- критерий минимакса, критерий максимакса, критерий Байеса, критерий Вальда, критерий Сэвиджа , критерий Лапласа, критерий Ходжа-Лемана см. Типовые задания ;
- критерий Гурвица, обобщенный критерий Гурвица с расчетом эффективности.
Инструкция . Для выбора оптимальной стратегии в онлайн режиме необходимо задать размерность матрицы. Затем в новом диалоговом окне выбрать необходимые критерии и коэффициенты. Также можно вставить данные из Excel .
Примечание : Сначала, если возможно, упрощают матрицу, вычеркивая невыгодные стратегии A. Стратегии природы вычеркивать нельзя, т. к. каждое из состояний природы может наступить случайным образом, независимо от действий A .Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под "природой" понимается совокупность неопределенных факторов; влияющих на эффективность принимаемых решений. Безразличие природы к игре (выигрышу) к возможность получения экономистом (статистиком) дополнительной информации о ее состоянии отличают игру экономиста с природой от обычной матричной игры, в которой принимают участие два сознательных игрока.
Пример . Предприятие может выпускать 3 вида продукции А 1 , А 2 и А 3 , получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из 4-х состояний (В 1 , В 2 , В 3 , В 4). Элементы платежной матрицы характеризуют прибыль, которую получат при выпуске i-й продукции при j-м состоянии спроса. Игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей:
|
|
В 1 |
В 2 |
В 3 |
В 4 |
|
А 1 |
2 |
7 |
8 |
6 |
|
А 2 |
2 |
8 |
7 |
3 |
|
А 3 |
4 |
3 |
4 |
2 |
Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие максимизацию средней величины прибыли при любом состоянии спроса, считая его определенным. Задача сводится к игровой модели, в которой.
Решение.
Критерий максимакса
.
Выбираем из (8; 8; 4) максимальный элемент max=8
Критерий Лапласа .
Выбираем из (5.75; 5; 3.25) максимальный элемент max=5.75
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Вальда .
Выбираем из (2; 2; 2) максимальный элемент max=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Севиджа
.
Находим матрицу рисков.
Риск
- мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j = max(a ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r 11 = 4 - 2 = 2; r 21 = 4 - 2 = 2; r 31 = 4 - 4 = 0;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r 12 = 8 - 7 = 1; r 22 = 8 - 8 = 0; r 32 = 8 - 3 = 5;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r 13 = 8 - 8 = 0; r 23 = 8 - 7 = 1; r 33 = 8 - 4 = 4;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r 14 = 6 - 6 = 0; r 24 = 6 - 3 = 3; r 34 = 6 - 2 = 4;
Результаты вычислений оформим в виде таблицы.
Выбираем из (2; 3; 5) минимальный элемент min=2
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A 1 .
Если при принятии решения ОПР известны вероятности Рj состояний Пj, то будем считать, что рассматривается ситуация в условиях частичной неопределенности.
Игрок принимает i-то решение (использовать стратегию Аi) в условиях частичной неопределенности. Он ожидает получить доход aij при реализации состояния Пj, который является случайной величиной Qi с рядом распределения, представленных в табл. 3.9.
Таблица 3.9. Ряд распределения случайной величины Qi
В этом случае для принятия решения можно использовать один из следующих критериев.
Критерий Байеса
Это критерий максимизации среднего ожидаемого дохода. Критерий Байеса называется также критерию максимума среднего выигрыша.
Как известно, математическое ожидание М (Qi) случайной величины Qi представляет собой средний ожидаемый доход, который сказывается также Qi можно найти по формуле (3.21):
Для каждой стратегии Аi (i-го варианта решения) следует рассчитать средний ожидаемый доход (математическое ожидание) по формуле (3.21), и в соответствии с критерием Байеса следует выбирать вариант (стратегию Аi), для которого достигается наибольшее значение:
Критерий Байеса используют в ситуации, в которой принимается решение, задовальняе следующим условиям:
вероятность появления состояния Пj известна и не зависит от времени; принято решение теоретически допускает бесконечную большое количество реализаций;
допускается некоторый риск при малых числах реализаций.
варианте решения достигается наибольший средний доход и какова величина этого дохода.
Решение. Запишем матрицу выигрышей с дополнительным строкой с вероятностями состояний Пj в виде таблицы 3.10.
Таблица 3.10. Матрица выигрышей игры
Найдем для каждой стратегии Аi средний ожидаемый доход по формуле (3.21):
При применении стратегии Аи ОПР может получить доход, который отличается от максимального, что и принимается за величину риска. Риск случайной величиной Ri с рядом распределения, который приведен в табл. 3.11.
Таблица 3.11. Ряд распределения случайной величины Ri
Для каждой стратегии Аi (i-го варианта решения) следует рассчитать средний ожидаемый риск (математическое ожидание) по формуле (3.23), и в соответствии с критерием Байеса следует выбирать вариант, для которого достигается наименьшее значение:
В этом случае критерий Байеса выступает как критерий минимизации среднего ожидаемого риска. Критерий Байеса можно назвать как критерий минимума среднего проигрыша.
Пример 3.9. Для выходных данных примера 3.8 на основе матрицы рисков по критерию Байеса выяснить, при каком варианте решения достигается наименьший средний риск и какова величина этого риска.
Разгрузка Обязательства. Запишем матрицу рисков игры с дополнительным строкой с вероятностями состояний Пи в виде таблицы 3.12.
Таблица 3.12. Матрица рисков игры
Найдем для каждой стратегии Аi средний ожидаемый риск по формуле (3.23):
Критерий Бернулли-Лапласа
Критерий Бернулли-Лапласа используют в случае, когда можно предположить, что любой из вариантов среды не более вероятен, чем другой. Здесь предполагается, что все состояния среды (все варианты реальной ситуации) равновероятны.
Для каждой стратегии Аи (и го варианта решения) следует рассчитать средний ожидаемый доход (математическое ожидание) по формуле (3.25), и в соответствии с критерием Бернулли-Лапласа следует выбирать вариант (стратегию Аi), для которого достигается наибольшее значение:
Пример 3.10. Пусть для игры, которую задано матрицей выигрышей в примере 3.2, ОПР считает ровно вероятными все состояние природы
выяснить при каком варианте решения достигается наибольший средний доход и какова величина этого дохода.
Решение. Запишем матрицу выигрышей с дополнительным строкой с вероятностями состояний Пj в виде таблицы 3.13.
Таблица 3.13
Найдем для каждой стратегии Аi средний ожидаемый доход по формуле (3.25):
Рассмотрим риск как случайную величину Ri с рядом распределения, который приведен в табл. 3.14.
Таблица 3.14. Ряд распределения случайной величины Ri
Математическое ожидание М (Ri) случайной величины Ri представляет собой средний ожидаемый риск, что вычисляется по формуле (3.27)
Для каждой стратегии Аi (i-го варианта решения) следует рассчитать средний ожидаемый риск (математическое ожидание) по формуле (3.27), и в соответствии с критерием Бернулли-Лапласа следует выбирать стратегию (вариант), для которой достигается наименьшее значение:
Пример 3.11. Для выходных данных примера 3.10 на основе матрицы рисков по критерию Бернулли-Лапласа выяснить, при каком варианте решения достигается наименьший средний риск и какова величина этого риска.
Решение. Запишем матрицу рисков игры с дополнительным строкой с вероятностями состояний Пj в виде таблицы 3.15.
Таблица 3.15. Матрица рисков игры
Найдем для каждой стратегии Аi средний ожидаемый риск по формуле (3.27):
Следует отметить, что критерий Бернулли-Лапласа непосредственно не относится к случаю частичной неопределенности, и его применяют в условиях полной неопределенности.
Краткая теория
Любую хозяйственную деятельность человека можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под природой будем понимать совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.
Управление любым объектом осуществляется путем принятия последовательности управленческих решений. Для принятия решения необходима информация (совокупность сведений о состоянии объекта управления и условиях его работы). В тех случаях когда отсутствует достаточно полная информация, возникает неопределенность в принятии решения. Причины этого могут быть различны: требующаяся для полного обоснования решения информация принципиально не может быть получена (неустранимая неопределенность); информация не может быть получена своевременно, к моменту принятия решения; затраты, связанные с получением информации, слишком высоки. По мере совершенствования средств сбора, передачи и обработки информации неопределенность управленческих решении будет уменьшаться. К этому нужно стремиться. Существование неустранимой неопределенности связано со случайным характером многих явлений. Например, в торговле, случайный характер изменения спроса делает невозможным его точное прогнозирование, a, следовательно, и формирование идеально точного заказа на поставку товара. Принятие решения в этом случае связано с риском. Приемка партии товара на основании выборочного контроля также связана с риском принятия решения в условиях неопределенности. Неопределенность может быть снята путем полного контроля всей партии, однако это может оказаться слишком дорогостоящим мероприятием. В сельском хозяйстве, например, с целью получения урожая человек предпринимает ряд действии (пашет землю, вносит удобрения, борется с сорняками и т. п.). Окончательный результат (урожай) зависит от действий не только человека, но и природы (дождь, засуха, вечер и т. п.). Из приведенных примеров видно, что полностью исключить неопределенность в управлении экономической системой нельзя, хотя, повторим, к этому нужно стремиться. В каждом конкретном случае следует принимать во внимание степень риска при принятии управленческих решений, по возможности максимально учитывать имеющуюся информацию с целью уменьшения неблагоприятных последствий, которые могут возникнуть из-за ошибочных решений.
Две стороны, участвующие в игре, будем называть игрок I и игрок II. Каждый из игроков располагает конечным набором действий (чистых стратегий), которые он может применять в процессе игры. Игра имеет повторяющийся, циклический характер. о каждом цикле игроки выбирают одну из своих стратегии, что однозначно определяет платеж . Интересы игроков противоположны. Игрок I старается вести игру так, чтобы платежи были как можно большими. Для игрока II желательны как можно меньшие значения платежей (с учетом знака). Причем в каждом цикле выигрыш одного из игроков в точности совпадает с проигрышем другого. Игры такого типа называются играми с нулевой суммой.
Решить игру - значит определить оптимальное поведение игроков. Решение игр является предметом теории игр. Оптимальное поведение игрока инвариантно относительно изменения всех элементов платежной матрицы на некоторую величину.
В общем случае определение оптимального поведения игроков связано с решением двойственной пары задач линейного программирования. В отдельных случаях могут быть использованы более простые методы. Часто платежную матрицу удается упростить путем удаления из нее строк и столбцов, соответствующих доминируемым стратегиям игроков, доминируемой называется стратегия, все платежи которой не лучше соответствующих платежей некоторой другой стратегии и хотя бы один из платежей хуже соответствующего платежа этой другой стратегии, называемой доминирующей.
В обычной стратегической игре принимают участие «разумные и антагонистические» противники (противоборствующие стороны). В таких играх каждая из сторон предпринимает именно те действия, которые наиболее выгодны ей и менее выгодны противнику. Однако очень часто неопределенность, сопровождающая некоторую операцию, не связана с сознательным противодействием противника, а зависит от некой, не известной игроку I объективной действительности (природы). Такого рода ситуации принято называть играми с природой. Игрок II - природа - в теории статистических игр не является разумным игроком, так как рассматривается как некая незаинтересованная инстанция, которая не выбирает для себя оптимальных стратегий. Возможные состояния природы (ее стратегии) реализуются случайным образом. В исследовании операций оперирующую сторону (игрока I) часто называют статистиком, а сами операции - играми статистика с природой или статистическими играми.
Рассмотрим игровую постановку задачи принятия решения в условиях неопределенности. Пусть оперирующей стороне необходимо выполнить операцию в недостаточно известной обстановке относительно состояний которой можно сделать предположений. Эти предположения будем рассматривать как стратегии природы. Оперирующая сторона в своем распоряжении имеет возможных стратегий - . Выигрыши игрока I при каждой паре стратегий и - предполагаются известными и заданы платежной матрицей .
Задача заключается в определении такой стратегии (чистой или смешанной), которая лри ее применении обеспечила бы оперирующей стороне наибольший выигрыш.
Выше уже говорилось, что хозяйственная деятельность человека может рассматриваться как игра с природой. Основной особенностью природы как игрока является ее не заинтересованность в выигрыше.
Анализ матрицы выигрышей игры с природой начинается с выявления и отбрасывания дублирующих и заведомо невыгодных стратегий лица, играющего с природой. Что касается стратегий природы, то ни одну из них отбросить нельзя, так как каждое из состояний природы может наступить случайным образом, независимо от действий игрока I. Ввиду того что природа не противодействует игроку I, может показаться, что игра с природой проще стратегической игры. На самом деле это не так. Противоположность интересов игроков в стратегической игре в некотором смысле как бы снимает неопределенность, чего нельзя сказать о статистической игре. Оперирующей стороне в игре с природой легче в том отношении, что она скорее.всего выиграет больше, чем в игре против сознательного противника. Однако ей труднее принять обоснованное решение, так как в игре с природой неопределенность ситуации сказывается в гораздо более сильной степени.
После упрощения платежной матрицы игры с природой целесообразно не только оценить выигрыш при той или иной игровой ситуации, но и определить разность между максимально возможным выигрышем при данном состоянии природы и выигрышем, который будет получен при применении стратегии в тех же условиях. Эта разность в теории игр называется риском.
Природа меняет состояние стихийно, совершенно не заботясь о результате игры. В антагонистической игре мы предполагали, что игроки пользуются оптимальными (в определенном выше смысле) смешанными стратегиями. Можно предположить, что природа применяет наверняка не оптимальную стратегию. Тогда какую? Если бы существовал ответ на этот вопрос, то принятие решения лицом, принимающим решения (ЛПР) сводилось бы к детерминированной задаче.
Если вероятности состояний природы известны, то пользуются критерием Байеса, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш:
Критерий Байеса предполагает, что нам хотя и неизвестны условиях выполнения операций (состояния природы) , но известны их вероятности .
С помощью такого приема задача о выборе решения в условиях неопределенности превращается в задачу о выборе решения в условиях определенности, только принятое решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.
Если игроку представляются в равной мере правдоподобными все состояния природы, то иногда полагают и, учитывая, «принцип недостаточного основания» Лапласа, оптимальной считают чистую стратегию , обеспечивающую:
Если же смешанная стратегия природы неизвестна, то в зависимости от гипотезы о поведении природы можно предложить ряд подходов для обоснования выбора решения ЛПР. Свою оценку характера поведения природы будем характеризовать числом , которое можно связывать со степенью активного «противодействия» природы как игрока Значение соответствует наиболее пессимистичному отношению ЛПР в смысле «содействия» природы в достижении им наилучших хозяйственных результатов. Значение соответствует наибольшему оптимизму ЛПР. Как известно, в хозяйственной деятельности указанные крайности опасны. Скорее всего, целесообразно исходить из некоторого промежуточного значения . В этом случае используется критерий Гурвица, согласно которому наилучшим решением ЛПР является чистая стратегия , соответствующая условию:
Критерий Гурвица (критерий «оптимизма-пессимизма») позволяет руководствоваться при выборе рискового решения в условиях неопределенности некоторым средним результатом эффективности, находящимся в поле между значениями по критериям «максимакса» и «максимина» (поле между этими значениями связано посредством выпуклой линейной функции).
В случае крайнего пессимизма ЛПР указанный критерий называется критерием Вальда. Согласно этому критерию, наилучшей считается максиминная стратегия. Это критерий крайнего пессимизма. По этому критерию ЛПР выбирает ту стратегию, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш:
Такой выбор соответствует наиболее робкому поведению ЛПР, когда он предполагает наиболее, неблагоприятное поведение природы, боится больших потерь. Можно предположить, что он не получит больших выигрышей. Согласно критерию Сэвиджа, следует выбирать чистую стратегию соответствующую условию:
где риск .
Критерий Сэвиджа (критерий потерь от «минимакса») предполагает, что из всех возможных вариантов «матрицы решений» выбирается та альтернатива, которая минимизирует размеры максимальных потерь по каждому из возможных решений. При использовании этого критерия «матрица решения» преобразуется в «матрицу риска», в которой вместо значений эффективности проставляются размеры потерь при различных вариантах развития событий.
Недостатком критериев Вальда, Сэвиджа и Гурвица является субъективная оценка поведения природы. Хотя указанные критерии и дают некоторую логическую схему принятия решений, резонно все же задать вопрос: «А почему сразу не выбрать субъективное решение, вместо того чтобы иметь дело с разными критериями?» Несомненно, определение решения по различным критериям помогает ЛПР оценить принимаемое решение с различных позиций и избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.
Пример решения задачи
Условие задачи
После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:
- требуется профилактический ремонт;
- требуется замена отдельных деталей и узлов;
- требуется капитальный ремонт.
В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
Требуется найти оптимальное решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:
| a | 4 | 6 | 9 | b | 5 | 3 | 7 | c | 20 | 15 | 6 | q | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Решение задачи
Если возникли сложности с решением задач, то сайт сайт оказывает онлайн помощь студентам по методам оптимальных решений с контрольными или экзаменами.
Игра парная, статистическая. В игре участвуют 2 игрока: руководство предприятия и природа.
Под природой в данном случае понимаем совокупность внешних факторов, которые определяют состояние оборудования.
Стратегия руководства:
Отремонтировать оборудование своими силами
Вызвать бригаду специалистов
Заменить оборудование новым
Стратегия природы - 3 возможных состояния оборудования.
Требуется профилактический ремонт;
Следует заменить отдельные детали и узлы;
Требуется капитальный ремонт.
Расчет платежной матрицы и матрицы рисков
Поскольку элементы матрицы - затраты, то будем считать их выигрышными но со знаком минус. Платежная матрица:
| -4 | -6 | -9 | -9 | -5 | -3 | -7 | -7 | -20 | -15 | -6 | -20 | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Составляем матрицу рисков:
| -4-(-20)=16 | -6-(-15)=9 | -9-(-9)=0 | 16 | -5-(-20)=15 | -3-(-15)=12 | -7-(-9)=2 | 15 | -20-(-20)=0 | -15-(-15)=0 | -6-(-9)=3 | 3 |
Критерий Байеса
Определяем средние выигрыши:
По критерию Байеса оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов
Критерий Лапласа
Определим средние выигрыши:
По критерию Лапласа оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов
Критерий Вальда
По критерию Вальда оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов
Критерий Сэвиджа
По критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия - заменить оборудование новым
Критерий Гурвица
По критерию Гурвица оптимальной является стратегия - вызвать бригаду специалистов
Ответ
По всем критериям, за исключением критерия Сэвиджа, оптимальной является стратегия «Вызвать бригаду специалистов». По критерию Сэвиджа, который минимизирует риски, оптимальной является стратегия «Заменить оборудование новым».
Содержит изложенные в краткой и доступной форме теоретические сведения о матричной игре без седловой точки и способе сведения такой задачи к задаче линейного программирования, для отыскания ее решения в смешанных стратегиях. Приведен пример решения задачи.
Многоканальная СМО с неограниченной очередью
Приведены необходимые теоретические сведения и образец решения задачи по теме "Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью", подробно рассмотрены показатели многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с ожиданием обслуживания - среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки, длина очереди, вероятность образования очереди, вероятность свободного состояния системы, среднее время ожидания в очереди.
Критический путь, критическое время и другие параметры сетевого графика работ
На примере решения задачи рассмотрены вопросы построения сетевого графика работ, нахождение критического пути и критического времени. Также показано вычисление параметров и резервов событий и работ - ранних и поздних сроков, общих (полных) и частных резервов.
Критерий Байеса - правило, в соответствии с которым стратегия решений выбирается таким образом, чтобы обеспечить минимум среднего риска. Применение критерия Байеса целесообразно в случае, когда система распознавания многократно осуществляет распознавание неизвестных объектов или явлений в условиях неизменного признакового пространства, при стабильном описании классов и неизменной платежной матрице.
Минимум риска, усредненного по множеству решений задачи распознавания неизвестных объектов, обеспечивается тогда, когда решения о принадлежности объектов классу Ω 1 и Ω 2 принимаются в соответствии со следующим правилом: если измеренное значение признака у данного объекта расположено в области R 1 то объект относится к классу Ω 1 если в области R 2 - к классу Ω 2
Стратегию, основанную на этом правиле, называют байесовской стратегией, а минимальный средний риск - байесовским риском.
Использование другой стратегии, отличной от байесовской, сопряжено с увеличением среднего риска. Пусть, например, используется некоторая стратегия А, в соответствии с которой решение о принадлежности объекта классу Ω 1 принимается тогда, когда измеренное значение признака х=х 0 <х А, и классу Ω 2 , когда х=х 0 >х А (рис. 4.2).
Разность среднего риска Rã А при подобной стратегии и байесовского риска Rã min в предположении, что с 11 =c 22 = 0, c 12 = c 1 и с 21 = с 2 , составит
В области r 2 ÎR 2 .f 2 (x)>l 0 f 1 (x). Значит, Rã A -Rã min >0, т. е. Rã A >Rã min
При выборе стратегии В, в соответствии с которой принимается решение о принадлежности объекта классу Ω 1 если х<х B , и классу Ω 2 , если х>х B , разность средних рисков подобной и байесовской стратегии
В области Значит, Rã B -Rã min >0, т. е. Rã B >Rã min т. е.
Рис. 4.2
Байесовская стратегия может быть описана также следующим образом. Пусть в результате опыта установлено, что значение признака у распознаваемого объекта w составляет величину х=х 0 . Тогда условная вероятность принадлежности объекта классу Ω 1 (условная вероятность первой гипотезы в соответствии с теоремой гипотез или формулой Байеса)
а условная вероятность принадлежности объекта классу Ω 2 (условная вероятность второй гипотезы)
где - совместная плотность распределения вероятностей значений признака х по классам, в свою очередь величины - апостериорные вероятности, принадлежности распознаваемого объекта классам Ω 1 и Ω 2 , соответственно.
Условные риски, связанные с решениями wÎΩ 1 и wÎΩ 2 , соответственно
Система распознавания, основанная на байесовской стратегии, должна решать задачу с минимальным условным риском. Это значит, что предпочтение решению coeCli следует отдавать тогда, когда Подставим в это выражение значения определяемые (4.29). Тогда неравенства или определят, в каких условиях необходимо принять решение о том, что wÎΩ 1
Таким образом, байесовский подход к решению задачи распознавания состоит в вычислении условных апостериорных вероятностей и принятии решения на основании сравнения их значений. Именно такой подход обеспечивает минимум среднего риска и минимум ошибочных решений.
Если число классов больше двух и равно т, то апостериорная вероятность отнесения объекта к Ω-му классу будет
Когда объект характеризуется N признаками x j , j=1, ..., N и признаки распознаваемого объекта приняли значения x 1 = x 0 1 ; х 2 = х 0 2 ; ...; x N =x 0 N , вероятность того, что при осуществлении события a N =(x 0 1 , x 0 2 , ..., х 0 N) объект относится к i-му классу, равна
Рассмотрим другую форму записи байесовского критерия отнесения объекта к соответствующему классу. Пусть имеются классы Ω 1 и Ω 2 . Априорные вероятности появления объектов этих классов соответственно P(Ω 1) и Р(Ω 2), с 11 = с 22 = 0, c l 2 = c 1 и с 21 = с 2 . Известны также многомерные условные плотности распределения вероятностей значений признаков f 1 (х 1 ..., x N) и f 2 (х 1 ..., x N) по классам. Тогда условные вероятности ошибок первого и второго рода соответственно
Средний риск
Так как интеграл от плотности вероятности по областям R 1 и R 2 равен единице, то
Задача состоит в том, чтобы минимизировать значение среднего риска. Для этого необходимо так выбрать области R 1 и R 2 , чтобы интеграл в (4.34) принял наибольшее отрицательное значение. Это достигается тогда, когда подынтегральное выражение принимает наибольшее отрицательное значение и вне области R 1 не существует такой области, где подынтегральное выражение отрицательно, т. е. с 2 Р(Ω 2)f 2 (х 1 ..., x N) – c 1 P(Ω 1)f 1 (х 1 ..., x N)<0. Отсюда следует уже известное решающее правило. Распознаваемый объект w, признаки которого, как установлено в результате проведения экспериментов, равны x l = x 0 1 , х 2 = х 0 2 , ..., x N =x 0 N , относится к классу Ω 1 если
где - пороговое значение коэффициента правдоподобия.
В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется средний ожидаемый результат как сумма произведений вдоль строки результатов на их вероятности:
Лучшей по критерию Байеса считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:
Место критерия Байеса. Как следует из сути и альтернативных названий этого критерия, он наилучшим образом соответствует ситуации многократной повторяемости, когда лучший средний результат приведет к лучшему общему итогу. Если рассматриваемая ситуация выбора решения будет часто повторяться при неизменных условиях, то выбор наилучшей стратегии по критерию Байеса представляется наилучшим. В остальных случаях этот критерий разумно использовать лишь как ориентировочный.
Отметим, что только в этом критерии используются значения вероятностей состояний. В остальных критериях используются только значения выигрышей.
Применим критерий Байеса к нашему примеру.
Таким образом, по
критерию Байеса наилучшей является
стратегия
,
то есть средний лучший результат приносит
стратегия привлечения только финансовых
консультантов.
Если фирма-исполнитель постоянно выполняет аналогичные проекты для схожих заказчиков, то общий результат деятельности будет наилучшим при выборе именно третьей стратегии. Если такой заказ имеет разовый характер, то критерий Байеса является менее предпочтительным.
Критерий Вальда (Wald) (пессимизма, наибольшего худшего результата, максимина)
В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется наименьший достижимый результат как минимальный элемент в строке:
Лучшей по критерию Вальда считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:
Место критерия Вальда. Как следует из сути и альтернативных названий этого критерия, он наилучшим образом подходит для ситуации, в которой необходимо получить наименее «плачевный» результат в самом худшем случае, максимум минимального дохода или минимум максимальных потерь. Критерий соответствует пессимистично настроенному лицу, принимающему решения, когда для него страх проигрыша значительно важнее выигрыша. Выбирая стратегию по критерию Вальда мы можем твердо рассчитывать на полученный при ее определении результат даже при самом плохом стечении обстоятельств.
Применим критерий Вальда к нашему примеру.
Таким образом, по
критерию Вальда наилучшей является
стратегия
,
то есть при привлечении научных и
финансовых консультантов мы в самом
худшем случае получим наибольший
выигрыш.
Критерий оптимизма (максимакса, крайнего оптимизма)
В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется наибольший достижимый результат как максимальный элемент в строке:
Лучшей по критерию оптимизмасчитается та стратегия, для которой этот результат наибольший:
Место критерия оптимизма. Как следует из сути и названий этого критерия, он наилучшим образом подходит для ситуации, в которой игрок настроен крайне оптимистично и рассчитывает на наибольший успех. Критерий хорошо работает в случае, когда потери для игрока в рассматриваемой ситуации мало значимы. Он так же соответствует случаю, когда все стратегии во всех вариантах приводят к заметным выигрышам и можно «рискнуть» понадеяться на самый крупный из них.
Результат применения этого критерия бывает обычно заранее понятным. Как правило, этот критерий для анализа игр с природой не используется, а используется более «взвешенный» критерий Гурвица.
Применим критерий оптимизма к нашему примеру.
Таким образом, по
критерию оптимизма наилучшей является
стратегия
,
то есть наибольший возможный выигрыш
есть шанс получить только выполняя
проект своими силами без привлечения
консультантов.