Как уж ранее отмечалось, в случае линейной регрессии основными показателями качества построенного уравнения регрессии служат коэффициент детерминации и критерий Фишера. Использование этих показателей обосновывается в теории дисперсионного анализа. Здесь рассматриваются следующие суммы:
· – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS );
· 
– сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS
);
· – сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS ).
Напомним, что для моделей, линейных относительно параметров, выполняется следующее равенство
Исходя из этого равенства, вводился коэффициент детерминации
. (6.22)
В силу определения R 2 принимает значения между 0 и 1, . Чем ближе R 2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные , тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если R 2 =1, то эмпирические точки (x i ,y i) лежат на линии регрессии и между переменными Y и X существует функциональная зависимость . Если R 2 =0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтённых в модели переменных . Величина R 2 показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной .
Однако для моделей, нелинейных относительно параметров, равенство (6.21) не выполняется , т.е. . В связи с этим может получиться, что или . Это означает, что коэффициент детерминации, определяемый по формулам (6.22), может быть больше единицы или меньше нуля. Следовательно, R 2 для нелинейных моделей не является вполне адекватной характеристикой качества построенного уравнения регрессии.
На практике обычно в качестве коэффициента детерминации принимается величина
Эта величина имеет тот же самый смысл, что и для линейной модели, но при его использовании нужно учитывать все рассмотренные выше оговорки.
Замечание. Величину R 2 для нелинейных моделей иногда называют индексом детерминации , корень из данной величины R называют индексом корреляции.
Если после преобразования нелинейное уравнение регрессии принимает форму линейного парного уравнения регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции , где z – преобразованная величина независимой переменной, например z =1/x или z =lnx .
Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с результативным признаком. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям даёт лишь приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.
Вследствие близости результатов и простоты расчётов с использованием компьютерных программ для характеристики тесноты связи по нелинейным функциям широко используется линейный коэффициент корреляции ( или ). Несмотря на близость значений R yx и или R yx и , следует помнить, что эти значения не совпадают. Это связано с тем, что для нелинейной регрессии , в отличие от линейной регрессии .
Коэффициент детерминации можно сравнивать с квадратом коэффициента корреляции для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Практически, если величина ( – ) не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия этих показателей, вычисленных по одним и тем же исходным данным.
Коэффициент детерминации можно использовать при сравнении двух альтернативных уравнений регрессии. Можно выбрать наилучшую из них по максимальному значению коэффициента детерминации. При рассмотрении альтернативных моделей с одним и тем же определением зависимой переменной предложенный способ выбора достаточно проста и очевидна. Однако нельзя сравнивать, например, линейную и логарифмические модели. Значения lnY значительно меньше соответствующих значений Y , поэтому неудивительно, что остатки также значительно меньше, но это ничего не решает. Величина R 2 безразмерна, однако в двух уравнениях она относится к разным понятиям. В одном уравнении она измеряет объясненную регрессией долю дисперсии Y , а в другом – объясненную регрессией долю дисперсии lnY . Если для одной модели коэффициент R 2 значительно больше, чем для другой, то можно сделать оправданный выбор без особых раздумий, однако, если значения R 2 для двух моделей приблизительно равны, то проблема выбора существенно усложняется.
Более подробно проблемы спецификации рассматриваются в дополнении 3.
Отметим, что критерий Фишера можно применять только для нормальной линейной классической регрессионной модели . Однако в общем случае, в первую для моделей нелинейных по параметрам, критерий Фишера применять нельзя! Иногда критерий Фишера применяют для линеаризованных моделей, однако здесь следует помнить, что исходное и линеаризованное уравнения не одно и то же, т.е. здесь нужны серьезные оговорки.
Более подробно использования критерия Фишера для линеаризированных моделей смотрите в дополнении 2.
ПРИМЕРЫ
Пример 6.1. Вычислить полулогарифмическую функцию регрессии зависимости доли расходов на товары длительного пользования в общих расходах семьи (Y , %) от среднемесячного дохода семьи (X , тыс. $ ):
| X | ||||||
| Y | 13,4 | 15,4 | 16,5 | 18,6 | 19,3 |
Решение. Используем стандартные процедуры линейного регрессионного анализа. Для расчетов воспользуемся данными таблицы 6.1:
Табл. 6.1.
| № | x | u= lnx | y | uy | u 2 | y 2 | A | |||
| 9,88 | 0,12 | 1,241 | 0,0154 | |||||||
| 0,693 | 13,4 | 9,29 | 0,48 | 179,56 | 13,43 | -0,03 | 0,232 | 0,0010 | ||
| 1,099 | 15,4 | 16,92 | 1,21 | 237,16 | 15,51 | -0,11 | 0,718 | 0,0122 | ||
| 1,386 | 16,5 | 22,87 | 1,92 | 272,25 | 16,99 | -0,49 | 2,946 | 0,2363 | ||
| 1,609 | 18,6 | 29,94 | 2,59 | 345,96 | 18,13 | 0,47 | 2,524 | 0,2203 | ||
| 1,792 | 19,1 | 34,22 | 3,21 | 364,81 | 19,07 | 0,03 | 0,180 | 0,0012 | ||
| Итого | 6,579 | 113,24 | 9,41 | 1499,74 | 7,840 | 0,4864 | ||||
| Среднее значение | 3,5 | 1,097 | 15,5 | 18,87 | 1,57 | 249,96 | 1,307 |
В соответствии с формулами (6.103) вычисляем
, .
В результате, получим уравнение полулогарифмической регрессии:
Подставляя в уравнение (6.24) фактические значения x i , получаем теоретические значения результата . Используя программу Excel ,
| ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
| Регрессионная статистика | |||||||
| Множественный R | 0,9958 | ||||||
| R -квадрат | 0,9916 | ||||||
| Нормированный R -квадрат | 0,9896 | ||||||
| Стандартная ошибка | 0,3487 | ||||||
| Наблюдения | |||||||
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | |||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||
| Регрессия | 57,75 | 57,75 | 474,93 | 0,000026 | |||
| Остаток | 0,49 | 0,12 | |||||
| Итого | 58,24 | ||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
| Y -пересечение | 9,8759 | 0,2947 | 33,51 | 0,0000047 | 9,0576 | 10,6942 |
| Переменная lnX | 5,1289 | 0,2353 | 21,79 | 0,0000262 | 4,4755 | 5,7823 |
Из этих данных видно, в частности, что все коэффициенты регрессии статистически значимы. Оценим качество уравнения регрессии. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации
,
т.е. с точки зрения этого показателя уравнение регрессии подобрано очень хорошо.
Вычислим теперь средний коэффициент эластичности
Таким образом, при возрастании среднемесячного дохода семьи на 1% доля расходов на товары длительного пользования в общих расходах семьи возрастет на 0,25% .
Коэффициент детерминации для данной модели совпадает с квадратом коэффициента корреляции . По данным таблицы 6.3 получаем
И 
.
Коэффициент детерминации показывает, что уравнение регрессии на 99% объясняет вариацию значений признака y , т.е. с точки зрения коэффициента детерминации построенное уравнение регрессии очень хорошо описывает исходные данные.
Для оценки качества данной модели можно использовать критерий Фишера (при предположении, что мы имеем дело с нормальной классической линейной моделью). В этом случае получаем
, 
.
Поскольку F набл >F крит , то гипотеза о случайной природе оцениваемых параметров отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность, т.е. построенное уравнение регрессии признается статистически значимым. â
Пример 6.2. Имеются данные о просроченной задолженности по заработной плате за 9 месяцев 2000 г. по Санкт-Петербургу.
. Оцените качество построенной регрессии. б) Оцените МНК коэффициенты обратной модели 
, линеаризуя модель. Оцените качество построенной регрессии. в) Оцените МНК коэффициенты обратной модели 
, используя численные методы (метод Маркуардта)? г) Проанализируйте полученные результаты.
Решение. а) Используя стандартные процедуры линейного регрессионного анализа (считая, как обычно, t =1 для января 2000 г.), получим:
| ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
| Регрессионная статистика | |||||||
| Множественный R | 0,846 | ||||||
| R -квадрат | 0,716 | ||||||
| Нормированный R -квадрат | 0,675 | ||||||
| Стандартная ошибка | 12,233 | ||||||
| Наблюдения | |||||||
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | |||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||
| Регрессия | 2640,07 | 2640,07 | 17,64 | 0,00403 | |||
| Остаток | 1047,58 | 149,65 | |||||
| Итого | 3687,64 | ||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | ||
| Y-пересечение | 410,12 | 8,89 | 46,15 | 5,87E-10 | 389,11 | 431,14 | |
| Переменная X 1 | -6,63 | 1,58 | -4,20 | 4,03E-03 | -10,37 | -2,90 | |
,
 |
причём все коэффициенты регрессии значимы. Коэффициент детерминации равен , т.е. линейная модель удовлетворительно описывает исходные данные. На графике поле корреляции и линейное уравнение регрессии будут выглядеть следующим образом:
В соответствии с построенным уравнением просроченная задолженность по заработной плате за 9 месяцев 2000 г. ежемесячно снижалась на 6,6 млн. руб. Расчётное значение просроченной задолженности за декабрь 1999 г. составило 410,1 млн. руб. Точечный прогноз за октябрь составила: млн. руб.
Оценим точность прогноза. В соответствии с линейным регрессионным анализом, находим предельную ошибку индивидуального прогноза (на уровне значимости a=0,05):
.
Точность прогноза составила 
.
б) Линеаризуем модель, полагая v =1/y . Составляем расчётную таблицу.
| Месяцы | t | y | v= 1/y | tv | t 2 | v 2 | |||
| Январь | 387,6 | 0,00258 | 0,0026 | 0,0000067 | 0,00247 | 0,0001134 | 0,00000001286 | ||
| Февраль | 399,9 | 0,00250 | 0,0050 | 0,0000063 | 0,00252 | -0,0000145 | 0,00000000021 | ||
| Март | 404,0 | 0,00248 | 0,0074 | 0,0000061 | 0,00256 | -0,0000885 | 0,00000000783 | ||
| Апрель | 383,1 | 0,00261 | 0,0104 | 0,0000068 | 0,00261 | -0,0000020 | 0,00000000000 | ||
| Май | 376,9 | 0,00265 | 0,0133 | 0,0000070 | 0,00266 | -0,0000076 | 0,00000000006 | ||
| Июнь | 377,7 | 0,00265 | 0,0159 | 0,0000070 | 0,00271 | -0,0000618 | 0,00000000382 | ||
| Июль | 358,1 | 0,00279 | 0,0195 | 0,0000078 | 0,00276 | 0,0000345 | 0,00000000119 | ||
| Август | 371,9 | 0,00269 | 0,0215 | 0,0000072 | 0,00281 | -0,0001177 | 0,00000001385 | ||
| Сентябрь | 333,4 | 0,00300 | 0,0270 | 0,0000090 | 0,00286 | 0,0001442 | 0,00000002081 | ||
| Итого: | 3392,6 | 0,02395 | 0,1227 | 0,0000639 | 0,02395 | 0,00000006063 | |||
| Среднее | 376,96 | 0,002661 | 0,0136 | 31,67 | 0,0000071 |
Вычисляем
В результате, получим уравнение обратной регрессии:
.
Используя программу Excel получим следующие данные (на уровне значимости a=0,05):
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | ||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | ||
| Регрессия | 1,41557E-07 | 1,41557E-07 | 16,34 | 0,00492 | ||
| Остаток | 6,06323E-08 | 8,66176E-09 | ||||
| Итого | 2,02189E-07 | |||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
| Y -пересечение | 0,002418 | 6,76E-05 | 35,76 | 3,47E-09 | 0,00226 | 0,00258 |
| Переменная lnX | 0,0000486 | 1,20E-05 | 4,04 | 0,00492 | 2,02E-05 | 7,70E-05 |
R 2 =0,7). Этот вывод подтверждается и с точки зрения критерия Фишера (отметим, что для линеаризованных моделей, при определённых оговорках, можно применить критерий Фишера). Однако в рассматриваемом случае МНК применялся не к y , а к обратным значениям 1/y
| t | y | A | |||||
| 387,6 | 405,42 | -17,821 | 317,58 | 113,30 | 810,26 | 4,60 | |
| 399,9 | 397,59 | 2,309 | 5,33 | 526,45 | 425,83 | 0,58 | |
| 404,0 | 390,06 | 13,942 | 194,37 | 731,40 | 171,68 | 3,45 | |
| 383,1 | 382,81 | 0,294 | 0,09 | 37,75 | 34,22 | 0,08 | |
| 376,9 | 375,82 | 1,082 | 1,17 | 0,00 | 1,29 | 0,29 | |
| 377,7 | 369,08 | 8,620 | 74,30 | 0,55 | 62,02 | 2,28 | |
| 358,1 | 362,58 | -4,480 | 20,07 | 355,53 | 206,64 | 1,25 | |
| 371,9 | 356,31 | 15,595 | 243,19 | 25,56 | 426,43 | 4,19 | |
| 333,4 | 350,24 | -16,844 | 283,71 | 1897,09 | 713,52 | 5,05 | |
| 3392,6 | 2,696 | 1139,81 | 3687,64 | 2851,90 | 21,77 | ||
| 376,96 | 2,42 |
.
Отметим, что для нелинейных моделей, оцененных МНК, эта сумма всегда равна нулю. Следовательно, оценки исходной нелинейной модели будут смещёнными .
Отсюда, в частности, следует, что равенство не выполняется. Действительно,
В связи с этим, для коэффициента детерминации можно получить два разных значения:
, или 
.
Это означает, что коэффициент детерминации для нелинейных моделей не всегда является адекватной характеристикой. Отметим, что в компьютерных программах для вычисления коэффициента детерминации в основном используют второе равенство.
Сделаем прогноз по полученному уравнению обратной модели и оценим его точность. Точечный прогноз за октябрь составит:
Млн. руб.
Оценим точность прогноза. В соответствии с линейным регрессионным анализом, находим предельную ошибку индивидуального прогноза по линеаризированному уравнению (на уровне значимости a=0,05):
В результате, доверительный интервал для прогнозного значения будет иметь вид
Точность прогноза для преобразованной переменной v составляет 9,4%. Однако мы имеем дело нес обратными величинами v =1/y , а с y . Переходя к исходной переменной, получим следующий доверительный интервал
.
Точность прогноза для непреобразованной переменной y составляет уже 18,9%. Этот результат показывает, что исходное и преобразованное уравнения дают, вообще говоря, разный результат.
в) Оценим МНК коэффициенты обратной модели
,
используя численные методы (метод Левенберга-Маркуардта). Для этого воспользуемся программой STATISTIKA. Программа выдаёт следующие результаты.
Уравнение регрессии имеет вид
с коэффициентом детерминации R 2 =0,6947. Для сравнений приведем результаты вычислений.
Видно, что численные методы дают вполне удовлетворительный результат. Более того, они позволяют провести также и некоторый статистический анализ полученной модели (хотя и не такой полный по-сравнению с линейными моделями). Таким образом, как показывает данный пример, линеаризация не всегда даёт более лучший результат по-сравнению с численными методами.
г) Сделаем некоторые выводы. Отметим, что коэффициенты детерминации для обеих моделей (линейной и обратной) практически не отличаются друг от друга: R 2 =0,716 для линейной модели и R 2 =0,691 для обратной модели. Поэтому обе модели с точки зрения коэффициента детерминации равноценны. Однако при оценке точности прогноза лучше использовать, как мы видели, линейную модель. Таким образом, использование обратной модели для интерпретации имеющихся результатов не совсем оправдано. С точки зрения статистических свойств в данном случае лучше использовать линейную модель. â
Пример 6.3. Имеются данные о зависимости расхода топлива (Y , г /на т·км ) от мощности двигателя грузовых автомобилей общего назначения (X , л.с. ):
| X | |||||||||||
| Y |
а) Оцените МНК коэффициенты линейной модели . Оцените качество построенной регрессии. б) Оцените МНК коэффициенты степенной модели , линеаризуя модель. Оцените качество построенной регрессии.
Решение. а) Используя стандартные процедуры линейного регрессионного анализа, получим:
| ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
| Регрессионная статистика | |||||||
| Множественный R | 0,8378 | ||||||
| R -квадрат | 0,7019 | ||||||
| Нормированный R -квадрат | 0,6688 | ||||||
| Стандартная ошибка | 12,8383 | ||||||
| Наблюдения | |||||||
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | |||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||
| Регрессия | 3493,3 | 3493,3 | 21,19 | 0,001284 | |||
| Остаток | 1483,4 | 164,8 | |||||
| Итого | 4976,7 | ||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | ||
| Y-пересечение | 103,866 | 9,993 | 10,39 | 0,0000 | 81,261 | 126,471 | |
| Переменная X | -0,3388 | 0,0736 | -4,60 | 0,0013 | -0,5053 | -0,1723 | |
Таким образом, линейное уравнение регрессии будет иметь вид
,
причём все коэффициенты регрессии значимы. Коэффициент детерминации равен , т.е. линейная модель удовлетворительно описывает исходные данные.
На графике поле корреляции и линейное уравнение регрессии будут выглядеть следующим образом:
Используя программу Excel получим следующие данные (на уровне значимости a=0,05):
| ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
| Регрессионная статистика | |||||||
| Множественный R | 0,8233 | ||||||
| R -квадрат | 0,6778 | ||||||
| Нормированный R -квадрат | 0,6420 | ||||||
| Стандартная ошибка | 0,2653 | ||||||
| Наблюдения | |||||||
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | |||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||
| Регрессия | 1,3327 | 1,3327 | 18,93 | 0,001847 | |||
| Остаток | 0,6336 | 0,0704 | |||||
| Итого | 1,9663 | ||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | ||
| Y -пересечение | 8,141 | 0,946 | 8,609 | 0,0000123 | 6,002 | 10,280 | |
| Переменная lnX | -0,864 | 0,198 | -4,351 | 0,0018473 | -1,313 | -0,415 | |
Качество линеаризованного уравнения довольно высокое (R 2 =0,678). Этот вывод подтверждается и с точки зрения критерия Фишера (напомним, что для линеаризованных моделей, при определённых оговорках, можно применить критерий Фишера). Однако в рассматриваемом случае МНК применялся не к y , а к их логарифмам lny , а это существенная разница. Проанализируем исходную, нелинеаризированную, модель.
Из таблицы видно, что для данной модели
.
Следовательно, оценки исходной нелинейной модели будут смещёнными.
Для коэффициента детерминации можно получить два разных значения:
, или 
.
Это означает, что полученное уравнение достаточно хорошо описывает исходные данные и этот коэффициент выше, чем для коэффициента детерминации линейной регрессии. Хотя средний коэффициент аппроксимации не очень низкий .
Сделаем прогноз по полученному уравнению степенной модели и оценим его точность. При мощности двигателя x =70 л.с. расход топлива на 1 т-км составит
Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии используют обычно коэффициент детерминации, называемый также квадратом коэффициента множественной корреляции. Для случая парной регрессии это квадрат коэффициента корреляции переменных и.
Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:
сумма квадратов остатков регрессии
Фактические и расчетные значения объясняемой переменной.
Общая сумма квадратов.
Он характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменой, объясненной с помощью данного уравнения. В качестве меры разброса зависимой переменной обычно используется ее дисперсия, а остаточная вариация может быть измерена как дисперсия отклонений вокруг линии регрессии. Если числитель и знаменатель вычитаемой из единицы дроби разделить на число наблюдений n, то получим, соответственно, выборочные оценки остаточной дисперсии и дисперсии зависимой переменной. Отношение остаточной и общей дисперсии представляют собой долю необъясненной дисперсии. Если же эту долю вычесть из единицы, то получим долю дисперсии зависимой переменной. Объясненной с помощью регрессии. Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок дисперсии в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы: тогда
Или, для парной регрессии, где число независимым переменных равно 1,
В числителе дроби, которая вычитается из единицы, стоит сумма квадратов отклонений наблюдений от линии регрессии, в знаменателе - от среднего значения переменной. Таким образом, дробь это мала (а коэффициент, очевидно, близок к единице), если разброс точек вокруг линии регрессии значительно меньше, чем вокруг среднего значения.
Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет найти прямую, для которой сумма минимальна, а представляет собой одну из возможных линий, для которых выполняется условие. Поэтому величина в числителе вычитаемой из единицы дроби меньше, чем величина в ее знаменателе, - иначе выбираемой по МНК линией регрессии была бы прямая.
Таким образом, коэффициент детерминации является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная регрессионная прямая дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной, чем просто горизонтальная прямая.
Смысл коэффициента детерминации может быть пояснен и немного иначе. Можно показать, что
где - отклонение -й точки на линии регрессии от.
В данной формуле величина в левой части может интерпретироваться как мера общего разброса (вариации) переменной, первое слагаемое в правой части - как мера остаточного, необъясненного разброса (разброса точек вокруг линии регрессии). Если разделить эту формулу на ее левую часть и перегруппировать члены, то
То есть коэффициент детерминации есть доля объясненной части разброса зависимой переменной (или доля объясненной дисперсии, если разделить числитель и знаменатель на и ().
Часто коэффициент детерминации иллюстрируют следующим образом (рис. 1)
Рисунок 1 Иллюстрированный коэффициент детерминации
Здесь TSS (Total Sum of Squares) - общий разброс переменной, ESS (Explained Sum of Squares) - разброс, объясненный с помощью регрессии, USS (Unexplained Sum of Squares) - разброс, необъясненный с помощью регрессии. Из рисунка видно, что с увеличением объясненной доли разброса коэффициент приближается к единице. Кроме того, из рисунка видно, что с добавлением еще одной переменной обычно увеличивается, однако если объясняющие переменные и сильно коррелируют между собой, то они объясняют одну и ту же часть разброса переменной, и в этом случае трудно идентифицировать вклад каждой из переменных в объяснение поведения.
Если существует статистически значимая линейная связь величин и, то коэффициент близок к единице.
Однако он может быть близким к единице просто в силу того, что обе эти величины имеют выраженный временный тренд, не связанный с их причинно-следственной взаимозависимостью.
В экономике обычно объемные показатели (доход, потребление, инвестиции) имеют такой тренд, а темповые и относительные (производительности, темпы роста, доли, отношения) - не всегда. Поэтому при оценивании линейных регрессий по временным рядам объемных показателей (например, зависимости выпуска от затрат ресурсов или объема потребления от величины дохода) величина обычно очень близка к единице. Это говорит о том, что зависимую переменную нельзя описать просто как равную своему среднему значению, но это и заранее очевидно, раз она имеет временный тренд.
Если имеются не временные ряды, а перекрестная выборка, то есть данные об однотипных объектах в один и тот же момент времени, то для оцененного по ним уравнения линейной регрессии величина не превышает обычно уровня 0,6 - 0,7.
То же самое обычно имеет место и для регрессии по временных рядам, если они не имеют выраженного тренда. В макроэкономике примерами таких зависимостей являются связи относительных, удельных, темповых показателей: зависимость темпа инфляции от уровня безработицы, нормы накопления от величины процентной ставки, темпа прироста выпуска от темпов прироста затрат ресурсов.
Таким образом, при построении макроэкономических моделей, особенно - по временных рядам данных, нужно учитывать, являются входящие в них переменных объемными или относительными, имеют ли они временной тренд.
Точную границу приемлемости показателя указать сразу для всех случаев невозможно. Нужно принимать во внимание и число степеней свободы уравнения, и наличие трендов переменных, и содержательную интерпретацию уравнения. Показатель может оказаться даже отрицательным. Как правило, это случается в уравнении без свободного члена
Оценивание такого уравнения производится, как и в общем случае, по методу наименьших квадратов. Однако множество выбора при этом существенно сужается: рассматриваются не все возможные прямые или гиперплоскости, а только проходящие через начало координат. Величина получается отрицательной в том случае, если разброс значений зависимой переменной вокруг прямой (гиперплоскости) меньше, чем вокруг даже наилучшей прямой (гиперплоскости) из проходящих через начало координат. Отрицательная величина в уравнении говорит о целесообразности введения в него свободного члена. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2.
Рисунок 2 Иллюстрация введения свободного члена в уравнение
Линия 1 на нем- график уравнения регрессии без свободного члена (он проходит через начало координат), линия 2- со свободным членом (он равен), линия 3 - . Горизонтальная линия 3 дает гораздо меньшую сумму квадратов отклонений, чем линия 1, и поэтому для последней коэффициент детерминации будет отрицательным.
Поправка на число степеней свободы всегда уменьшает значение, поскольку. В результате также может стать отрицательной. Но это означает, что она была близкой к нулю до такой поправки, и объясненная с помощью уравнения регрессии доля дисперсии зависимой переменной очень мала.
Коэффициент множественной детерминации характеризует, на сколько процентов построенная модель регрессии объясняет вариацию значений результативной переменной относительно своего среднего уровня, т. е. показывает долю общей дисперсии результативной переменной, объяснённой вариацией факторных переменных, включённых в модель регрессии.
Коэффициент множественной детерминации также называется количественной характеристикой объяснённой построенной моделью регрессии дисперсии результативной переменной. Чем больше значение коэффициента множественной детерминации, тем лучше построенная модель регрессии характеризует взаимосвязь между переменными.
Для коэффициента множественной детерминации всегда выполняется неравенство вида:
Следовательно, включение в линейную модель регрессии дополнительной факторной переменной xn не снижает значения коэффициента множественной детерминации.
Коэффициент множественной детерминации может быть определён не только как квадрат множественного коэффициента корреляции, но и с помощью теоремы о разложении сумм квадратов по формуле:
где ESS (Error Sum Square) – сумма квадратов остатков модели множественной регрессии с n независимыми переменными:
TSS (TotalSumSquare) – общая сумма квадратов модели множественной регрессии с n независимыми переменными:
Однако классический коэффициент множественной детерминации не всегда способен определить влияние на качество модели регрессии дополнительной факторной переменной. Поэтому наряду с обычным коэффициентом рассчитывают также и скорректированный (adjusted) коэффициент множественной детерминации, в котором учитывается количество факторных переменных, включённых в модель регрессии:
где n – количество наблюдений в выборочной совокупности;
h – число параметров, включённых в модель регрессии.
При большом объёме выборочной совокупности значения обычного и скорректированного коэффициентов множественной детерминации отличаться практически не будут.
24. Парный регрессионный анализ
Одним из методов изучения стохастических связей между признаками является регрессионный анализ.
Регрессионный анализ представляет собой вывод уравнения регрессии, с помощью которого находится средняя величина случайной переменной (признака-результата), если величина другой (или других) переменных (признаков-факторов) известна. Он включает следующие этапы:
выбор формы связи (вида аналитического уравнения регрессии);
оценку параметров уравнения;
оценку качества аналитического уравнения регрессии.
Наиболее часто для описания статистической связи признаков используется линейная форма. Внимание к линейной связи объясняется четкой экономической интерпретацией ее параметров, ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуют (путем логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.
В случае линейной парной связи уравнение регрессии примет вид:
Параметры данного
уравнения а и b оцениваются по данным
статистического наблюдения x и y.
Результатом такой оценки является
уравнение:
, где,- оценки параметров
a и b,
- значение
результативного признака (переменной),
полученное по уравнению регрессии
(расчетное значение).
Наиболее часто для оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК).
Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (u) и независимой переменной (x).
Задача оценивания параметров линейного парного уравнения методом наименьших квадратов состоит в следующем:
получить такие оценки параметров ,, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака - yi от расчетных значений – минимальна.
Формально критерий МНК можно записать так:
Проиллюстрируем суть данного метода графически. Для этого построим точечный график по данным наблюдений (xi ,yi, i=1;n) в прямоугольной системе координат (такой точечный график называют корреляционным полем). Попытаемся подобрать прямую линию, которая ближе всего расположена к точкам корреляционного поля. Согласно методу наименьших квадратов линия выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками корреляционного поля и этой линией была бы минимальной.
Математическая запись данной задачи:
Значения yi и xi i=1; n нам известны, это данные наблюдений. В функции S они представляют собой константы. Переменными в данной функции являются искомые оценки параметров - ,. Чтобы найти минимум функции 2-ух переменных необходимо вычислить частные производные данной функции по каждому из параметров и приравнять их нулю, т.е.
В результате получим систему из 2-ух нормальных линейных уравнений:
Решая данную систему, найдем искомые оценки параметров:
Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм
(возможно некоторое расхождение из-за округления расчетов).
Знак коэффициента регрессии b указывает направление связи (если b>0, связь прямая, если b <0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Формально значение параметра а – среднее значение y при х равном нулю. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра а не имеет смысла.
Оценка тесноты связи между признаками осуществляется с помощью коэффициента линейной парной корреляции - rx,y. Он может быть рассчитан по формуле:
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:
Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от –1 до +1. Знак коэффициента корреляции указывает направление связи. Если rx, y>0, то связь прямая; если rx, y<0, то связь обратная.
Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице ê rx , y ê =1, то связь между признаками функциональная линейная. Если признаки х и y линейно независимы, то rx,y близок к 0.
Для оценки качества полученного уравнения регрессии рассчитывают теоретический коэффициент детерминации – R2yx:
где d 2 – объясненная уравнением регрессии дисперсия y;
e 2- остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия y;
s 2 y - общая (полная) дисперсия y .
Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака y, объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором х), в общей вариации (дисперсии) y. Коэффициент детерминации R2yx принимает значения от 0 до 1. Соответственно величина 1-R2yx характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов и ошибками спецификации.
При парной линейной регрессии R 2yx=r2 yx.
Таким образом можно выделить следующие свойства коэффициента детерминации:
1. ; в силу определения
2. =0;в этом случае RSS = 0, т. е. наша регрессия не объясняет, ничего не дает по сравнению с тривиальным прогнозом. Данные позволяют сделать вывод о независимости y и x, изменение в переменной x никак не влияет на изменение среднего значения переменной y. То есть увеличивается разброс точек на корреляционном поле относительно построенной линии регрессии(или статистическая зависимость очень слабая, или уравнение регрессии подобрано неверно).
3. =1; в этом случае все точки () лежат на одной прямой (ESS = 0). Тогда на основании имеющихся данных можно сделать вывод о наличии функциональной, а именно, линейной, зависимости между переменными y и x. Изменение переменной y полностью объясняется изменением переменной x.Для парной линей регрессии коэффициент детерминации точно равен квадрату коэффициента корреляции:
Вообще говоря, значение коэффициента детерминации не говорит о том, есть ли между факторами зависимость и насколько она тесная. Оно говорит только о качестве того уравнения, которое мы построили.
Удобно сравнивать коэффициенты детерминации для нескольких разных уравнений регрессии построенных по одним и тем же данным наблюдений. Из нескольких уравнений лучше то, у которого больше коэффициент детерминации.
3. Скорректированный коэффициент детерминации
Одним из свойств коэффициента детерминации является то, что это не убывающая функция от числа факторов, входящих в модель. Это следует из определения детерминации. Действительно в равенстве
Числитель не зависит, а знаменатель зависит от числа факторов модели. Следовательно, с увеличением числа независимых переменных в модели, коэффициент детерминации никогда не уменьшается. Тогда, если сравнить две регрессионные модели с одной и тоже зависимой переменной, но разным числом факторов, то более высокий коэффициент детерминации будет получен в модели с большим числом факторов. Поэтому необходимо скорректировать коэффициент детерминации с учетом количества факторов, входящих в модель.
Скорректированный (исправленный или оцененный) коэффициент детерминации определяют следующим образом:
Свойства скорректированного коэффициента детерминации:
1. Несложно заметить что при >1 исправленный коэффициент детерминации меньше коэффициента детерминации ().
2. , но может принимать отрицательные значения. При этом, если скорректированный принимает отрицательное значение, то принимает значение близкое к нулю ().
Таким образом скорректированный коэффициент детерминации является попыткой устранить эффект, связанный с ростом R 2 при увеличении числа регрессоров. - "штраф" за увеличение числа независимых переменных.
Рассмотрим вначале коэффициент детерминации для простой линейной регрессии, называемый также коэффициентом парной детерминации.
На основе соображений, изложенных в разделе 3.1, теперь относительно легко найти меру точности оценки регрессии. Мы показали, что общую дисперсию можно разложить на две составляющие - на «необъясненную» дисперсию и дисперсию обусловленную регрессией. Чем больше по сравнению с тем больше общая дисперсия формируется за счет влияния объясняющей переменной х и, следовательно, связь между двумя переменными у их более интенсивная. Очевидно, удобно в качестве показателя интенсивности связи, или оценки доли влияния переменной х на использовать отношение
Это отношение указывает, какая часть общего (полного) рассеяния значений у обусловлена изменчивостью переменной х. Чем большую долю в общей дисперсии составляет тем лучше выбранная функция регрессии соответствует эмпирическим данным. Чем меньше эмпирические значения зависимой переменной отклоняются от прямой регрессии, тем лучше определена функция регрессии. Отсюда происходит и название отношения (3.6) - коэффициент детерминации Индекс при коэффициенте указывает на переменные, связь между которыми изучается. При этом вначале в индексе стоит обозначение зависимой переменной, а затем объясняющей.
Из определения коэффициента детерминации как относительной доли очевидно, что он всегда заключен в пределах от 0 до 1:
Если то все эмпирические значения (все точки поля корреляции) лежат на регрессионной прямой. Это означает, что для В этом случае говорят о строгом линейном соотношении (линейной функции) между переменными у их. Если дисперсия, обусловленная регрессией, равна нулю, а
«необъясненная» дисперсия равна общей дисперсии. В этом случае Линия регрессии тогда параллельна оси абсцисс. Ни о какой численной линейной зависимости переменной у от в статистическом ее понимании не может быть и речи. Коэффициент регрессии при этом незначимо отличается от нуля.
Итак, чем больше приближается к единице, тем лучше определена регрессия.
Коэффициент детерминации есть величина безразмерная и поэтому он не зависит от изменения единиц измерения переменных у и х (в отличие от параметров регрессии). Коэффициент не реагирует на преобразование переменных.
Приведем некоторые модификации формулы (3.6), которые, с одной стороны, будут способствовать пониманию сущности коэффициента детерминации, а с другой стороны, окажутся полезными для практических вычислений. Подставляя выражение для в (3.6) и принимая во внимание (1.8) и (3.1), получим:
Эта формула еще раз подтверждает, что «объясненная» дисперсия, стоящая в числителе (3.6), пропорциональна дисперсии переменной х, так как является оценкой параметра регрессии.
Подставив вместо его выражение (2.26) и учитывая определения дисперсий а также средних х и у, получим формулу коэффициента детерминации, удобную для вычисления:
Из (3.9) следует, что всегда С помощью (3.9) можно относительно легко определить коэффициент детерминации. В этой формуле содержатся только те величины, которые используются для вычисления оценок параметров регрессии и, следовательно, имеются в рабочей таблице. Формула (3.9) обладает тем преимуществом, что вычисление коэффициента детерминации по ней производится непосредственно по эмпирическим данным. Не нужно заранее находить оценки параметров и значения регрессии. Это обстоятельство играет немаловажную роль для последующих исследований, так как перед проведением регрессионного анализа мы можем проверить, в какой степени определена исследуемая регрессия включенными в нее объясняющими
переменными. Если коэффициент детерминации слишком мал, то нужно искать другие факторы-переменные, причинно обусловливающие зависимую переменную. Следует отметить, что коэффициент детерминации удовлетворительно отвечает своему назначению при достаточно большом числе наблюдений. Но в любом случае необходимо проверить значимость коэффициента детерминации. Эта проблема будет обсуждаться в разделе 8.6.
Вернемся к рассмотрению «необъясненной» дисперсии, возникающей за счет изменчивости прочих факторов-переменных, не зависящих от х, а также за счет случайностей. Чем больше ее доля в общей дисперсии, тем меньше, неопределеннее проявляется соотношение между у и х, тем больше затушевывается связь между ними. Исходя из этих соображений мы можем использовать «необъясненную» дисперсию для характеристики неопределенности или неточности регрессии. Следующее соотношение служит мерой неопределенности регрессии:
Легко убедиться в том, что
Отсюда очевидно, что не нужно отдельно вычислять меру неопределенности, а ее оценку легко получить из (3.11).
Теперь вернемся к нашим примерам и определим коэффициенты детерминации для полученных уравнений регрессий.
Вычислим коэффициент детерминации по данным примера из раздела 2.4 (зависимость производительности труда от уровня механизации работ). Используем для этого формулу (3.9), а промежуточные результаты вычислений заимствуем из табл. 3:
Отсюда заключаем, что в случае простой регрессии 93,8% общей дисперсии производительности труда на рассматриваемых предприятиях обусловлено вариацией показателя механизации работ. Таким образом, изменчивость переменной х почти полностью объясняет вариацию переменной у.
Для этого примера коэффициент неопределенности т. е. только 6,2% общей дисперсии нельзя объяснить зависимостью производительности труда от уровня механизации работ.
Вычислим коэффициент детерминации по данным примера из раздела 2.5 (зависимость объема производства от основных фондов). Необходимые
промежуточные результаты вычислений приведены в разделе 2.5 при определении оценок коэффициентов регрессии:
Таким образом, 91,1% общей дисперсии объема производства исследуемых предприятий обусловлено изменчивостью значений основных фондов на этих предприятиях. Данная регрессия почти полностью исчерпывается включенной в нее объясняющей переменной. Коэффициент неопределенности составляет 0,089, или 8,9%.
Следует отметить, что приведенные в данном разделе формулы предназначены для вычисления по результатам выборки большого объема коэффициента детерминации в случае простой регрессии. Но чаще всего приходится довольствоваться выборкой небольшого объема . В этом случае вычисляют исправленный коэффициент детерминации учитывая соответствующее число степеней свободы. Формула исправленного коэффициента детерминации для общего случая объясняющих переменных будет приведена в следующем разделе. Из нее легко получить формулу исправленного коэффициента детерминации в случае простой регрессии