Можно выделить наиболее часто встречающиеся законы распределения дискретных случайных величин:
- Биномиальный закон распределения
- Пуассоновский закон распределения
- Геометрический закон распределения
- Гипергеометрический закон распределения
Для данных распределений дискретных случайных величин расчет вероятностей их значений, а также числовых характеристик (математическое ожидание, дисперсия, и т.д.) производится по определенных «формулам». Поэтому очень важно знать данные типы распределений и их основные свойства.
1. Биномиальный закон распределения.
Дискретная случайная величина $X$ подчинена биномиальному закону распределения вероятностей, если она принимает значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$. Фактически, случайная величина $X$ - это число появлений события $A$ в $n$ независимых испытаний . Закон распределения вероятностей случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end{array}$
Для такой случайной величины математическое ожидание $M\left(X\right)=np$, дисперсия $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Пример . В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными $0,5$, найти закон распределения случайной величины $\xi $ - числа мальчиков в семье.
Пусть случайная величина $\xi $ - число мальчиков в семье. Значения, которые может принимать $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Вероятности этих значений можно найти по формуле $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot {\left(1-p\right)}^{n-k}$, где $n=2$ - число независимых испытаний, $p=0,5$ - вероятность появления события в серии из $n$ испытаний. Получаем:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot {0,5}^0\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-0}={0,5}^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-1}=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot {0,5}^2\cdot {\left(1-0,5\right)}^{2-2}={0,5}^2=0,25.$
Тогда закон распределения случайной величины $\xi $ есть соответствие между значениями $0,\ 1,\ 2$ и их вероятностями, то есть:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end{array}$
Сумма вероятностей в законе распределения должна быть равна $1$, то есть $\sum _{i=1}^{n}P(\xi _{{\rm i}})=0,25+0,5+0,25=1 $.
Математическое ожидание $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, среднее квадратическое отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt{D\left(\xi \right)}=\sqrt{0,5}\approx 0,707$.
2. Закон распределения Пуассона.
Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только целые неотрицательные значения $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.
Замечание . Особенность этого распределения заключается в том, что мы на основании опытных данных находим оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, если полученные оценки близки между собой, то у нас есть основание утверждать, что случайная величина подчинена закону распределения Пуассона.
Пример . Примерами случайных величин, подчиненных закону распределения Пуассона, могут быть: число автомашин, которые будут обслужены завтра автозаправочной станцией; число бракованных изделий в произведенной продукции.
Пример . Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти закон распределения случайной величины $X$, равной числу поврежденных изделий; чему равно $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Пусть дискретная случайная величина $X$ - число поврежденных изделий. Такая случайная величина подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятности значений равны $P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.
$P\left(X=0\right)={{1^0}\over {0!}}\cdot e^{-1}=0,368;$
$P\left(X=1\right)={{1^1}\over {1!}}\cdot e^{-1}=0,368;$
$P\left(X=2\right)={{1^2}\over {2!}}\cdot e^{-1}=0,184;$
$P\left(X=3\right)={{1^3}\over {3!}}\cdot e^{-1}=0,061;$
$P\left(X=4\right)={{1^4}\over {4!}}\cdot e^{-1}=0,015;$
$P\left(X=5\right)={{1^5}\over {5!}}\cdot e^{-1}=0,003;$
$P\left(X=6\right)={{1^6}\over {6!}}\cdot e^{-1}=0,001;$
$P\left(X=k\right)={{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda }$
Закон распределения случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & {{{\lambda }^k}\over {k!}}\cdot e^{-\lambda } \\
\hline
\end{array}$
Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равным между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Геометрический закон распределения.
Если дискретная случайная величина $X$ может принимать только натуральные значения $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятностями $P\left(X=k\right)=p{\left(1-p\right)}^{k-1},\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, то говорят, что такая случайная величина $X$ подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Фактически, геометрическое распределения представляется собой испытания Бернулли до первого успеха.
Пример . Примерами случайных величин, имеющих геометрическое распределение, могут быть: число выстрелов до первого попадания в цель; число испытаний прибора до первого отказа; число бросаний монеты до первого выпадения орла и т.д.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, подчиненной геометрическому распределению, соответственно равны $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^2$.
Пример . На пути движения рыбы к месту нереста находится $4$ шлюза. Вероятность прохода рыбы через каждый шлюз $p=3/5$. Построить ряд распределения случайной величины $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Найти $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Пусть случайная величина $X$ - число шлюзов, пройденных рыбой до первого задержания у шлюза. Такая случайная величина подчинена геометрическому закону распределения вероятностей. Значения, которые может принимать случайная величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений вычисляются по формуле: $P\left(X=k\right)=pq^{k-1}$, где: $p=2/5$ - вероятность задержания рыбы через шлюз, $q=1-p=3/5$ - вероятность прохода рыбы через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^0={{2}\over {5}}=0,4;$
$P\left(X=2\right)={{2}\over {5}}\cdot {{3}\over {5}}={{6}\over {25}}=0,24;$
$P\left(X=3\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^2={{2}\over {5}}\cdot {{9}\over {25}}={{18}\over {125}}=0,144;$
$P\left(X=4\right)={{2}\over {5}}\cdot {\left({{3}\over {5}}\right)}^3+{\left({{3}\over {5}}\right)}^4={{27}\over {125}}=0,216.$
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end{array}$
Математическое ожидание:
$M\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{x_ip_i}=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
Дисперсия:
$D\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{p_i{\left(x_i-M\left(X\right)\right)}^2=}0,4\cdot {\left(1-2,176\right)}^2+0,24\cdot {\left(2-2,176\right)}^2+0,144\cdot {\left(3-2,176\right)}^2+$
$+\ 0,216\cdot {\left(4-2,176\right)}^2\approx 1,377.$
Среднее квадратическое отклонение:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{1,377}\approx 1,173.$
4. Гипергеометрический закон распределения.
Если $N$ объектов, среди которых $m$ объектов обладают заданным свойством. Случайных образом без возвращения извлекают $n$ объектов, среди которых оказалось $k$ объектов, обладающих заданным свойством. Гипергеометрическое распределение дает возможность оценить вероятность того, что ровно $k$ объектов в выборке обладают заданным свойством. Пусть случайная величина $X$ - число объектов в выборке, обладающих заданным свойством. Тогда вероятности значений случайной величины $X$:
$P\left(X=k\right)={{C^k_mC^{n-k}_{N-m}}\over {C^n_N}}$
Замечание . Статистическая функция ГИПЕРГЕОМЕТ мастера функций $f_x$ пакета Excel дает возможность определить вероятность того, что определенное количество испытаний будет успешным.
$f_x\to $ статистические $\to $ ГИПЕРГЕОМЕТ $\to $ ОК . Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Число_успехов_в_выборке указываем значение $k$. Размер_выборки равен $n$. В графе Число_успехов_в_совокупности указываем значение $m$. Размер_совокупности равен $N$.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины $X$, подчиненной геометрическому закону распределения, соответственно равны $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}$.
Пример . В кредитном отделе банка работают 5 специалистов с высшим финансовым образованием и 3 специалиста с высшим юридическим образованием. Руководство банка решило направить 3 специалистов Для повышения квалификации, отбирая их в случайном порядке.
а) Составьте ряд распределения числа специалистов с высшим финансовым образованием, которые могут быть направлены на повышение квалификации;
б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
Пусть случайная величина $X$ - число специалистов с высшим финансовым образованием среди трех отобранных. Значения, которые может принимать $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Данная случайная величина $X$ распределена по гипергеометрическому распределению с параметрами: $N=8$ - размер совокупности, $m=5$ - число успехов в совокупности, $n=3$ - размер выборки, $k=0,\ 1,\ 2,\ 3$ - число успехов в выборке. Тогда вероятности $P\left(X=k\right)$ можно рассчитать по формуле: $P(X=k)={C_{m}^{k} \cdot C_{N-m}^{n-k} \over C_{N}^{n} } $. Имеем:
$P\left(X=0\right)={{C^0_5\cdot C^3_3}\over {C^3_8}}={{1}\over {56}}\approx 0,018;$
$P\left(X=1\right)={{C^1_5\cdot C^2_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {56}}\approx 0,268;$
$P\left(X=2\right)={{C^2_5\cdot C^1_3}\over {C^3_8}}={{15}\over {28}}\approx 0,536;$
$P\left(X=3\right)={{C^3_5\cdot C^0_3}\over {C^3_8}}={{5}\over {28}}\approx 0,179.$
Тогда ряд распределения случайной величины $X$:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end{array}$
Рассчитаем числовые характеристики случайной величины $X$ по общим формулам гипергеометрического распределения.
$M\left(X\right)={{nm}\over {N}}={{3\cdot 5}\over {8}}={{15}\over {8}}=1,875.$
$D\left(X\right)={{nm\left(1-{{m}\over {N}}\right)\left(1-{{n}\over {N}}\right)}\over {N-1}}={{3\cdot 5\cdot \left(1-{{5}\over {8}}\right)\cdot \left(1-{{3}\over {8}}\right)}\over {8-1}}={{225}\over {448}}\approx 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D\left(X\right)}=\sqrt{0,502}\approx 0,7085.$
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и в свою очередь, случайная величина называется дискретной , если множество её значений конечно или счётно.
Кроме дискретных случайных величин существуют также непрерывные случайные величины.
Рассмотрим более подробно понятие случайной величины. На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассматриваемом опыте, явлении, наблюдении. Например, число мальчиков, которые родятся в Москве в ближайший день, может быть различным. Оно может быть равным нулю (не родится ни одного мальчика: родятся все девочки или вообще не будет новорождённых), одному, двум и так далее до некоторого конечного числа n . К подобным величинам относятся: масса корнеплода сахарной свеклы на участке, дальность полёта артиллерийского снаряда, количество бракованных деталей в партии и так далее. Такие величины будем называть случайными. Они характеризуют все возможные результаты опыта или наблюдения с количественной стороны.
Примерами дискретных случайных величин с конечным числом значений могут служить число родившихся детей в течение дня в населённом пункте, число пассажиров автобуса, число пассажиров, перевезённых московским метро за сутки и т. п.
Число значений дискретной случайной величины может быть и бесконечным, но счётным множеством. Но в любом случае их можно в каком-то порядке пронумеровать, или, более точно - установить взаимно-однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральными числами 1, 2, 3, ..., n .
Внимание: новое, очень важное понятие теории вероятностей - закон распределения
.
Пусть X
может принимать
n
значений: .
Будем считать, что они все различны (в противном случае одинаковые должны быть
объединены) и расположены в возрастающем порядке. Для полной характеристики дискретной
случайной величины должны быть заданы не только все её значения, но и верояности
,
с которыми случайная величина принимает каждое из значений, т. е. 
.
Законом распределения дискретной случайной величины называется любое правило (функция, таблица) p (x ), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она пример какое-то значение или попадёт в какой-то интервал).
Наиболее просто и удобно закон распределения дискретной случайной величины задавать в виде следующей таблицы:
| Значение | ... | |||
| Вероятность | ... |
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины . В верхней строке ряда распределения перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины (иксы), а в нижней - вероятности этих значений (p ).
События 
являются несовместимыми и единственно возможными: они образуют полную систему
событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице:
.
Пример 1. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается две вещи стоимостью по 1000 руб. и одна стоимостью по 3000 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрёл один билет за 100 руб. Всего продано 50 билетов.
Решение. Интересующая нас случайная величина X может принимать три значения: - 100 руб. (если студент не выиграет, а фактически проиграет 100 руб., уплаченные им за билет), 900 руб. и 2900 руб. (фактический выигрыш уменьшается на 100 руб. - на стоимость билета). Первому результату благоприятствуют 47 случаев из 50, второму - 2, а третьему - один. Поэтому их вероятности таковы: P (X =-100)=47/50=0,94 , P (X =900)=2/50=0,04 , P (X =2900)=1/50=0,02 .
Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид
| Сумма выигрыша | -100 | 900 | 2900 |
| Вероятность | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Функция распределения дискретной случайной величины: построение
Ряд распределения может быть построен только для дискретной случайной величины (для недискретной он не может быть построен хотя бы потому, что множество возможных значений такой случайной величины несчётно, их нельзя перечислить в верхней строке таблицы).
Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных), является функция распределения.
Функцией распределения дискретной случайной величины
или интегральной функцией
называется функция 
,
которая определяет вероятность, что значение случайной величины X
меньше или
равно граничному значению х
.
Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений.
Пример 2. Дискретная случайная величина X - число очков, выпавших при бросании игральной кости. Постоить её функцию распределения.
Решение. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
| Значение | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Вероятность | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Функция распределения F (x ) имеет 6 скачков, равных по величине 1/6 (на рисунке внизу).
Пример 3. В урне 6 белых шаров и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров - дискретная случайная величина X . Составить соответствующий ей закон распределения.
X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности проще всего вычислисть по правилу умножения вероятностей . Получаем следующий закон распределения дискретной случайной величины:
| Значение | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Вероятность | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Пример 4. Составить закон распределения дискретной случайной величины - числа попаданий в цель при четырёх выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,1.
Решение. Дискретная случайная величина X
может принимать пять различных
значений: 1, 2, 3, 4, 5. Соответствующие им вероятности найдём по формуле Бернулли
.
При
n = 4 ,
p = 1,1 ,
q = 1 - p = 0,9 ,
m = 0, 1, 2, 3, 4
получаем
Следовательно, закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид
Если вероятности значений дискретной случайной величины можно определить по формуле Бернулли, то случайная величина имеет биномиальное распределение .
Если число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в этих испытаниях интересующее событие наступит именно m раз, подчиняется закону распределения Пуассона .
Функция распределения дискретной случайной величины: вычисление
Чтобы вычислить функцию распределения дискретной случайной величины F (х ), требуется сложить вероятности всех тех значений, которые меньше или равны граничному значению х .
Пример 5. В таблице данные о зависимости числа расторгнутых в течение года браков от длительности брака. Найти вероятность того, что очередной расторгнутый брак имел длительность менее или равную 5 годам.
| Длительность брака (лет) | Число | Вероятность | F (x ) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 и более | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Всего | 6010 | 1 |
Решение. Вероятности вычислены путём деления числа соответствующих расторгнутых браков на общее число 6010. Вероятность того, что очередной расторгнутый брак был длительностью в 5 лет, равна 0,056. Вероятность, что длительность очередного расторгнутого брака меньше или равна 5 годам, равна 0,186. Мы получили её, прибавив к значению F (x ) для браков с длительностью по 4 года включительно вероятность для браков с длительностью в 5 лет.
Связь закона распределения дискретной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией
Часто не все значения дискретной случайной величины известны, но известны некоторые значения или вероятности из ряда, а также математическое ожидание и (или) дисперсия случайной величины , которым посвящён отдельный урок.
Приведём здесь некоторые формулы из этого урока, которые могут выручить при составлении закона распределения дискретной случайной величины и разберём примеры решения таких задач.
Математическое ожидание дискретной случайной величины - сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:
(1)
Формула дсперсии дискретной случайной величины по определению:
Часто для вычислений более удобна следующая формула дисперсии:
, (2)
где 
.
Пример 6. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения. Меньшее значение она принимает с вероятностью p = 0,6 . Найти закон распределения дискретной случайной величины X , если известно, что её математическое ожидание и дисперсия .
Решение. Вероятность того, что случайная величина примет бОльшее значение x 2 , равна 1 − 0,6 = 4 . Используя формулу (1) математического ожидания, составим уравнение, в котором неизвестные - значения нашей дискретной случайной величины:
Используя формулу (2) дисперсии, составим другое уравнение, в котором неизвестные - также значения дискретной случайной величины:
Систему из двух полученных уравнений
решаем методом подстановки. Из первого уравнения получаем
Подставив это выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получим квадратное уравнение
,
которое имеет два корня: 7/5 и −1 . Первый корень не отвечает условиям задачи, так как x 2 < x 1 . Таким образом, значения, которые может принимать дискретная случайная величина X по условиям нашего примера, равны x 1 = −1 и x 2 = 2 .
X
задана законом распределения вероятностей: Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно … 0,80
Решение:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х определяется как 
, где дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле .Тогда , а 
Решение:
A
(вынутый наудачу шар – черный) применим формулу полной вероятности: .Здесь вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей: Тогда вероятность 
равна …
Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле . Тогда
Или . Решив последнее уравнение, получаем два корня и
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …
Решение:
Для вычисления события А (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой где n
m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть .
А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . 
Банк выдает 44% всех кредитов юридическим лицам, а 56% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок, равна …
| 0,856 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
(выданный кредит будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины Х 
| 0,655 |
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …
Решение:
Для вычисления события (сумма выпавших очков будет не меньше девяти) воспользуемся формулой , где – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A
. В нашем случае возможны 
элементарных исходов испытания, из которых благоприятствующими являются исходы вида , , , , , , , и , то есть . Следовательно, 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
функция распределения вероятностей имеет вид:
Тогда значение параметра может быть равно …
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
Решение:
По определению 
. Следовательно, и . Этим условиям удовлетворяет, например, значение
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:
Тогда ее дисперсия равна …
Решение:
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее дисперсию можно вычислить по формуле 
. То есть 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 6 черных шаров и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 8 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из первой урны, равна …
Решение:
A
(вынутый наудачу шар – белый) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда 
.
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса: 
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Дискретная случайная величина X
задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее дисперсия равна …
| 7,56 | |||
| 3,2 | |||
| 3,36 | |||
| 6,0 |
Решение:
Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно,
Тема: Определение вероятности
Внутрь круга радиуса 4 наудачу брошена точка. Тогда вероятность того, что точка окажется вне вписанного в круг квадрата, равна …
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных, равна …
Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет бракованных) воспользуемся формулой , где n
– общее число возможных элементарных исходов испытания, а m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три небракованные детали из семи, то есть . Следовательно, 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
Тогда 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда вероятность 
равна …
Решение:
Воспользуемся формулой 
. Тогда 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A
.
.
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Тогда ее математическое ожидание равно …
Решение:
Воспользуемся формулой . Тогда .
Тема: Определение вероятности
Решение:
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей 
. Тогда математическое ожидание a
и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равны …
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Решение:
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид 
, где , . Поэтому .
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда значения a
и b
могут быть равны …
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то . Этому условию удовлетворяет ответ: .
Тема: Определение вероятности
В круг радиуса 8 помещен меньший круг радиуса 5. Тогда вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг, попадет также и в меньший круг, равна …
Решение:
Для вычисления вероятности искомого события воспользуемся формулой , где – площадь меньшего круга, а – площадь большего круга. Следовательно, .
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 5 черных шаров. Из первой урны переложили один шар во вторую урну. Тогда вероятность того, что шар, вынутый наудачу из второй урны, будет белым, равна …
| 0,47 | |||
| 0,55 | |||
| 0,35 | |||
| 0,50 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
(вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну белый шар; – вероятность того, что из первой урны переложили во вторую урну черный шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен белый шар; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из первой урны во вторую был переложен черный шар.
Тогда 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Для дискретной случайной величины :
функция распределения вероятностей имеет вид:
Тогда значение параметра может быть равно …
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Банк выдает 70% всех кредитов юридическим лицам, а 30% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, равна …
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A
(выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда .
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило юридическое лицо, по формуле Байеса: .
ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Определение вероятности
В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …
Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой , где n
– общее число возможных элементарных исходов испытания, а m
– число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Числовые характеристики случайных величин
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Тогда ее дисперсия равна …
Решение:
Дисперсию непрерывной случайной величины можно вычислить по формуле
Тогда 
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …
| |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно, 
Тема: Полная вероятность. Формулы Байеса
Имеются три урны, содержащие по 5 белых и 5 черных шаров, и семь урн, содержащих по 6 белых и 4 черных шара. Из наудачу взятой урны вытаскивается один шар. Тогда вероятность того, что этот шар белый, равна …
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
Решение:
Для вычисления вероятности события A
(вынутый наудачу шар – белый) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой серии урн; – вероятность того, что шар извлечен из второй серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из первой серии урн; – условная вероятность того, что вынутый шар белый, если из он извлечен из второй серии урн.
Тогда .
Тема: Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда вероятность равна …
Тема: Определение вероятности
Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – десять, равна …
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины .
Случайной называют величину , принимающую в результате испытаний те или иные возможные значения, наперед неизвестные и зависящие от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X , Y , Z и т. д. или заглавными буквами латинского алфавита с правым нижним индексом , а значения, которые могут принимать случайные величины - соответствующими малыми буквами латинского алфавита x , y , z и т. д.
Понятие случайной величины тесно связано с понятием случайного события. Связь со случайным событием
заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения есть случайное событие, характеризуемое вероятностью 
.
На практике встречаются два основных типа случайных величин:
1. Дискретные случайные величины;
2. Непрерывные случайные величины.
Случайной величиной называется числовая функция от случайных событий.
Например, случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента.
Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.
Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность вероятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач достаточно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.
Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение , устанавливающее связь между возможными значениями случайной величиныи соответствующими им вероятностями .
Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы :
| … | … | ||||
| … | … |
Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, т. е. .
Закон распределения можно изобразить графически : по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений; полученные точки соединяют отрезками. Построенная ломаная называется многоугольником распределения .
Пример . Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или расходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при каждом следующем выстреле уменьшается на 0,1. Составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником.
Решение. Так как охотник, имея 4 патрона, может сделать четыре выстрела, то случайная величина X - число патронов, израсходованных охотником, может принимать значения 1, 2, 3, 4. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:
- “попадание при i - ом выстреле”, ;
- “промах при i - ом выстреле”, причем события и - попарно независимы.
Согласно условию задачи имеем:
, 
По теореме умножения для независимых событий и теореме сложения для несовместных событий, находим:
(охотник попал в цель с первого выстрела);
(охотник попал в цель со второго выстрела);
(охотник попал в цель с третьего выстрела);
(охотник попал в цель с четвертого выстрела либо промахнулся все четыре раза).
Проверка: - верно.
Таким образом, закон распределения случайной величины X имеет вид:
| 0,7 | 0,18 | 0,06 | 0,06 |
Пример. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки - 0,9, второй - 0,8, третий - 0,7. Составить закон распределения числа станков, которые в течение часа потребуют регулировки.
Решение. Случайная величина X - число станков, которые в течение часа потребуют регулировки, может принимать значения 0,1, 2, 3. Для нахождения соответствующих им вероятностей введем события:
- “i - ый станок в течение часа потребует регулировки”, ;
- “i - ый станок в течение часа не потребует регулировки”, .
По условию задачи имеем:
, 
.
В приложениях теории вероятностей основное значение имеет количественная характеристика эксперимента. Величина, которая может быть количественно определена и которая в результате эксперимента может принимать в зависимости от случая различные значения, называется случайной величиной.
Примеры случайных величин:
1. Число выпадений четного числа очков при десяти бросаниях игральной кости.
2. Число попаданий в мишень стрелком, который производит серию выстрелов.
3. Число осколков разорвавшегося снаряда.
В каждом из приведенных примеров случайная величина может принимать лишь изолированные значения, то есть значения, которые можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел.
Такая случайная величина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями, называется дискретной.
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы (ряд распределения вероятностей), аналитически и графически (многоугольник распределения вероятностей).
При осуществлении того или иного эксперимента возникает необходимость оценивать изучаемую величину «в среднем». Роль среднего значения случайной величины играет числовая характеристика, называемая математическим ожиданием, которая определяется формулой
где x 1 , x 2 ,.. , x n – значения случайной величины X , а p 1 , p 2 , ... , p n – вероятности этих значений (заметим, что p 1 + p 2 +…+ p n = 1).
Пример. Производится стрельба по мишени (рис. 11).
Попадание в I дает три очка, в II – два очка, в III – одно очко. Число очков, выбиваемых при одном выстреле одним стрелком, имеет закон распределения вида
Для сравнения мастерства стрелков достаточно сравнить средние значения выбиваемых очков, т.е. математические ожидания M (X ) и M (Y ):
M (X ) = 1 0,4 + 2 0,2 + 3 0,4 = 2,0,
M (Y ) = 1 0,2 + 2 0,5 + 3 0,3 = 2,1.
Второй стрелок дает в среднем несколько большее число очков, т.е. при многократной стрельбе он будет давать лучший результат.
Отметим свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M (C ) = C .
2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M = (X 1 + X 2 +…+ X n )= M (X 1)+ M (X 2)+…+ M (X n ).
3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий cомножителей
M (X 1 X 2 … X n ) = M (X 1)M (X 2)… M (X n ).
4. Математическое отрицание биноминального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании (задача 4.6).
M (X ) = пр .
Для оценки того, каким образом случайная величина «в среднем» уклоняется от своего математического ожидания, т.е. для того чтобы охарактеризовать разброс значений случайной величины в теории вероятностей служит понятие дисперсии.
Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения:
D (X ) = M [(X - M (X )) 2 ].
Дисперсия является числовой характеристикой рассеивания случайной величины. Из определения видно, что чем меньше дисперсия случайной величины, тем кучнее располагаются её возможные значения около математического ожидания, то есть тем лучше значения случайной величины характеризуются её математическим ожиданием.
Из определения следует, что дисперсия может быть вычислена по формуле
.
Дисперсию удобно вычислять по другой формуле:
D (X ) = M (X 2) - (M (X )) 2 .
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной равна нулю:
D (C ) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D (CX ) = C 2 D (X ).
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсии слагаемых:
D (X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n )= D (X 1)+ D (X 2)+…+ D (X n )
4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании:
D (X ) = npq .
В теории вероятностей часто используется числовая характеристика, равная корню квадратному из дисперсии случайной величины. Эта числовая характеристика называется средним квадратным отклонением и обозначается символом
.
Она характеризует примерный размер уклонения случайной величины от её среднего значения и имеет одинаковую со случайной величиной размерность.
4.1. Стрелок проводит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3.
Построить ряд распределения числа попаданий.
Решение . Число попаданий является дискретной случайной величиной X . Каждому значению x n случайной величины X отвечает определенная вероятность P n .
Закон распределения дискретной случайной величины в данном случае можно задать рядом распределения .
В данной задаче X принимает значения 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли
,
найдем вероятности возможных значений случайной величины:
Р 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,
Р
3 (1)
=
0,3(0,7) 2
= 0,441,
Р
3 (2)
=
(0,3) 2 0,7
= 0,189,
Р 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.
Расположив значения случайной величины X в возрастающем порядке, получим ряд распределения:
|
X n | ||||
Заметим, что сумма
означает вероятность того, что случайная величина X примет хотя бы одно значение из числа возможных, а это событие достоверное, поэтому
.
4.2 .В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величинаX – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величиныX .
Решение. Значениями случайной величиныX являются 3, 4, 5, 6, 7. Найдем соответствующие вероятности. Значение 3 случайной величиныX может принимать в единственном случае, когда один из выбранных шаров имеет номер 1, а другой 2. Число всевозможных исходов испытания равно числу сочетаний из четырех (число возможных пар шаров) по два.
По классической формуле вероятности получим
Аналогично,
Р (Х = 4) =Р (Х = 6) =Р (Х = 7) = 1/6.
Сумма 5 может появиться в двух случаях: 1 + 4 и 2 + 3, поэтому
.
Х имеет вид:
Найти функцию распределения F (x ) случайной величиныX и построить ее график. Вычислить дляX ее математическое ожидание и дисперсию.
Решение . Закон распределения случайной величины может быть задан функцией распределения
F (x ) = P (X x ).
Функция распределения F (x ) – неубывающая, непрерывная слева функция, определенная на всей числовой оси, при этом
F (- )= 0,F (+ )= 1.
Для дискретной случайной величины эта функция выражается формулой
.
Поэтому в данном случае
График функции распределения F (x ) представляет собой ступенчатую линию (рис. 12)
|
F (x ) | ||||||
Математическое ожидание М (Х ) является взвешенной средней арифметической значенийх 1 , х 2 ,……х n случайной величиныХ при весахρ 1, ρ 2, …… , ρ n и называется средним значением случайной величиныХ . По формуле
М (Х ) = х 1 ρ 1 + х 2 ρ 2 + ……+ х n ρ n
М (Х ) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.
Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины от своего среднего значения и обозначаетсяD (Х ):
D (Х ) =М [(Х-М (Х )) 2 ] = М (Х 2) –[М (Х )] 2 .
Для дискретной случайной величины дисперсия имеет вид
или она может быть вычислена по формуле
Подставляя числовые данные задачи в формулу, получим:
М (Х 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84
D (Х ) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.
4.4. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величиныХ - числа выпадений четного суммарного числа очков на двух игральных костях.
Решение . Введем в рассмотрение случайное событие
А = {на двух костях при одном бросании выпало в сумме четное число очков}.
Используя классическое определение вероятности найдем
Р
(А
)=
,
где n - число всевозможных исходов испытания находим по правилу
умножения:
n = 6∙6 =36,
m - число благоприятствующих событиюА исходов - равно
m = 3∙6=18.
Таким образом, вероятность успеха в одном испытании равна
ρ = Р (А )= 1/2.
Задача решается с применением схемы испытаний Бернулли. Одним испытанием здесь будет бросание двух игральных костей один раз. Число таких испытаний n = 2. Случайная величинаХ принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями
Р
2 (0)
=
,Р
2 (1)
=
∙
,Р
2 (2)
=
Искомое биноминальное распределение случайной величины Х можно представить в виде ряда распределения:
|
х n | |||
|
ρ n |
4.5 . В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить распределение вероятностей дискретной случайной величиныХ – числа стандартных деталей среди отобранных и найти ее математическое ожидание.
Решение. Значениями случайной величиныХ являются числа 0,1,2,3. Ясно, чтоР (Х =0)=0, поскольку нестандартных деталей всего две.
Р
(Х
=1) =
=1/5,
Р
(Х=
2) =
= 3/5,
Р
(Х
=3) =
= 1/5.
Закон распределения случайной величины Х представим в виде ряда распределения:
|
х n | ||||
|
ρ n |
Математическое ожидание
М (Х )=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.
4.6 . Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величиныХ - числа появлений событияА вn независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнаρ – равно произве-дению числа испытаний на вероятность появления события в одном испыта-нии, то есть доказать, что математическое ожидание биноминального распределения
М (Х ) =n . ρ ,
а дисперсия
D (X ) =np .
Решение. Случайная величинаХ может принимать значения 0, 1, 2…,n . ВероятностьР (Х = к) находится по формуле Бернулли:
Р
(Х
=к)=Р
n
(к)=
ρ
к
(1-ρ
) n-
к
Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:
|
х n | |||||
|
ρ n |
q n |
|
|
|
ρq
n-
1
ρq
n-
2
ρ
n
где q = 1- ρ .
Для математического ожидания имеем выражение:
М
(Х
)=
ρq
n
-
1
+2
ρ
2
q
n
-
2
+…+.n
ρ
n
В случае одного испытания, то есть при n = 1для случайной величиныХ 1 –числа появлений событияА - ряд распределения имеет вид:
|
х n | ||
|
ρ n |
M (X 1)= 0 ∙ q+ 1 ∙ p = p
D (X 1) = p – p 2 = p (1- p ) = pq .
Если Х к – число появлений событияА в к-ом испытании, тоР (Х к )= ρ и
Х=Х 1 +Х 2 +….+Х n .
Отсюда получаем
М (Х )=М (Х 1 )+М (Х 2)+ … +М (Х n )= nρ ,
D (X )=D (X 1)+D (X 2)+ ... +D (X n )=npq.
4.7. ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится 5 изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величиныХ -числа партий, в каждой из которых окажется равно 4 стандартных изделия – если проверке подлежит 50 партий.
Решение . Вероятность того, что в каждой произвольно выбранной партии окажется 4 стандартных изделия, постоянна; обозначим ее черезρ .Тогда математическое ожидание случайной величиныХ равноМ (Х )= 50∙ρ.
Найдем вероятность ρ по формуле Бернулли:
ρ=Р
5 (4)=
= 0,94∙0,1=0,32.
М (Х )= 50∙0,32=16.
4.8 . Бросаются три игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков.
Решение. Можно найти распределение случайной величиныХ - суммы выпавших очков и затем ее математическое ожидание. Однако такой путь слишком громоздок. Проще использовать другой прием, представляя случайную величинуХ , математическое ожидание которой требуется вычислить, в виде суммы нескольких более простых случайных величин, математическое ожидание которых вычислить легче. Если случайная величинаХ i – это число очков, выпавших наi – й кости (i = 1, 2, 3), то сумма очковХ выразится в виде
Х = Х 1 + Х 2 + Х 3 .
Для вычисления математического ожидания исходной случайной величины останется лишь воспользоваться свойством математического ожидании
М (Х 1 + Х 2 + Х 3 ) = М (Х 1 ) + М (Х 2) + М (Х 3 ).
Очевидно, что
Р (Х i = К )= 1/6, К = 1, 2, 3, 4, 5, 6, i = 1, 2, 3.
Следовательно, математическое ожидание случайной величины Х i имеет вид
М (Х i ) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,
М (Х ) = 3∙7/2 = 10,5.
4.9. Определить математическое ожидание числа приборов, отказавших в работе за время испытаний, если:
а) вероятность отказа для всех приборов одна и та же равна р , а число испытуемых приборов равно n ;
б) вероятность отказа для i – го прибора равна p i , i = 1, 2, … , n .
Решение. Пусть случайная величина Х – число отказавших приборов, тогда
Х = Х 1 + Х 2 + … + Х n ,
X
i
=
Ясно, что
Р (Х i = 1)= Р i , Р (Х i = 0)= 1– Р i , i= 1, 2, … , n.
М (Х i )= 1∙Р i + 0∙(1–Р i )=Р i ,
М (Х )=М (Х 1)+М (Х 2)+ … +М (Х n )=Р 1 +Р 2 + … +Р n .
В случае «а» вероятность отказа приборов одна и та же, то есть
Р i =p , i= 1, 2, … , n .
М (Х )= np .
Этот ответ можно было получить сразу, если заметить, что случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n , p ).
4.10. Две игральные кости бросают одновременно два раза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадения четного числа очков на двух игральных костях.
Решение. Пусть
А ={выпадение четного числа на первой кости},
В = {выпадение четного числа на второй кости}.
Выпадение четного числа на обеих костях при одном бросании выразится произведением АВ. Тогда
Р
(АВ
)
= Р
(А
)∙Р
(В
)
=
.
Результат второго бросания двух игральных костей не зависит от первого, поэтому применима формула Бернулли при
n = 2, р = 1/4, q = 1 – р = 3/4.
Случайная величина Х может принимать значения 0, 1, 2, вероятность которых найдем по формуле Бернулли:
Р (Х= 0) = Р 2 (0) = q 2 = 9/16,
Р
(Х=
1)
= Р
2
(1)
= С
,
р
∙q
=
6/16,
Р
(Х=
2)
= Р
2
(2)
= С
,
р
2
=
1/16.
Ряд распределения случайной величины Х:
4.11. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой очень малой вероятностью отказа каждого элемента за время t . Найти среднее число отказавших за время t элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.
Решение. Число отказавших за время t элементов – случайная величина Х , которая распределена по закону Пуассона, поскольку число элементов велико, элементы работают независимо и вероятность отказа каждого элемента мала. Среднее число появлений события в n испытаниях равно
М (Х ) = np .
Поскольку вероятность отказа К элементов из n выражается формулой
Р
n
(К
)
,
где = np , то вероятность того, что не откажет ни один элемент за время t получим при К = 0:
Р n (0) = е - .
Поэтому вероятность противоположного события – за время t откажет хотя бы один элемент – равна 1 - е - . По условию задачи эта вероятность равна 0,98. Из уравнения
1 - е - = 0,98,
е - = 1 – 0,98 = 0,02,
отсюда = -ln 0,02 4.
Итак, за время t работы устройства откажет в среднем 4 элемента.
4.12 . Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет «двойка». Найти среднее число бросаний.
Решение . Введем случайную величину Х – число испытаний, которое надо произвести, пока интересующее нас событие не наступит. Вероятность того, что Х = 1 равна вероятности того, что при одном бросании кости выпадет «двойка», т.е.
Р (Х= 1) = 1/6.
Событие Х = 2 означает, что при первом испытании «двойка» не выпала, а при втором выпала. Вероятность событияХ = 2 находим по правилу умножения вероятностей независимых событий:
Р (Х= 2) = (5/6)∙(1/6)
Аналогично,
Р (Х= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, Р (Х= 4) = (5/6) 2 ∙1/6
и т.д. Получим ряд распределения вероятностей:
|
(5/6) к ∙1/6 |
Среднее число бросаний (испытаний) есть математическое ожидание
М (Х ) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + К (5/6) К -1 ∙1/6 + … =
1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + К (5/6) К -1 + …)
Найдем сумму ряда:
К
g
К
-1
= (
g
К
)
g
.
Следовательно,
М (Х ) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.
Таким образом, нужно осуществить в среднем 6 бросаний игральной кости до тех пор, пока не выпадет «двойка».
4.13. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А , если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.
Решение. Число появлений события в трех испытаниях является случайной величиной Х , распределенной по биномиальному закону. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события (задача 4.6)
D (Х ) = npq .
По условию n = 3, D (Х ) = 0,63, поэтому можно р найти из уравнения
0,63 = 3∙р (1-р ),
которое имеет два решения р 1 = 0,7 и р 2 = 0,3.