016 года.

Основной процент задолженности приходится на обрабатывающие производства - 37 %, 29 % - на строительство скорее всего это происходит в связи со снижением потребительского спроса на продукцию, соответственно уменьшается прибыль.

Выдвинем гипотезу. С января 2016 года процент задолженности будет сокращаться, в связи с распределением годового бюджета на будущий год с учетом частичного погашения задолженности по заработной плате, и составит 2700 млн. динамика преступность вариация медианное

Для проверки гипотезы (За основу берем данный таблицы http://www.gks.ru/bgd/free/B04_03/IssWWW.exe/Stg/d06/Image5258.gif).

Построим дискретный вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию и подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда.

Вычислим среднюю:

Вычислим дисперсию. Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Используя односторонний критерий с б = 0,05, проверить эту гипотезу, если в выборке из n =24 месяца средний показатель оказался равным 2741,25, а дисперсия известна и равна у =193469,27

Решение . Среднеквадратическое отклонение:

Выдвигается нулевая гипотеза H 0 о том, что значение математического ожидания генеральной совокупности равно числу м 0: = 2700.

Альтернативная гипотеза:

H 1: м? 2700, критическая область - двусторонняя.

Для проверки нулевой гипотезы используется случайная величина:

где x - выборочное среднее; S - среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности.

Если нулевая гипотеза верна, то случайная величина T имеет стандартное нормальное распределение. Критическое значение статистики T определяется исходя из вида альтернативной гипотезы:

P(|T|

Найдем экспериментальное значение статистики T:

Поскольку объем выборки достаточно большой (n>30), то вместо истинного значения среднеквадратического отклонения можно использовать его оценку S=439.851.

Ф(t кр)=(1-б)/2 = (1-0.05)/2 = 0.475.

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t kp значение Ф(t kp) = 0.475.

Экспериментальное значение критерия T не попало в критическую область T ? t kp , поэтому нулевую гипотезу следует принять. Значение математического ожидания генеральной совокупности можно принять равным 2700

Список используемой литературы

1. Казанцев С.Я. Правовая статистика: Учебник / Под ред. С.Я. Казанцева, С.Я. Лебедева - М.: ЮНИТИ-ДАНА: Закон и право, 2009 г.

2. Курыс?в К.Н. Основы правовой статистики: учеб. пособие / К.Н. Курыс?в; ВЮИ ФСИН России. - Владимир, 2005. - 44 с.

3. Макарова Н.В. Статистика в Exсel: учеб. пособие / Н.В. Макарова, В.Я. Трофимец. - М.: Финансы и статистика.

4. Кондратюк Л.В., Овчинский В.С. Криминологическое измерение /под ред. К.К. Горяинова. - М.: Норма, 2008.

5. Яковлев В.Б. Статистика. Расчеты в Microsoft Excel: учеб. Пособие для вузов / В.Б. Яковлев. - М.: Колосc, 2005. - 352 c.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Исследование преступности несовершеннолетних с позиций объекта криминологического исследования. Взаимосвязь подросткового алкоголизма, токсикомании, наркомании и преступности. Причины и условия и пути профилактики преступности несовершеннолетних.

курсовая работа , добавлен 08.04.2011


Методика конкретного криминологического исследования. Криминологическая характеристика насильственной преступности и ее предупреждение. Общественная опасность и тяжесть причиняемых последствий насильственных преступлений. Статистика преступности.

контрольная работа , добавлен 15.01.2011


Формула расчета коэффициента преступности. Расчет среднегодовой нагрузки на одного судью, среднего срока расследования уголовных дел, среднегодовых темпов роста преступности. Расчет показателей моды, медианы, вариации и среднеквадратического отклонения.

контрольная работа , добавлен 20.04.2011


Изучение основ корыстной преступности: понятие, элементы, объекты и субъективные стороны. Описание социального и специально-криминологического предупреждения преступности из корыстных побуждений. Разработка комплекса мер по предупреждению преступлений.

дипломная работа , добавлен 09.11.2012


Понятие и предмет криминологического прогнозирования. Установление возможных изменений в состоянии, уровне, структуре и динамике преступности в будущем. Оценка развития преступности в перспективе. Планирование борьбы с преступностью, ее предупреждение.

курсовая работа , добавлен 29.05.2015


Исследование видов криминологического прогнозирования и проектирования в сфере преступности. Особенности прогнозирования преступности несовершеннолетних в Республике Казахстан. Разработка программ борьбы с преступностью на общегосударственном уровне.

дипломная работа , добавлен 25.10.2015


Преступность несовершеннолетних как объект криминологического исследования. Основные, криминологические характеристики преступности несовершеннолетних. Состояние преступности. Особенности личностной характеристики несовершеннолетних.

реферат , добавлен 01.04.2003


Тенденции криминального поведения современных женщин: рост и устойчивый удельный вес тяжких и рецидивных преступлений, омоложение преступниц и увеличение количества женщин пожилого возраста среди осужденных. Общие меры предупреждения женской преступности.

реферат , добавлен 01.03.2014


Расчет относительных показателей структуры и координации категорий осужденных по степени тяжести совершенных преступлений. Коэффициенты преступности и судимости по федеральным округам и в целом по России. Расчет показателей динамики с помощью MS Excel.

контрольная работа , добавлен 31.07.2011


Понятие, виды, значения, детерминанты латентной преступности, причины ее возникновения, предупреждение и способы сокращения. Определение уровня и анализ структуры преступности. Системный подход в изучении латентной преступности как социального явления.