Динамические системы довольно популярны в экономическом моделировании.

Типы процессов, происходящих в экономических системах:

• Детерминированные;
• Стохастические;
• Хаотические.

Для макроуровня, благодаря действиям объективных экономических законов и регуляторных воздействий государства, более характерные детерминированные процессы. Для микроуровня — стохастические (вероятностные).

При достаточно большом количестве наблюдений и обобщении исследуемого явления на более высоком уровне иерархии детерминированная компонента начинает превалировать, а стохастическая превращается в «шум».

При хаотичном характере исследуемой системы применения методов позволяет несколько облегчить изучение объекта за счет определения детерминированного механизма его поведения. Это, в свою очередь, позволяет уменьшить неопределенность познания системы.

Динамическая система — это такая система, параметры которой явно или неявно зависят от времени.

Итак, если для поведения системы заданные функциональные уравнения, то в них включены в явном виде переменные, относящиеся к разным моментам времени.

Важнейшие свойства сложных динамических систем

Рассмотрим самые важные свойства динамических систем.

1. Целостность (эмерджентность) динамических систем

В системе отдельные части функционируют совместно, составляя в совокупности процесс функционирования системы как целого. Совокупное функционирование разнородных взаимосвязанных элементов порождает качественно новые функциональные свойства целого, не имеющие аналогов в свойствах его элементов. Это означает принципиальную невозможность сведения свойств системы к сумме свойств ее элементов.

2. Взаимодействие динамической системы с внешней средой

Система реагирует на воздействие окружающей среды, эволюционирует под этим влиянием, но при этом сохраняет качественную определенность и свойства, отличающие ее от других систем.

3. Структура динамической системы

При исследовании системы структура выступает как способ описания ее организации. В зависимости от поставленной задачи исследования осуществляется декомпозиция системы на элементы и вводятся существенные для решаемой проблемы отношения и связи между ними. Декомпозиция системы на элементы и связи определяется внутренними свойствами данной системы. Структура динамична по природе, ее эволюция во времени и пространстве отражает процесс развития систем.

4. Бесконечность познания динамической системы

Под этим свойством понимается невозможность полного познания системы и всестороннего представления ее конечной множеством описаний, т.е. конечной количеством качественных и количественных характеристик. Поэтому система может быть представлена множеством структурных и функциональных вариантов, отражающих различные аспекты системы.

5. Иерархичность динамической системы

Каждый элемент в декомпозиции системы может рассматриваться как целостная система, элементы которой, в свою очередь, могут быть также представлены как системы. Но, с другой стороны, любая система — лишь компонент более широкой системы.

6. Элемент динамической системы

Под элементом понимается наименьшее звено в структуре системы, внутреннее строение которой не рассматривается на выбранном уровне анализа. Согласно свойства 5 любой элемент является системой, но на заданном уровне анализа эта система характеризуется только целостными характеристиками.

Целостность, структура, элемент, бесконечность и иерархичность составляют ядро системообразующих понятий общей теории систем и является основой системного представления объектов и формирования концепций системных исследований.

Для более подробного изучения свойств динамических экономических систем (ЭС) необходимо рассмотреть еще ряд дополнительных ее свойств характеристик.

1. Состояние динамической системы . Состояние системы определяется состояниями ее элементов. Теоретически возможный набор состояний равно количеству возможных сочетаний всех состояний элементов. Однако взаимодействие составных частей приводит к ограничению количества реальных сочетаний. Изменение состояния элемента может происходить неявно, непрерывно и скачкообразно.
2. Поведение динамических систем . Под поведением системы понимается закономерный переход из одного состояния в другое, обусловленный свойствами элементов и структурой.
3. Непрерывность функционирования системы . Система существует, пока функционируют социально-экономические и иные процессы в обществе, которые не могут быть прерваны, иначе система перестанет функционировать. Все процессы в ЕС, как в живом организме, взаимосвязаны. Функционирования частей определяет характер функционирования целого, и наоборот. Функционирование системы связано с непрерывными изменениями, накопление которых приводит к развитию.
4. Развитие динамической системы . Жизнедеятельность сложной системы является постоянным изменением фаз функционирования и развития, которая выражается в непрерывной функциональной и структурной перестройке системы, ее подсистем и элементов. Эволюция экономических систем обусловлена одной из важнейших свойств сложных систем — способностью к саморазвитию. Центральным источником саморазвития является непрерывный процесс возникновения и разрешения противоречий. Развитие, как правило, связан с усложнением системы, т.е. с увеличением ее внутреннего разнообразия.
5. Динамичность системы . Экономическая система функционирует и развивается во времени, она имеет предысторию и будущее, характеризуется определенным жизненным циклом, в котором могут быть выделены определенные фазы: возникновение, рост, развитие, стабилизация, деградация, ликвидация или стимул к изменению.
6. Сложность динамической системы . Экономическая система характеризуется большим количеством неоднородных элементов и связей, полифункциональностью, полиструктурностью, многокритериальностью, многовариантностью развития и свойствами сложных систем, поэтому она представляется, как сложная динамическая система .
7. Гомеостатичность . Гомеостатичность отражает свойство системы к самосохранению, противодействие разрушающим воздействиям среды.
8. Целеустремленность . Всем динамическим системам в экономике присуща целеустремленность, т.е. наличие определенных целей и стремление ее достижения. Развитие системы связан именно с изменением цели.
9. Управляемость динамической системы . Осознанная организация целенаправленного функционирования системы и ее элементов называется управляемостью. В процессе жизнедеятельности система посредством целенаправленного управления решает постоянно возникающие в ней противоречия и реагирует на изменение внутренних и внешних условий своего существования. Согласно изменяющимся, она меняет свою структуру, корректирует цели развития и содержание деятельности элементов, т.е. происходит целенаправленная самоорганизация системы, которая на практике реализует способность к саморазвитию. Одной из основных функций самоорганизации является сохранение качественной уникальности системы в процессе ее эволюции.Свойства управляемости оказываются также в таких особенностях, как относительная автономность и функциональная управляемость.Относительная автономность функционирования экономических систем означает, что в результате действия обратной связи каждая из составляющих выходного сигнала может быть изменена за счет изменения входного сигнала, причем другие составляющие остаются не измененными. Функциональная управляемость экономической системы означает, что соответствующим выбором входного воздействия можно добиться любого выходного сигнала.
10. Адаптивность динамической системы . Адаптивная экономической системы определяется двумя видами адаптации — пассивной и активной. Пассивная адаптация является внутренней характеристикой экономической системы, которая располагает определенными возможностями саморегулирования. Активная адаптация представляет механизм адаптивного управления экономической системой и организацию его эффективной реализации.
11. Инерционность динамической системы . Инерционность экономической системы проявляется в возникновении запаздывания в системе, симптоматично реагирует на возмущения и управляющие воздействия.
12. Устойчивость динамической системы . Система считается относительно устойчивой в определенно определенных пределах, если при достаточно малых изменениях условий функционирования его поведение существенно не меняется. В рамках теории систем исследуются структурная устойчивость и устойчивость траектории поведения системы. Устойчивость ЕС обеспечивается такими аспектами самоорганизации, как дифференциация и лабильность (чувствительность). Дифференциация — это стремление системы к структурной и функциональной разнообразия элементов, которая обеспечивает не только условия возникновения и разрешения противоречий, но и определяет способность системы быстро приспосабливаться к имеющимся условиям существования. Больше разнообразия — больше устойчивости, и наоборот. Лабильность означает подвижность функций элементов при сохранении устойчивости структуры системы в целом.
13. Состояние равновесия динамической системы . Устойчивость системы связана с ее стремлением к состоянию равновесия, которое предполагает такое функционирование элементов системы, при котором обеспечивается повышенная эффективность движения к целям развития. В реальных условиях система не может полностью достичь состояния равновесия, хотя и стремится к нему. Элементы системы функционируют по-разному в разных условиях, и их динамическое взаимодействие постоянно влияет на движение системы. Система стремится к равновесию, на это направлены усилия управления, но, достигая его, она тут же от него уходит. Таким образом, устойчивая экономическая система постоянно находится в состоянии динамического равновесия, она непрерывно колеблется относительно положения равновесия, что является не только ее специфическим свойством, но и условием непрерывного возникновения противоречий как движущих сил эволюции.

Динамические и статистические теории

Одна из главных задач любой научной теории заключается в том, чтобы по заданному состоянию системы предсказать ее будущее или восстановить прошлое состояние. Однако, поскольку состояние системы можно описывать по-раз­но­му (пп. 3.4.1, 3.4.2, 3.5.3), различается и характер предсказаний. В этом отношении все теории можно разделить на два класса: динамические и статистические . В динамической теории состояние системы определяется значениями характеризующих ее физических величин. Соответственно, динамическая теория позволяет предсказывать значения физических величин, характеризующих систему.

Исторически первая научная теория - классическая механика - теория динамическая. Она стала образцом, по которому кроились другие разделы классического естествознания: термодинамика, электродинамика, теория относительности, теория химического строения, систематика живых существ… Сформировалось убеждение, что динамические теории несут наиболее фундаментальное знание.

Теория, в которой состояние системы определяется заданием вероятностей тех или иных значений физических величин, относится к статистическим теориям.

Статистическая теория позволяет предсказывать лишь вероятности тех или иных значений физических величин, характеризующих систему.

Первые статистические теории стали возникать в XIX веке: молекулярно-ки­не­ти­чес­кая теория и, более широко, статистическая механика в физике, дарвиновская теория эволюции (основанная на представлениях о неопределенной, то есть, случайной изменчивости), менделевская генетика. Большинство же ныне действующих статистических теорий появились уже в XX веке. Со статистическими теориями в естествознание вошло фундаментальное понятие флуктуации .

Флуктуация - это случайное отклонение характеристик системы
от наиболее вероятного или среднего значения.

Причины флуктуаций могут быть различными. Например, голубой цвет неба, в конечном счете, обусловлен тем, что количество молекул воздуха в заданном объеме не постоянно: оно все время колеблется вокруг среднего значения. Причина - беспорядочное тепловое движение молекул: в какой-то момент больше молекул покинет данный объем, чем влетит в него извне, а в следующий момент - наоборот. Нулевые колебания полей в физическом вакууме (п. 3.3.4) - это тоже флуктуации, но уже квантового происхождения. В биологии флуктуации скрываются за терминами «не­о­пре­де­лен­ная изменчивость», «му­та­ции»; здесь их основная причина - влияние множества неучитываемых факторов. Понятие флуктуации фактически ис­поль­зу­ет­ся и в социальных науках, когда говорится о субъ­ек­тив­ных факторах общественных процессов, роли личности в истории и т.д.

Динамические теории не учитывают (и не допускают возможности) флуктуаций; статистические - допускают, учитывают и даже выводят на передний план.

Одной из наиболее актуальных проблем современного естествознания и, в частности физики, остается вопрос о природе причинности и причинных отношениях в мире. Более конкретно этот вопрос в физике формулируется в проблеме соотношения динамических и статистических законов с объективными закономерностями. В решении этой проблемы возникли два философских направления - детерминизм и индетерминизм, занимающие прямо противоположные позиции.
Детерминизм - учение о причинной материальной обусловленности природных, социальных и психических явлений. Сущностью детерминизма является идея о том, что все существующее в мире возникает и уничтожается закономерно, в результате действия определенных причин.
Индетерминизм - учение, отрицающее объективную причинную обусловленность явлений природы, общества и человеческой психики.
В современной физике идея детерминизма выражается в признании существования объективных физических закономерностей и находит свое более полное и общее отражение в фундаментальных физических теориях.
Фундаментальные физические теории (законы) представляют собой совокупность наиболее существенных знаний о физических закономерностях. Эти знания не являются исчерпывающими, но на сегодняшний день они наиболее полно отражают физические процессы в природе. В свою очередь, на основе тех или иных фундаментальных теорий формулируются частные физические законы типа закона Архимеда, закона Ома, закона электромагнитной индукции и т.д.
Ученые-науковеды едины во мнении, что основу любой физической теории составляют три главных элемента:
1) совокупность физических величин, с помощью которых описываются объекты данной теории (например, в механике Ньютона - координаты, импульсы, энергия, силы); 2) понятие состояния; 3) уравнения движения, то есть уравнения, описывающие эволюцию состояния рассматриваемой системы.
Кроме того, для решения проблемы причинности важное значение имеет подразделение физических законов и теорий на динамические и статистические (вероятностные).

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ТЕОРИИ И МЕХАНИЧЕСКИЙ, ДЕТЕРМИНИЗМ

Динамический закон - это физический закон, отображающий объективную закономерность в форме однозначной связи физических величин, выражаемых количественно. Динамической теорией является физическая теория, представляющая совокупность динамических законов. Исторически первой и наиболее простой теорией такого рода явилась классическая механика Ньютона. Она претендовала на описание механического движения, то есть перемещения в пространстве с течением времени любых тел или частей тел относительно друг друга с какой угодно точностью.
Непосредственно законы механики, сформулированные Ньютоном, относятся к физическому телу, размерами которого можно пренебречь, материальной точке. Но любое тело макроскопических размеров всегда можно рассматривать как совокупность материальных точек и, следовательно, достаточно точно описать его движения.
Поэтому в современной физике под классической механикой понимают механику материальной точки или системы материальных точек и механику абсолютно твердого тела.
Для расчета движения должна быть известна зависимость взаимодействия между частицами от их координат и от скоростей. Тогда по заданным значениям координат и импульсов всех частиц системы в начальный момент времени второй закон Ньютона позволяет однозначно определить координаты и импульсы в любой последующий момент времени. Это позволяет утверждать, что координаты и импульсы частиц системы полностью определяют ее состояние в механике. Любая механическая величина, представляющая для нас интерес (энергия, момент импульса и т.д.), выражается через координаты и импульс. Таким образом, определяются все три элемента фундаментальной теории, какой является классическая механика.
Другим примером фундаментальной физической теории динамического характера может служить электродинамика Максвелла. Здесь объектом исследования является электромагнитное поле. Тогда уравнения Максвелла представляют собой уравнения движения для электромагнитной формы материи. При этом структура электродинамики в самых общих чертах повторяет структуру механики Ньютона. Уравнения Максвелла позволяют по заданным начальным значениям электрического и магнитного полей внутри некоторого объема однозначно определить электромагнитное поле в любой последующий момент времени.
Другие фундаментальные теории динамического характера имеют ту же структуру, что и механика Ньютона, и электродинамика Максвелла. К их числу относятся: механика сплошных сред, термодинамика и общая теория относительности (теория гравитации).
Метафизическая философия считала, что все объективные физические закономерности (и не только физические) имеют точно такой же характер, что и динамические законы. Иначе говоря, не признавались никакие другие виды объективных закономерностей, кроме динамических закономерностей, выражающих однозначные связи физических объектов и описывающих их абсолютно точно посредством определенных физических величин. Отсутствие такого полного описания трактовалось как недостаток наших познавательных способностей.
Абсолютизация динамических закономерностей и, следовательно, механического детерминизма, обычно связывается с П.Лапласом, которому принадлежит уже цитированное нами знаменитое высказывание о том, что если бы нашелся достаточно обширный ум, которому были бы известны для любого данного момента все силы, действующие на все тела Вселенной (от самых больших ее тел до мельчайших атомов), а также их местоположение, если бы он смог проанализировать эти данные в единой формуле движения, то не осталось бы ничего, что было бы недостоверным, и ему было бы открыто как прошлое, так и будущее Вселенной.
Согласно провозглашенному Лапласом принципу, все явления в природе предопределены с «железной» необходимостью. Случайному, как объективной категории, нет места в нарисованной Лапласом картине мира. Только ограниченность наших познавательных способностей заставляет рассматривать отдельные события в мире как случайные. В силу этих причин, а также отмечая роль Лапласа, классический механический детерминизм называют еще жестким или лапласовским детерминизмом.
Необходимость отказа от классического детерминизма в физике стала очевидной после того, как выяснилось, что динамические законы не универсальны и не единственны и что более глубокими законами природы являются не динамические, а статистические законы, открытые во второй половине XIX века, особенно после того, как выяснился статистический характер законов микромира.
Но даже и при описании движения отдельных макроскопических тел осуществление идеального классического детерминизма практически невозможно. Это хорошо видно из описания постоянно меняющихся систем. Вообще начальные параметры любых механических систем невозможно фиксировать с абсолютной точностью, поэтому точность предсказания физических величин со временем уменьшается. Для каждой механической системы существует некоторое критическое время, начиная с которого невозможно точно предсказать ее поведение.
Несомненно, что лапласовский детерминизм с определенной степенью идеализации отражает реальное движение тел и в этом отношении его нельзя считать ложным. Но абсолютизация его как совершенно точного отображения действительности недопустима.
С утверждением главенствующего значения статистических закономерностей в физике исчезает идея всеведущего сознания, для которого абсолютно точно и однозначно детерминированы судьбы мира, тот идеал, который был поставлен перед наукой концепцией абсолютного детерминизма.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И ТЕОРИИ И ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ДЕТЕРМИНИЗМ

Описанные выше динамические законы имеют универсальный характер, то есть они относятся ко всем без исключения изучаемым объектам. Отличительная особенность такого рода законов состоит в том, что предсказания, полученные на их основе, имеют достоверный и однозначный характер.
Наряду с ними в естествознании в середине прошлого века были сформулированы законы, предсказания которых являются не определенными, а только вероятными. Свое название эти законы получили от характера той информации, которая была использована для их формулировки. Вероятностными они назывались потому, что заключения, основанные на них, не следуют логически из имеющейся информации, а потому не являются достоверными и однозначными. Поскольку сама информация при этом носит статистический характер, часто такие законы называются также статистическими, и это их название получило в естествознании значительно большее распространение.
Представления о закономерностях особого типа, в которых связи между величинами, входящими в теорию, неоднозначны, впервые ввел Максвелл в 1859 г. Он первым понял, что при рассмотрении систем, состоящих из огромного числа частиц, нужно ставить задачу совсем иначе, чем это делалось в механике Ньютона. Для этого Максвелл ввел в физику понятие вероятности, выработанное ранее математиками при анализе случайных явлений, в частности азартных игр.
Многочисленные физические и химические опыты показали, что в принципе невозможно не только проследить изменения импульса или положения одной молекулы на протяжении большого интервала времени, но и точно определить импульсы и координаты всех молекул газа или другого макроскопического тела в данный момент времени. Ведь число молекул или атомов в макроскопическом теле имеет порядок 1023. Из макроскопических условий, в которых находится газ (определенная температура, объем, давление и т.д.), не вытекают с необходимостью определенные значения импульсов и координат молекул. Их следует рассматривать как случайные величины, которые в данных макроскопических условиях могут принимать различные значения, подобно тому, как при бросании игральной кости может выпасть любое число очков от 1 до 6. Предсказать, какое число очков выпадет при данном бросании кости, нельзя. Но вероятность выпадения, например, 5, можно подсчитать.
Эта вероятность имеет объективный характер, так как выражает объективные отношения реальности и ее введение не обусловлено лишь незнанием нами деталей течения объективных процессов. Так, для кости вероятность выпадения любого числа очков от 1 до 6 равно "/6, что не зависит от познания этого процесса и потому есть явление объективное.
На фоне множества случайных событий обнаруживается определенная закономерность, выражаемая числом. Это число - вероятность события - позволяет определять статистические средние значения (сумма отдельных значений всех величин, деленная на их число). Так, если бросить кость 300 раз, то среднее число выпадения пятерки будет равно 300 . "Л = 50 раз. Причем совершенно безразлично, бросать одну и ту же кость или одновременно бросить 300 одинаковых костей.
Несомненно, что поведение газовых молекул в сосуде гораздо сложнее брошенной кости. Но и здесь можно обнаружить определенные количественные закономерности, позволяющие вычислить статистические средние значения если только ставить задачу так же, как в теории игр, а не как в классической механике. Нужно отказаться, например, от неразрешимой задачи определения точного значения импульса молекулы в данный момент, а пытаться найти вероятность определенного значения этого импульса.
Максвеллу удалось решить эту задачу. Статистический закон распределения молекул по импульсам оказался несложным. Но главная заслуга Максвелла состояла не в решении, а в самой постановке новой проблемы. Он ясно осознал, что случайное в данных макроскопических условиях поведение отдельных молекул подчинено определенному вероятностному (или статистическому) закону.
После данного Максвеллом толчка молекулярно-кинетическая теория (или статистическая механика, как стали называть ее в дальнейшем) начала стремительно развиваться.
Статистические законы и теории имеют следующие характерные черты.
1. В статистических теориях любое состояние представляет собой вероятностную характеристику системы. Это означает, что состояние в статистических теориях определяется не значениями физических величин, а статистическими (вероятностными) распределениями этих величин. Это принципиально иная характеристика состояния, чем в динамических теориях, где состояние задается значениями самих физических величин.
2. В статистических теориях по известному начальному состоянию в качестве результата однозначно определяются не сами значения физических величин, а вероятности этих значений внутри заданных интервалов. Тем самым однозначно определяются средние значения физических величин. Эти средние значения в статистических теориях играют ту же роль, что и сами физические величины в динамических теориях. Нахождение средних значений физических величин - главная задача статистических теории.
Вероятностные характеристики состояния в статистических теориях совершенно отличны от характеристик состояния в динамических теориях. Тем не менее динамические и статистические теории обнаруживают в самом существенном отношении замечательное единство. Эволюция состояния в статистических теориях однозначно определяется уравнениями движения, как и в динамических теориях. По заданному статистическому распределению (по заданной вероятности) в начальный момент времени уравнение движения однозначно определяет статистическое распределение (вероятность) в любой последующий момент времени, если известны энергия взаимодействия частиц друг с другом и с внешними телами. Однозначно определяются соответственно и средние значения всех физических величин. Здесь нет никакого отличия от динамических теорий в отношении однозначности результатов. Ведь статистические теории, как и динамические, выражают необходимые связи в природе, а они вообще не могут быть выражены иначе, чем через однозначную связь состояний.
На уровне статистических законов и закономерностей мы также сталкиваемся с причинностью. Но детерминизм в статистических закономерностях представляет более глубокую форму детерминизма в природе. В отличие от жесткого классического детерминизма он может быть назван вероятностным (или современным) детерминизмом.
Статистические законы и теории являются более совершенной формой описания физических закономерностей, любой известный на сегодняшний день процесс в природе более точно описывается статистическими законами, чем динамическими. Однозначная связь состояний в статистических теориях говорит об их общности с динамическими теориями. Различие между ними в одном - способе фиксации (описания) состояния системы.
Истинное, всеобъемлющее значение вероятностного детерминизма стало очевидным после создания квантовой механики - статистической теории, описывающей явления атомарного масштаба, то есть движение элементарных частиц и состоящих из них систем (другими статистическими теориями являются: статистическая теория неравновесных процессов, электронная теория, квантовая электродинамика). Несмотря на то, что квантовая механика значительно отличается от классических теорий, общая для фундаментальных теорий структура сохраняется и здесь. Физические величины (координаты, импульсы, энергия, момент импульса и т.д.) остаются в общем теми же, что и в классической механике. Основной величиной, характеризующей состояние, является комплексная волновая функция. Зная ее, можно вычислить вероятность обнаружения определенного значения не только координаты, но и любой другой физической величины, а также средние значения всех величин. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики - уравнение Шредингера - однозначно определяет эволюцию состояния системы во времени.

СООТНОШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ И СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ

Сразу же после появления в физике понятия статистического закона возникла проблема существования статистических закономерностей и их соотношения с динамическими законами.
С развитием науки подход к этой проблеме и даже ее постановка менялись. Первоначально основным в проблеме соотношения был вопрос об обосновании классической статистической механики на базе динамических законов Ньютона. Исследователи пытались выяснить, как статистическая механика, существенной чертой которой является вероятностный характер предсказания значений физических величин, должна относиться к законам Ньютона с их однозначными связями между значениями всех величин.
Статистические законы, как новый тип описания закономерностей, были первоначально сформулированы на основе динамических уравнений классической механики. Длительное время динамические законы считались основным, первичным типом отображения физических закономерностей, а статистические законы рассматривались в значительной мере как следствие ограниченности наших способностей к познанию.
Но сегодня известно, что закономерности поведения объектов микромира и законы квантовой механики являются статистическими. Именно тогда вопрос был поставлен так: является ли статистическое описание микропроцессов единственно возможным или же существуют динамические законы, более глубоко определяющие движение элементарных частиц, но скрытые под покровом статистических законов квантовой механики?
Возникновение и развитие квантовой теории постепенно привело к пересмотру представлений о роли динамических и статистических законов в отображении закономерностей природы. Был обнаружен статистический характер поведения отдельных элементарных частиц. При этом за описывающими это поведение законами квантовой механики не было обнаружено никаких динамических законов. Поэтому крупнейшими учеными, такими, как Н. Бор, В. Гейзенберг, М. Борн, П. Ланжевен и другими, был выдвинут тезис о первичности статистических законов. Правда, принятие в тот момент этого тезиса было затруднено из-за того, что некоторые из вышеназванных ученых связывали положение о первичности статистических законов с индетерминизмом. Поскольку привычная модель детерминизма в микромире была недостижима, они делали вывод об отсутствии в микромире причинности вообще. Но большая часть ученых с этим выводом не согласилась и стала настаивать на необходимости отыскать динамические законы для описания микромира, воспринимая статистические законы как промежуточный этап, позволяющий описывать поведение совокупности микрообъектов, но не дающий еще возможности точно описать поведение отдельных микрообъектов.
Когда стало очевидно, что нельзя отрицать роль статистических законов в описании физических явлений (все экспериментальные данные полностью соответствовали теоретическим расчетам, основанным на подсчетах вероятностей), была выдвинута теория «равноправия» статистических и динамических законов. Те и другие законы рассматривались как законы равноправные, но относящиеся к различным явлениям, имеющие каждый свою сферу применения, не сводимые друг к другу, но взаимно дополняющие друг друга.
Эта точка зрения не учитывает того бесспорного факта, что все фундаментальные статистические теории современной физики (квантовая механика, квантовая электродинамика, статистическая термодинамика и т.д.) содержат в качестве своего приближения соответствующие динамические теории. Поэтому сегодня многие крупные ученые склонны рассматривать статистические законы как наиболее глубокую, наиболее общую форму описания всех физических закономерностей.
Нет основания делать вывод об индетерминизме в природе потому, что законы микромира являются принципиально статистическими. Поскольку детерминизм настаивает на существовании объективных закономерностей, постольку индетерминизм должен означать отсутствие таких закономерностей. Этого, безусловно, нет. Статистические закономерности ничуть не менее объективны, чем динамические, и отражают взаимосвязь явлений материального мира. Доминирующее значение статистических законов означает переход к более высокой ступени детерминизма, а не отказ от него вообще.
При рассмотрении соотношения между динамическими и статистическими законами мы встречаемся с двумя аспектами этой проблемы.
В аспекте, возникшем исторически первым, соотношение между динамическими и статистическими законами выступает в следующем плане: законы, отражающие поведение индивидуальных объектов, являются динамическими, а законы, описывающие поведение большой совокупности этих объектов, статистическими. Таково, например, соотношение между классической механикой и статистической механикой. Существенным для данного аспекта является то, что здесь динамические и статистические законы описывают разные формы движения материи, не сводимые друг к другу. Они имеют разные объекты описания, и поэтому анализ теорий не позволяет выявить существенное в их отношении друг к другу. Этот аспект не может считаться основным при анализе их соотношения.
Второй аспект проблемы изучает соотношение динамических и статистических законов, описывающих одну и ту же форму движения материи. Примером могут служить термодинамика и статистическая механика, электродинамика Максвелла и электронная теория и т.д.
До появления квантовой механики считалось, что поведение индивидуальных объектов всегда подчиняется динамическим закономерностям, а поведение совокупности объектов -статистическим; низшие, простейшие формы движения подчиняются динамическим закономерностям, а высшие, более сложные - статистическим. Но с возникновением квантовой механики было установлено, что как «низшие», так и «высшие» формы движения материи могут описываться и динамическими, и статистическими законами. Например, квантовая механика и квантовая статистика описывают разные формы материи, но обе эти теории являются статистическими.
После создания квантовой механики можно с полным основанием утверждать, что динамические законы представляют собой первый, низший этап в познании окружающего нас мира и что статистические законы более полно отражают объективные связи в природе, являясь более высоким этапом познания. На протяжении всей истории развития науки мы видим, как первоначально возникшие динамические теории, охватывающие определенный круг явлений, сменяются по мере развития науки статистическими теориями, описывающими тот же круг вопросов с новой, более глубокой точки зрения.
Смена динамических теорий статистическими не означает, что старые динамические теории отживают свой век и забываются. Практическая их ценность в определенных границах нисколько не умаляется фактом создания новых статистических теорий. Говоря о смене теорий, мы в первую очередь имеем в виду смену менее глубоких физических представлений более глубокими представлениями о сущности явлений. Одновременно со сменой физических представлений расширяется область применимости теорий. Статистические теории распространяются на более широкий круг явлений, недоступный динамическим теориям. Статистические теории находятся в лучшем количественном согласии с экспериментом, чем динамические. Но при определенных условиях статистическая теория приводит к таким же результатам, как и более простая динамическая теория (вступает в действие принцип соответствия -речь о нем пойдет ниже).
Связь необходимого и случайного не может быть вскрыта в рамках динамических законов, так как они игнорируют случайное. В динамическом законе отображается тот средний необходимый результат, к которому приводит течение процессов, но не отражается сложный характер определения данного результата. При рассмотрении достаточно обширного круга вопросов, когда отклонения от необходимого среднего значения ничтожны, такое описание процессов вполне удовлетворительно. Но и в этом случае оно может считаться достаточным при условии, что нас не интересуют те сложные взаимоотношения, которые приводят к необходимым связям, и мы ограничиваемся лишь констатацией этих связей. Надо отчетливо представлять себе, что абсолютно точных однозначных связей физических величин, о которых говорят динамические теории, в природе просто нет. В реальных процессах всегда происходят неизбежные отклонения от необходимых средних величин - случайные флуктуации, которые только при определенных условиях не играют существенной роли и могут не учитываться.
Динамические теории не способны описывать явления, когда флуктуации значительны, и не способны предсказывать, при каких именно условиях мы уже не можем рассматривать необходимое в отрыве от случайного. В динамических законах необходимость выступает в форме, огрубляющей ее связь со случайностью. Но как раз последнее обстоятельство учитывают статистические законы. Отсюда следует, что статистические законы отображают реальные физические процессы глубже, чем динамические. Не случайно статистические законы познаются вслед за динамическими.
Возвращаясь к проблемам причинности, мы сможем сделать вывод, что на основе динамических и статистических законов возникает динамическая и вероятностная причинность. И как статистические законы глубже отражают объективные связи природы, чем динамические, так и вероятностная причинность является более общей, а динамическая - лишь ее частным случаем.

План семинарского занятия (2 часа)

1. Динамические законы и механический детерминизм.
2. Статистические законы и вероятностный детерминизм.
3. Соотношение динамических и статистических законов.

Темы докладов и рефератов

ЛИТЕРАТУРА

1. Мякишев Г.Я. Динамические и статистические закономерности в физике. М„ 1973.
2. Свечников Г.А. Причинность и связь состояний в физике. М., 1971.
3. Философские проблемы естествознания. М., 1985.

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, математическая модель эволюции реальной (физической, биологической, экономической и др.) системы, состояние которой в любой момент времени однозначно определяется её начальным состоянием.

Историческая справка . Основатели теории динамической системы - А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов. В конце 19 - начале 20 века они обнаружили и исследовали класс задач (в небесной механике, в теории фигур равновесия вращающейся жидкости и т.д.), в которых необходимо было знать поведение не одного отдельно взятого решения х(t) системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а всех (или очень многих) решений, соответствующих различным начальным состояниям реальной (например, физической) системы. В этом случае х(t) можно представить как кривую в пространстве всевозможных состояний (т. е. значений векторов х) и воспользоваться геометрическими свойствами этой кривой для понимания и описания свойств решения х(t). Такая кривая называется фазовой траекторией.

В 1-й трети 20 века теория динамической системы развивалась в работах ряда математиков. Наибольшее значение имели работы А. А. Андронова, который осознал и показал на важных примерах, что теория динамической системы эффективна для исследования нелинейных процессов в природе и в лаборатории. К этому времени стала понятна необходимость изучения нелинейных задач, так как линейный математический аппарат часто не в состоянии описать реальные процессы. Андронов описал автоколебания с помощью предельных циклов Пуанкаре и очертил контуры новой науки - нелинейной динамики. Вместе с Л. С. Понтрягиным он ввёл понятие грубой системы, нечувствительной к малым изменениям параметров. Такая система не меняет резко свойств при малых изменениях параметров, т. е. её состояния до и после изменения параметров топологически тождественны (эквивалентны). Грубые системы заполняют открытые области в функциональном пространстве всех динамических систем. Вне этих областей и, в частности, на их границах лежат негрубые системы. Проход через границу сопровождается бифуркацией - сменой структуры динамической системы. В семействе динамических систем, зависящих от параметра, зная структуру динамической системы при начальном значении параметра и все бифуркации, можно однозначно предсказать её структуру при конечном значении параметра.

Во 2-й половине 20 века Д. В. Аносов, В. И. Арнольд, Р. Боуэн, Р. Мане, Я. Г. Синай, С. Смейл, С. Хаяси, Л. П. Шильников и др. развили идеи Андронова и создали глубокую и стройную теорию динамической системы, которая даёт верные представления о природе детерминистских процессов и позволяет исследовать модели реальных систем.

Характеристики динамической системы. Определение динамической системы включает в себя пространство состояний {х} и зависящий от времени t оператор (закон) эволюции φ t , по которому система из начального состояния х 0 приходит в состояние x t в момент времени t. Состояние динамической системы описывают набором переменных х, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т. п. Множество состояний (фаз) динамической системы образует фазовое пространство, в котором каждому состоянию отвечает точка, а эволюция изображается движением точки по фазовой траектории - кривой, вложенной в фазовое пространство. Например, движение n частиц под действием сил притяжения описывается в фазовом пространстве множеством всех наборов координат и скоростей этих частиц, а оператор эволюции определяется решением соответствующей системы ОДУ.

Особенности эволюции системы проявляются в типе фазовых траекторий. В частности, состоянию равновесия динамической системы соответствует вырожденная траектория - точка в фазовом пространстве, периодическому движению - замкнутая кривая, квазипериодическому движению, имеющему в спектре m базовых частот, - кривая на m-мерном торе, вложенном в фазовое пространство. Стационарному режиму (установившемуся движению) диссипативной системы соответствует аттрактор - множество траекторий, притягивающих к себе все близкие траектории. Установившимся периодическим колебаниям соответствует предельный цикл - изолированная (в фазовом пространстве) замкнутая траектория; хаотическим автоколебаниям отвечает обычно странный аттрактор - притягивающее множество, состоящее из неустойчивых траекторий.

По характеру уравнений и методам исследований динамические системы делят на конечномерные (с конечномерным фазовым пространством) и бесконечномерные (распределённые). Конечномерные динамические системы можно подразделить на консервативные и диссипативные, что соответствует различной физической природе реальных систем. Консервативные динамические системы - это системы с сохраняющимся фазовым объёмом. Их образуют гамильтоновы системы с не зависящей от времени функцией Гамильтона. У диссипативных систем фазовый объём не сохраняется, в их фазовом пространстве существует ограниченная область (шар диссипации), в которую попадает навсегда точка на любой траектории.

Динамические системы можно также подразделить на системы с непрерывным и дискретным временем. Динамические системы с непрерывным временем задаётся обычно системой ОДУ х = f(х) (х - скалярная либо векторная величина, точкой обозначено дифференцирование по времени), в которой для каждой начальной точки х имеется единственное решение. Состояние равновесия х 0 такой динамической системы определяется из уравнения f(х 0) = 0. Поведение в окрестности состояния равновесия О зависит от свойств линеаризованной вблизи О системы, а именно от корней λ 1 , λ 2 ,.., λ n характеристического уравнения

где δ ij - символ Кронекера. Пусть Re λ j отрицательны для р и положительны для q корней, причём р + q = n. Если р = n (q = n), точка О называется устойчивым (неустойчивым) узлом. Близкие к этой точке в фазовом пространстве траектории притягиваются к ней в случае устойчивого узла, когда время t → +∞, а в случае неустойчивого узла - при t→ -∞. Если р≠0, q≠0, точка О называется седлом. Через неё проходят две поверхности: р-мерная W s O и q-мерная W u O , называемые устойчивым и неустойчивым многообразиями седла О, а также устойчивой и неустойчивой сепаратрисами. Эти поверхности образованы траекториями, стремящимися к О при t →+∞ и t → -∞ соответственно. Остальные траектории уходят из седла при t → ± ∞ (рис. 1).

Траектория, лежащая одновременно в W s O W u O (и не совпадающая с О), называется гомоклинической или петлёй сепаратрисы седла. В одномерных моделях непрерывной среды гомоклинической траектории отвечает стационарная бегущая волна в форме солитона.

Периодическое решение х = р(t) системы х = f(х) имеет следующее свойство: р(t) = р(t+Т) для любого t, где Т - период. Этому решению соответствует замкнутая траектория L в фазовом пространстве. Поведение траекторий в окрестности периодической траектории L характеризуется мультипликаторами γ 1 , ..., γ n , которые находятся с помощью решений линеаризованной на L системы. Один из них, например γ n , всегда равен 1. Если |γ i | < 1 (|γ i | > 1) для всех i = 1, 2, ..., n - 1, то траектория L устойчива (неустойчива). Если р мультипликаторов лежат внутри, а q - вне единичного круга в комплексной плоскости, р + q = n - 1, то L - траектория седлового типа. Она лежит в пересечении двух поверхностей: (р + 1)-мерной W s L и (q + 1)-мерной W u L (устойчивой и неустойчивой сепаратрис). Поверхность W s L (W u L) состоит из траекторий, стремящихся к L при t → +∞ (t →- ∞). При n = 3 и р = q=1 поверхность W s L (W u L) топологически эквивалентна цилиндру, если мультипликатор γ положителен и больше 1 (рисунок 2).

Поведение траекторий в окрестности L изучают, рассматривая их следы на (n - 1)-мерной поверхности D, пересекающей (без касания) L и близкие к ней траектории. Если точка m 0 на D достаточно близка к L, то траектория, проходящая через m 0 , пересекает D в другой точке m, называемой отображением последования (отображением Пуанкаре) (рис. 3).

Линеаризация отображения Пуанкаре в точке пересечения L с D описывается матрицей Якоби. Её собственные значения γ 1 , ..., γ n-1 являются мультипликаторами замкнутой траектории L.

Устойчивые и неустойчивые многообразия периодических траекторий могут пересекаться. Траектория, принадлежащая пересечению W s L и W u L и отличная от L, является гомоклинической. Если это пересечение происходит без касания, то в окрестности гомоклинической траектории имеется множество разнообразных неустойчивых траекторий, среди которых содержится бесконечное множество замкнутых траекторий седлового типа. Подобное множество траекторий типично для динамической системы с хаотической динамикой. Таким образом, наличие гомоклинической траектории может служить критерием существования хаотических режимов в динамической системе (смотри Динамический хаос).

Динамические системы с дискретным временем обычно задаются отображением G фазового пространства в себя: x n+1 = G(x n). Тогда эволюционный оператор φ t , t = m, - просто m раз применённое отображение G: φ n x=G(G(...G(x)...)). Например, простейшая модель динамики популяций описывает плотность числа членов (n + 1)-й генерации, х n+1 , как функцию числа х n предыдущей генерации: х n+1 = ах n - bх 2 n , а, b > 0 - параметры задачи. В зависимости от значений а и b эта динамическая система может демонстрировать либо регулярную (все аттракторы - периодические траектории), либо хаотическую динамику.

Отображение Пуанкаре фактически определяет систему с дискретным временем. Например, динамические системы, описывающие действие периодического возмущения на систему ОДУ, которые можно записать в виде х = f(х,θ), θ = ω, где f - периодическая по θ вектор-функция, всегда порождают отображение Пуанкаре. Для таких систем существует глобальная секущая поверхность Пуанкаре θ = 0, которую каждая траектория пересекает бесконечное число раз. Поведение траекторий в системе с непрерывным временем полностью определяется динамической системой с дискретным временем.

Важная часть теории динамической системы - эргодическая теория, которая описывает статистические свойства траекторий. Если они неустойчивы, точки на разных траекториях расходятся в процессе эволюции на существенное расстояние друг от друга, несмотря на близость начальных состояний, система демонстрирует «чувствительную зависимость» от начальных условий. (Заметим, что именно с неустойчивостью траекторий связана невозможность долгосрочного предсказания погоды.) Поскольку невозможно определить начальное состояние с бесконечной точностью (всегда существуют мельчайшие ошибки измерения или запоминания), необходимо изучать поведение не отдельных траекторий, а пучков траекторий, проходящих сквозь «пятно» начальных условий. Эти траектории могут обладать различными свойствами, и разнообразие этих свойств можно описать в терминах вероятностных распределений.

А. Пуанкаре первым высказал в качественной форме мысль, что при неустойчивости траекторий динамической системы речь может идти об их статистических свойствах такого же характера, какие к тому времени уже упоминались в работах Л. Больцмана и Дж. У. Гиббса по статистической механике. Подобные идеи были реализованы в эргодической теории и успешно осуществляют роль «моста» между детерминированным и случайным «мирами».

С помощью теории динамической системы изучены и объяснены многие нелинейные явления в природе и технике, такие как динамический хаос, синхронизация периодических и хаотических колебаний, образование диссипативных структур, пространственно-временной хаос в моделях распределённых систем, конкуренция мод в нейронных сетях мозга и т. д.

Лит.: Качественная теория динамических систем второго порядка. М., 1967; Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М., 1980; Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1985-1991. [Т. 1-9]: Динамические системы; Каток А., Хассельблатт Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., 1999.

В. С. Афраймович, М. И. Рабинович.

Вероятность – отношение числа возможных случаев, благоприятствующих данному событию, к числу всех возможных.

Случайность – событие, которое может с определенной долей вероятности произойти, или не произойти.
Статистическая закономерность – законы средних величин, действующие в области массовых явлений, либо при взаимодействии очень большого количества тел.
Среднее значение - числовая характеристика множества чисел или функций; - некоторое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из их значений .
Молекулярно-кинетическая теория – теория, основанная на представлении, что все тела состоят из атомов и молекул, находящихся в непрерывном движении и взаимодействии друг с другом.

Распределение (Максвелла) молекул по скоростям :

здесь - вероятность обнаружения молекулы в бесконечно малом прямоугольном параллелепипеде в пространстве скоростей, изображенном на рис. 2.3. Другими словами, это вероятность того, что молекула имеет проекцию скорости на ось х в интервале от v х до v х + dv х и в подобных же интервалах для значений v y и v z .

В распределении (2.12) А - константа, выражение для которой можно найти из условия нормировки:

Распределение (2.12а) принято называть распределением Максвелла по компонентам скоростей.

Статистическое описание состояния - основывается на применении законов теории вероятностей , а в качестве основной применяемой функции выступает функция распределения . При этом не требуется знания характера соударения микрочастиц, их начальных условий движения и точного решения уравнений динамики всех микрочастиц. В этом случае обычно ограничиваются нахождением функции распределения одной микрочастицы и считают, что функции распределения всех микрочастиц идентичны. Все наблюдаемые параметры макросистемы определяются путем нахождения средних значений динамических переменных микрочастиц.
Флуктуация - случайные отклонения от среднего значения физических величин, характеризующих систему из большого числа частиц; вызываются тепловым движением частиц или квантово механическими эффектами. Примером термодинамических флуктуаций являются флуктуации плотности вещества в окрестностях критических точек, приводящих, в частности, к сильному рассеянию света веществом и потери прозрачности.

Флуктуации, вызванные квантовомеханическими эффектами присутствуют даже при температуре абсолютного нуля. Они принципиально неустранимы.

Квантово механическое состояние - определяется значением энергии системы; минимальное значение энергии называется основное состояние.
Волновая функция – функция состояния системы, являющаяся решением уравнения Шредингера; физического смысла не имеет.
Статистический характер квантового описания природы - в классической механике заданием состояния, в котором находится данная система, однозначно определяются значения всех связанных с нею механических величин, ибо всякая такая величина представляется как функция гамильтоновых переменных, задание значений которых и равносильно заданию состояния системы. В квантовой механике заданием состояния системы механические величины определяются лишь как случайные величины; задание состояния системы определяет собою не значения, а законы распределения связанных с нею механических величин. Эта принципиально статистическая черта квантовой механики.
Динамическая теория – теория изучения сложных динамических систем, которые проявляют признаки хаотического поведения.
Статистическая теория - предсказывает только вероятности разных результатов измерений и ничего не знает о том, как все происходило на самом деле.
Фундаментальная теория - в современной физике имеют дело не с разрозненной совокупностью множества не связанных или почти не связанных друг с другом законов, а с немногим числом фундаментальных законов или фундаментальных физических теорий, охватывающих огромные области явлений. В этих теориях в наиболее полной и общей форме отражаются объективные процессы в природе.
Примеры фундаментальных динамических теорий: механика, электродинамика, термодинамика, теория относительности, эволюционная теория Ламарка, теория химического строения, молекулярно-кинетическая теория, квантовая механика и другие
квантовые теории, эволюционная теория Дарвина, молекулярная генетика.
Принцип соответствия: статистические и динамические теории – каждая более глубокая теория содержит, при некотором предельном переходе, ранее ей предшествующую, не столь глубокую (например, теория относительности Эйнштейна при малых скоростях переходит в классическую механику Ньютона).
Динамические теории как приближение и упрощение более точных статистических теорий - динамические законы отображают объективные закономерности в форме однозначной количественной связи физических величин, характеризующих причины, условия и следствия.Статистические закономерности обеспечивают более общее описание природы, диалектично отражая роль необходимого и случайного в природе, поэтому динамические законы можно рассматривать как упрощение, первое приближение к анализу различных процессов.

Тема 4.03. Корпускулярно-волновой дуализм. Соотношения
неопределенностей

Волновые свойства света:

Интерференция – явление наложения в пространстве однонаправленных когерентных волн, при котором в одних точках пространства волны гасят друг друга, в других – усиливают;

Дифракция – свойство волн огибать препятствия (заходить в область геометрической тени);

Поляризация - выделение некоторого преимущественного направления колебаний в бегущей волне. Такая волна называется поляризованной. Если это световая волна, то при поляризации вектор напряженности электрического поля Е в ней колеблется по определенному закону. Если он колеблется вдоль плоскости проходящей через луч, то такая волна называется плоско или линейно поляризованной .
Корпускулярные свойства света:

Фотоэффект – явление выбивания электронов с поверхности металла при падении на эту поверхность света (внешний фотоэффект). Различают еще и внутренний фотоэффект – это повышение электропроводности полупроводников при падении на них света.
Корпускулярно-волновой дуализм как всеобщее свойство материи - для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна - частица.Корпускулярно-волновой дуализм в современной физике стал всеобщим. Любой материальный объект характеризуется наличием как корпускулярных, так и волновых свойств.
Де Бройль: общая идея и формула связи между импульсом частицы и ее
длиной волны - де Бройль утверждал, что волновые свойства, наряду с корпускулярными, присущи всем видам материи: электронам, протонам, атомам, молекулам и даже макроскопическим тела, и предложил формулу для длины волны тела массы m: λ = h/mv, где h – постоянная Планка, m – масса тела, v – скорость тела.

Волновые свойства частиц. Дифракция электронов. Электронный микроскоп: Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связаны, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс p, а с другой стороны, волновые характеристики – частота ν и длина волны λ.

Корпускулярные и волновые характеристики микрообъектов связаны такими же количественными соотношениями, как и у фотона:

английский физик Дж. Томсон (сын Дж. Томсона, открывшего за 30 лет до этого электрон) получил новое подтверждение гипотезы де Бройля. В своих экспериментах Томсон наблюдал дифракционную картину, возникающую при прохождении пучка электронов через тонкую поликристаллическую фольгу из золота. При взаимодействии электронов с такими структурами возникает рассеяние электронов в преимущественных направлениях в соответствии с предсказываемыми теорией соотношениями. Регистрируя рассеянные электроны (например, фотографируя их), можно получать информацию об атомной структуре вещества. Это явление используется в электронных микроскопах.
Мысленный эксперимент - «микроскоп Гейзенберга» - с точки зрения Гейзенберга, чем больше будет уточнено определение положения, тем хуже будет определено состояние движения. Обратно, чем лучше определено состояние движения частицы, тем ближе будет сопряженная волна к плоской монохроматической волне с постоянной амплитудой. Следовательно, чем точнее будет определено состояние движения, тем с меньшей уверенностью может оценить положение частицы.
Соотношение неопределенностей координата-импульс (скорость) – чем точнее определен импульс частицы, тем большая неопределенность в ее координате и наоборот.
Соотношение неопределенностей энергия-время – чем точнее необходимо измерить энергию частицы, тем больший промежуток времени на это потребуется и наоборот, чем меньше времени затрачено на измерение, тем большая неопределенность в определении энергии частицы.
Соотношения неопределенностей как следствие невозможности
невозмущающих измерений - длительность измерения Т не должна, очевидно, превышать время жизни Δt микрообъекта на данном уровне: Т < Δt.
Соотношения неопределенностей как результат квантовых флуктуаций - флуктуации, вызванные квантовомеханическими эффектами присутствуют даже при температуре абсолютного нуля. Они принципиально неустранимы. Непосредственно наблюдаемы квантовомеханические флуктуации для заряда, прошедшего через квантовый точечный контакт - квантовый дробовой шум.
Экспериментальные доказательства сложной структуры вакуума: эффект
Казимира, рождение электрон-позитронных пар в электрическом поле - Что произойдет если Вы возьмете два зеркала и установите их зеркальными сторонами друг к другу в пустом пространстве? Зеркала притягиваются друг к другу из-за того, что между ними находится вакуум. Это явление было впервые предсказано немецким физиком-теоретиком Генрихом Казимиром в 1948 году, когда он работал в исследовательском центре Philips Research Laboratories в Эйндховене (Eindhoven) над коллоидными растворами. Это явление получило название эффекта Казимира, а сила, возникающая между зеркалами - сила Казимира. Законом сохранения импульса запрещено рождение в вакууме реальной электрон-позитронной пары (или пары любых других массивных частиц) одним фотоном, поскольку единичный фотон в любой системе отсчёта несёт конечный импульс, а электрон-позитронная пара в своей системе центра масс обладает нулевым импульсом. Однако виртуальные пары любых частиц могут появляться и в таком процессе; в частности, именно рождение виртуальных пар в вакууме обуславливает такие эффекты, как поляризация вакуума, лэмбовский сдвиг уровней или излучение Хокина. В ускоренной системе отсчёта виртуальная пара может обратиться в реальную.

Тема 4.04. Принцип дополнительности
Корпускулярно-волновой дуализм – наличие корпукулярных свойств у физических полей и волновых свойств у элементарных частиц.

Принцип дополнительности в квантовой механике – при измерении могут быть установлены, с точностью, допускаемой принципом (соотношением неопределенности Гейзенберга), либо энергия и импульс микрообъекта, либо его пространственные координаты и время (пространственно – временное поведение системы).

Измерение в квантовой механике как результат взаимодействия микрообъекта с макроприбором - невозможность установления твердых границ между объектом и прибором лишает смысла классическое представление об абсолютно фиксированном различии между прибором и объектом.

Невозможность невозмущающих измерений - Квантовый микрообъект проявляется при взаимодействии с классическим прибором. Результат такого взаимодействия - экспериментальные данные, которые объясняются на основе тех или иных теоретических предпосылок и на базе которых, в свою очередь, делаются косвенные заключения о свойствах объекта, уже предсказанных теорией. И так как свойства микрообъекта обнаруживаются через взаимодействие его с классическим прибором, то их проявление обусловливается устройством прибора и создаваемыми внешними условиями
Неотделимость наблюдателя от наблюдаемого объекта - наблюдатель получает информацию не только о физическом объекте как таковом, но одновременно и о влиянии наблюдательного средства на этот объект в процессе измерения.

Возможные значения физических величин: дискретный и непрерывный спектр - в квантовой механике подавляющее число физических величин могут иметь неопpеделенное численное значение. Пеpвое, что необходимо установить, это спектpвозможных значений неопpеделенной величины (он иногда может быть непpеpывным , иногда - дискpетным ). Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения). Способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически применим только для дискретных случайных величин

Физические величины, имеющие и не имеющие определенное значение в данном состоянии -
в квантовой механике разделяют уровень наблюдаемых фактов (результатов измерений и реальных экспериментов) и уровень мысленных экспериментов, которые хотя и не выдают численные значения физических величин, но позволяют понять, что происходит на "самом деле".Для каждого из уровней используются соответствующие физические величины.
Принцип дополнительности в широком смысле как необходимость несовместимых, но взаимодополняющих точек зрения для полного понимания предмета или процесса

Вхождение субъекта в квантовую реальность приводит к распаду физической картины микромира на взаимоисключающие, волновые и корпускулярные стороны. Так как эти описания относятся к одной реальности и реализуют различные свойства одного и того же объекта, то необходимо введение принципа дополнительности, чтобы рассматривать несовместимые стороны как дополняющие друг друга в описании одного и того же бытия.

Тема 4.05. Принцип возрастания энтропии

Формы энергии: тепловая, химическая, механическая, электрическая. Энергия – наиболее общая единая мера всех форм движения и взаимодействия материи. Химическая энергия – энергия, выделяющаяся или поглощающаяся в химических реакциях в результате восстановления или разрушения химических связей между атомами и молекулами. Тепловая энергия – энергия хаотического (поступательного, вращательного, колебательного) движения молекул. Механическая энергия – сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы тел. Электрическая энергия – энергия, заключенная в электрическом и магнитном полях, эта энергия переносится в пространстве магнитными волнами.

Первый закон термодинамики - закон сохранения энергии при ее превращениях, или первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщенное системераспределяется на увеличение внутренней энергии системы и на совершение работы силами, приложенными со стороны системы к внешним телам.

Замкнутая (изолированная) система и незамкнутая (открытая) система - система, не обменивающаяся с окружающей средой энергией, материей, импульсом, моментом импульса и информацией.
Термодинамическое равновесие. Система в состоянии равновесия характеризуется тем, что в ней не происходит никаких термодинамических процессов, отдельные макроскопические части системы покоятся друг относительно друга, а макроскопические параметры системы (температура, давление) одинаковы для всех частей системы. Достигнув этого состояния, система не может без внешнего воздействия выйти из него.

Второй закон термодинамики как принцип возрастания энтропии в замкнутых системах. В формулировке немецкого физика Клаузиуса (1822 – 1888 г.г.) энтропия замкнутой (изолированной) системы возрастает и достигает максимума в состоянии термодинамического равновесия.

Энтропия как физический индикатор направления времени. Энтропия есть функция состояния системы. Любая изолированная система изменяется в направлении «забывания» начальных условий и перехода в макроскопическое состояние, характеризующимся большими хаосом и симметрией, что соответствует возрастанию энтропии. Таким образом, возрастание энтропии есть некая «стрела времени»: для изолированной системы будущее всегда расположено в направлении возрастания энтропии.

Обратимые и необратимые процессы. Обратимым называется процесс, который может идти как в прямом, так и в обратном направлениях, причем по возвращении системы в исходное состояние не происходит никаких изменений. Любой другой процесс – необратимый. В механистической картине мира рассматриваются только обратимые процессы. Реальные самопроизвольные процессы всегда необратимы.

Энтропия как измеряемая физическая величина (приведенная теплота). Энтропия как функция состояния системы может быть рассчитана как интеграл т своего бесконечно малого приращения, определяемого отношением бесконечно малого количества тепла, полученного или отданного системой при данной температуре к этой температуре (приведенная теплота).

Изменение энтропии тел при теплообмене между ними. Второй закон термодинамики как принцип направленности теплообмена (от горячего к холодному). Согласно Клаузиусу невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому: это означает, что возможны самопроизвольные процессы, протекающие только в одном направлении – передача тепла от более горячих тел к менее горячим, что сопровождается возрастанием энтропии.

Качество (ценность) энергии. Высококачественные формы энергии: механическая, электрическая. Низкокачественная форма энергии: теплота. Качество (ценность энергии) определяется возможностью превращения ее в механическую работу. Так, например, при падении на землю тела, обладавшего кинетической и потенциальной, т.е. механической энергией, выделится тепло, которое не может превратиться вновь в механическую энергию, поэтому тепло рассматривается как энергия более низкого качества, чем энергия механическая, химическая или электрическая.

Понижение качества тепловой энергии с понижением температуры. Поскольку самопроизвольно энергия передается только от тела более нагретого (нагревателя) к менее нагретому (холодильнику), возможность совершения механической работы в этом процессе тем больше, чем выше температура нагревателя по отношению к температуре холодильника, в связи с чем качество тепловой энергии более горячего нагревателя выше, чем у менее горячего.

Энтропия как мера некачественности энергии. Всякое упорядоченное движение и связанная с ним энергия более качественна, чем неупорядоченная энергия, например, энергия теплового хаотического движения молекул. Поскольку энтропия есть мера хаоса, т.е. беспорядка в системе, а ее увеличение соответствует росту этого беспорядка, можно сказать, что энтропия есть мера некачественности энергии.

Второй закон термодинамики как принцип неизбежного понижения качества энергии. Увеличение беспорядка, т.е. возрастание энтропии в изолированных системах, неизбежное в соответствии со вторым началом термодинамики, есть принцип неизбежного понижения качества энергии. В изолированных системах происходит своего рода обесценивание энергии: все виды энергии в конечном счете превращаются в тепловую энергию, которая сама по себе не может не может превратиться в механическую энергию.

Энтропия как мера молекулярного беспорядка. Благодаря работам великого австрийского физика Больцмана понятие энтропии удалось свести с макроскопического на микроскопический уровень. По Больцману энтропия пропорциональна логарифму термодинамической вероятности, которая определяется как число микросостояний системы, которыми реализуется данное макросостояние системы. Очевидно, что чем больше упорядоченность в распределении элементов, образующих систему, тем меньшим числом микросостояний может быть реализовано данное макростостояние. Например, равномерному распределению молекул газа в объеме соответствует максимальное число возможных комбинаций, т.е перестановок этих молекул, не изменяющих равномерности их распределения.

Статистическая природа второго начала термодинамики. В соответствии с определением энтропии по Больцману второе начало термодинамики можно сформулировать следующим образом: энтропия изолированной системы при протекании необратимых процессов возрастает, ибо система, предоставленная самой себе, переходит из менее вероятного состояния в более вероятное. Энтропия системы в состоянии равновесия максимально и постоянно.

Второй закон термодинамики как принцип нарастания беспорядка и разрушения структур. Разрушение существующих структур – одна из форм нарастания беспорядка в системе, т.е. проявление принципа нарастания беспорядка.

Энтропия как мера отсутствия информации. Обмен информацией (в самом широком смысле – сведениями, передаваемыми от одних объектов к другим) современной наукой рассматривается как одно из условий открытости сложных систем. В отсутствие информации извне управление системой, что тождественно поддержанию или усилению порядка в системе, невозможно, поэтому отсутствие или дефицит информации приводит к возрастанию энтропии в системе.

Основной парадокс эволюционной картины мира: закономерность эволюции на фоне всеобщего роста энтропии. Энтропия открытой системы: производство энтропии в системе, входящий и выходящий потоки энтропии. Термодинамика жизни: добывание упорядоченности из окружающей среды. Термодинамика Земли как открытой системы. Рассматривая Землю как изолированную систему, что изначально неверно, можно предположить, что в этой системе возможны только процессы деградации, застоя и нарастания хаоса. В тоже время, очевидны процессы эволюции живой природы, а также прогресс цивилизации. Разрешение этого парадокса следует из рассмотрения земной системы как системы сложной, состоящей из отдельных, но взаимодействующих подсистем: живая природа – неживая природа, человек – окружающая среда и т.п. В такой сложной системе уменьшение энтропии, т.е. беспорядка в одной подсистеме может происходить за счет увеличения энтропии в другой подсистеме. Вся картина усложняется при учете того обстоятельства, что человек, природа, вся планета Земля являются частью космоса и в этом смысле Земля – открытая система, все взаимодействия которой с внешним миром еще не полностью изучены.